1、若集合 Mx|ylg，Nx|x1，则 MRN（ ） A （0，2 B （0，2） C1，2） D （0，+） 2 （5 分）已知复数 za+i（aR） ，若 z+ 4，则复数 z 的共轭复数 （ ） A2+i B2i C2+i D2i 3 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 2a86+a11，则 S9（ ） A27 B36 C45 D54 4 （5 分）已知命题 p： “ab”是“2a2b”的充要条件；q：xR，exlnx，则（ ） Apq 为真命题 Bpq 为假命题 Cpq 为真命题 Dpq 为真命题 5 （5 分）已知角 的终边经过点 P（5，12） ，则 sin
2、（+）的值等于（ ） A B C D 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为 1，则该 几何体的体积为（ ） A8 B C D12 7 （5 分）若程序框图如图所示，则该程序运行后输出 k 的值是（ ） 第 2 页（共 25 页） A5 B6 C7 D8 8 （5 分）一组数据共有 7 个数，记得其中有 10，2，5，2，4，2，还有一个数没记清，但 知道这组数的平均数、 中位数、 众数依次成等差数列， 这个数的所有可能值的和为 （ ） A9 B3 C17 D11 9 （5 分）函数 f（x）（3x2） ln|x|的大致图象为（ ） A B &
3、nbsp;C D 10 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 P，Q，R 分别是棱 A1A，A1B1，A1D1 的中点，以PQR 为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体 的表面上，则这个正三棱柱的高为（ ） 第 3 页（共 25 页） A B C D 11 （5 分）已知 P 为抛物线 y24x 上一个动点，Q 为圆 x2+（y4）21 上一个动点，那 么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A B C D 12 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 xR 时，均有 f（3+x）f（2x） ，2 f
4、（x）8，则满足条件的 f（x）可以是（ ） A B C D 二填空题： （本题共二填空题： （本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）某校今年计划招聘女教师 x 人，男教师 y 人，若 x、y 满足，则该学 校今年计划招聘教师最多 人 14 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为 F，焦距为 8，左顶点为 A， 在 y 轴上有一点 B（0，b） ，满足2a，则该双曲线的离心率的值为 15 （5 分） 已知ABC 的内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 且 （a2+b2c2） （ac
5、osB+bcosA） abc，若 a+b2，则 c 的取值范围为 16 （5 分）已知数列an的前 n 项和为（tR） ，且，若不 等式恒成立，则正实数 p 的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知向量 （cosx，） ， （sinx，cos2x） ，xR，设函数 f（x） 第 4 页（共 25 页） （1）求 f（x）的表达式并完成下面的表格和画出 f（x）在0，范围内的大致图象； 0 x 0 f（x
6、） （2）若方程 f（x）m0 在0，上有两个根 、，求 m 的取值范围及 + 的值 18 （12 分）已知某中学高三文科班学生共有 800 人参加了数学与地理的水平测试，学校决 定利用随机数表法从中抽取 100 人进行成绩抽样调查抽取的 100 人的数学与地理的水 平测试成绩如下表： 人数 数学 优秀 良 好 及 格 地理 优秀 7 20 5 良好 9 18 6 及格 a 4 b 成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如： 表中数学成绩为良好的共有 20+18+442 人 （1）在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 a，b 的
7、值； （2）在地理成绩及格的学生中，已知 a10，b7，求数学成绩优秀的人数比及格的人 数少的概率 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AB平面 AA1C1C，AA1AC过 AA1的平 面交 B1C1于点 E，交 BC 于点 F 第 5 页（共 25 页） （）求证：A1C平面 ABC1； （）求证：A1AEF； （）记四棱锥 B1AA1EF 的体积为 V1，三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V若， 求的值 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：+1（ab0） ，圆 O：x2+y2 r2（0rb） 当圆 O 的一条切线 l：ykx+m 与椭圆 E
8、相交于 A，B 两点 （）当 k，r1 时，若点 A，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆 E 的方程； （）若以 AB 为直径的圆经过坐标原点 O，探究 a，b，r 是否满足+，并 说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）xlnx，g（x）x+a （）设 h（x）f（x）g（x） ，求函数 yh（x）的单调区间； （）若1a0，函数 M（x），试判断是否存在 x0（1，+） ，使得 x0 为函数 M（x）的极小值点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分
9、选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 O 的参数方程为（ 为参数） ，直线 l 的 参数方程为（t 为参数） （I）若直线 l 与圆 O 相交于 A，B 两点，求弦长|AB|，若点 P（2，4） ，求|PA|PB|的值； （II）以该直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极 坐标方程为，圆 O 和圆 C 的交点为 P，Q，求弦 PQ 所在直线的 第 6 页（共 25 页） 直角坐标方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本
10、小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|2x+2|2x2|，xR （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若方程有三个实数根，求实数 a 的取值范围 第 7 页（共 25 页） 2018 年河南省信阳高中高考数学一模试卷（文科）年河南省信阳高中高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）若集合 Mx|ylg，Nx|x1，则 MRN（ ） A （0，2
11、 B （0，2） C1，2） D （0，+） 【分析】求出 M 的解集，求出 N 的补集，根据交集的定义求出即可 【解答】解：集合 Mx|ylgx|x（2x）0（0，2） ， 又Nx|x1， （RN）1，+） ， MRN1，2） ， 故选：C 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2 （5 分）已知复数 za+i（aR） ，若 z+ 4，则复数 z 的共轭复数 （ ） A2+i B2i C2+i D2i 【分析】由已知可得 z+ 2a4，得 a2，则复数 z 的共轭复数 可求 【解答】解：za+i， z+ 2a4，得 a2 复数 z 的共轭复数 2i 故选
12、：B 【点评】本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题 3 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 2a86+a11，则 S9（ ） A27 B36 C45 D54 【分析】根据等差数列的性质，看出 6 等于数列的第五项，根据等差数列的性质得到前 9 项之和等于数列的第五项的九倍，得到结果 【解答】解：等差数列an的 2a86+a11， a5+a116+a11， a56， 第 8 页（共 25 页） S99a554， 故选：D 【点评】本题考查等差数列的性质，本题解题的关键是求出数列的第五项，这样可以简 单的求出数列的前 9 项之和本题是一个基础题 4 （5
13、 分）已知命题 p： “ab”是“2a2b”的充要条件；q：xR，exlnx，则（ ） Apq 为真命题 Bpq 为假命题 Cpq 为真命题 Dpq 为真命题 【分析】命题 p： “ab”“2a2b” ，即可判断出真假q：令 f（x）exlnx，x（0， 1时，f（x）0；x1 时，f（x），因此 x1 时，f（x）单调递增，可得 f （x）0即可判断出真假 【解答】解：命题 p： “ab”“2a2b” ，是真命题 q：令 f（x）exlnx，f（x）x（0，1时，f（x）0；x1 时，f（x）单 调递增，f（x）f（1）e0 不存在 xR，exlnx，是假命题 只有 pq 为真命
14、题 故选：D 【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、指数函数的单调性、利用导数研究函数 的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 5 （5 分）已知角 的终边经过点 P（5，12） ，则 sin（+）的值等于（ ） A B C D 【分析】利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得 sin（+）的值 【解答】 解： 角 的终边经过点 P （5， 12） ， 则 sin （+） cos ， 故选：C 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为 1，则该 几何体的体积为（ ） 第 9 页（
15、共 25 页） A8 B C D12 【分析】判断几何体的形状，画出直观图，利用三视图的数据求解即可 【解答】解：由题意可知几何体是放倒的半个圆柱与半个圆锥的组合体，如图：圆锥， 圆锥的底面半径为 2，高为 4， 该几何体的体积为： 故选：B 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键考查空 间想象能力以及计算能力 7 （5 分）若程序框图如图所示，则该程序运行后输出 k 的值是（ ） 第 10 页（共 25 页） A5 B6 C7 D8 【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足 条件就退出循环，执行语句输出 k，从而到结论 【解答
16、】解：当输入的值为 n5 时， n 不满足第一判断框中的条件，n16，k1，n 不满足第二判断框中的条件， n 满足第一判断框中的条件，n8，k2，n 不满足第二判断框中的条件， n 满足第一判断框中的条件，n4，k3，n 不满足第二判断框中的条件， n 满足第一判断框中的条件，n2，k4，n 不满足第二判断框中的条件， n 满足第一判断框中的条件，n1，k5，n 满足第二判断框中的条件， 退出循环， 即输出的结果为 k5， 故选：A 【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题 8 （5 分）一组数据共有 7 个数，记得其中有 10，2，5，2，4
17、，2，还有一个数没记清，但 知道这组数的平均数、 中位数、 众数依次成等差数列， 这个数的所有可能值的和为 （ ） A9 B3 C17 D11 【分析】设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系 式，因为所写出的结果对于 x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论 x 的三种不同情况 第 11 页（共 25 页） 【解答】解：设这个数字是 x，则平均数为，众数是 2，若 x2，则中位数为 2， 此时 x11， 若 2x4，则中位数为 x，此时 2x，x3， 若 x4，则中位数为 4，24，x17， 所有可能值为11，3，17，其和为 9 故选：A
18、【点评】本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨 论，是一个综合题目，这是一个易错题目 9 （5 分）函数 f（x）（3x2） ln|x|的大致图象为（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值，判断即可 【解答】解：函数 f（x）（3x2） ln|x|是偶函数，排除 A，D 选项， （3x2） ln|x|0，当 x0 时，解得 x1，或 x，是函数 f（x）（3x2） ln|x|在 x0 时的两个零点， 当 x时，f（）（3（）2） ln|0， 可得选项 B 不正确， 故选：C 【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以
19、及特殊值是判断函数的图象的常 用方法 10 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 P，Q，R 分别是棱 A1A，A1B1，A1D1 的中点，以PQR 为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体 第 12 页（共 25 页） 的表面上，则这个正三棱柱的高为（ ） A B C D 【分析】分别取过 C 点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶 点，利用中位线定理证明于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半 【解答】解：连结 A1C，AC，B1C，D1C， 分别取 AC，B1C，D1C 的中点 E，F，G，连结 EF，EG，FG 由中位线定理可得
20、 PEA1C，QFA1C，RGA1C 又 A1C平面 PQR，三棱柱 PQREFG 是正三棱柱 三棱柱的高 hPEA1C 故选：D 【点评】本题考查了正棱柱的结构特征，作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键，属于 中档题 11 （5 分）已知 P 为抛物线 y24x 上一个动点，Q 为圆 x2+（y4）21 上一个动点，那 么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A B C D 【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的 定义可知 P 到准线的距离等于点 P 到焦点的距离， 进而问题转化为求点 P 到点 Q 的距离 与点 P 到
21、抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当 P，Q，F 三点共线时 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小， 为圆心到焦点 F 的距离减去圆的半径 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点为 F（1，0） ，圆 x2+（y4）21 的圆心为 C（0，4） ， 根据抛物线的定义可知点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点的距离， 第 13 页（共 25 页） 进而推断出当 P，Q，F 三点共线时 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的 最小为：， 故选：C 【点评】本题主要考查了抛物线的应用考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想 &nbs
22、p;12 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 xR 时，均有 f（3+x）f（2x） ，2 f（x）8，则满足条件的 f（x）可以是（ ） A B C D 【分析】A 容易判断不满足 2f（x）8，而 B 容易判断不满足 f（3+x）f（2x） ，根 据 C 的表达式即可判断满足 f（3+x）f（2x） ，2f（x）8，从而得出正确选项为 C 【解答】解：A.3f（x）9，不满足 2f（x）8，即 A 错误； B显然 f（x）不满足 f（3+x）f（2x） ，即 B 错误； CxQ 时，3+x，2xQ； f（3+x）2，f（2x）2； 即 f（3+x）
23、f（2x） ； 同理，xRQ 时，有 f（3+x）f（2x） ； 显然 2f（x）8，C 正确； Df（0）2，f（5）8； 不满足 f（3+2）f（22） ； 即不满足 f（3+x）f（2x） ，D 错误 故选：C 【点评】考查偶函数的概念，余弦函数的值域，分段函数的概念及分段函数值域的求法 二填空题： （本题共二填空题： （本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）某校今年计划招聘女教师 x 人，男教师 y 人，若 x、y 满足，则该学 校今年计划招聘教师最多 10 人 【分析】作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为 zx+y，利
24、用线性规划的知识进 行求解即可 第 14 页（共 25 页） 【解答】解：设 zx+y， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由 zx+y 得 yx+z， 平移直线 yx+z， 由图象可知当直线 yx+z 经过点 A 时， 直线 yx+z 的截距最大， 此时 z 最大但此时 z 最大值取不到， 由图象当直线经过整点 E（5，5）时，zx+y 取得最大值， 代入目标函数 zx+y 得 z5+510 即目标函数 zx+y 的最大值为 10 故答案为：10 【点评】本题主要考查线性规划的应用问题，根据图象确定最优解，要根据整点问题进 行调整，有一定的难度 14 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的右
25、焦点为 F，焦距为 8，左顶点为 A， 在 y 轴上有一点 B（0，b） ，满足2a，则该双曲线的离心率的值为 2 【分析】利用向量的数量积公式，可得4a+b22a，即 16a26a，可得 a 的值，由此 可求双曲线的离心率 【解答】解：由题意，A（a，0） ，F（4，0） ，B（0，b） ， （a，b） ，（4，b） 第 15 页（共 25 页） 2a， （a，b） （4，b）2a， 4a+b22a， b26a， 16a26a， a2， e2， 故答案为：2 【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属 于基础题 15 （5 分） 已知ABC 的内角 A， B
26、， C 的对边分别是 a， b， c， 且 （a2+b2c2） （acosB+bcosA） abc，若 a+b2，则 c 的取值范围为 1，2） 【分析】根据题意，由余弦定理分析可得 acosB+bcosAc，由此分析（a2+b2c2） （acosB+bcosA）abc 可得 a2+b2c2ab，变形可得 cosC，则 C ；由余弦定理的 c2a2+b22abcosCa2+b2ab（a+b）23ab43ab，结合基 本不等式分析可得 ab（）21，即可得 c1，又由三角形三边关系可得 ca+b 2，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，ABC 中，acosB+bcosAa+b c， 若（a2+
27、b2c2） （acosB+bcosA）abc，则有 a2+b2c2ab， 则 cosC，则 C， 又由 a+b2， 则 c2a2+b22abcosCa2+b2ab（a+b）23ab43ab， 又由 a+b2，则 ab（）21， 则 c21， 则有 c1， 又由 ca+b2， 第 16 页（共 25 页） 则 c 的取值范围为1，2） ； 故答案为：1，2） 【点评】本题考查余弦定理的应用，关键是掌握余弦定理的形式并灵活变形 16 （5 分）已知数列an的前 n 项和为（tR） ，且，若不 等式恒成立，则正实数 p 的取值范围是 （，+） 【分析】运用数列的递推式，以及等差数列的通项公式，求得
28、an2n1再由参数分离 和数列的单调性，可得最值，即可得到 p 的范围 【 解 答 】 解 ： 由 条 件 可 得a1 S1 t ； 当n 2时 ， 故 a815t15，故 t1，则 a11，an2n1 则 bnn+1，由， 及 p0 可得对任意正整数恒成立， 设， 则， 故 f（n+1）f（n） ， 故f（n）是递减数列，最大值为， 故只需， 故答案为： （，+） 【点评】本题考查数列递推式的运用：求通项公式，考查数列不等式恒成立问题解法， 注意运用数列的单调性，考查运算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演
29、算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知向量 （cosx，） ， （sinx，cos2x） ，xR，设函数 f（x） （1）求 f（x）的表达式并完成下面的表格和画出 f（x）在0，范围内的大致图象； 第 17 页（共 25 页） 0 x 0 f（x） （2）若方程 f（x）m0 在0，上有两个根 、，求 m 的取值范围及 + 的值 【分析】（1） 求出 f （x） 的表达式， 画出函数图象即可；（2） 结合图象， 得到 或，解出即可 【解答】解： （1）f（x）sin2xcos2xsin（2x） ， 0 x 0 f（x
30、） 0 1 0 1 如图示： （2）由图可知 m（1，）（，1） ， 或， 第 18 页（共 25 页） 或 【点评】本题考查了向量问题，考查三角函数的图象及画法，考查方程根的问题，是一 道中档题 18 （12 分）已知某中学高三文科班学生共有 800 人参加了数学与地理的水平测试，学校决 定利用随机数表法从中抽取 100 人进行成绩抽样调查抽取的 100 人的数学与地理的水 平测试成绩如下表： 人数 数学 优秀 良 好 及 格 地理 优秀 7 20 5 良好 9 18 6 及格 a 4 b 成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如： 表中数学成绩为良好的共
31、有 20+18+442 人 （1）在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 a，b 的值； （2）在地理成绩及格的学生中，已知 a10，b7，求数学成绩优秀的人数比及格的人 数少的概率 【分析】 （1）由该样本中，数学成绩优秀率是 30%，能求出 a，b 的值 （2）在地里及格学生中，a+b31，再由a10，b7，利用列举法能求出数学成绩优 秀的人数比及格的人数少的概率 【解答】 （本小题满分为 12 分） 解： （1）该样本中，数学成绩优秀率是 30%， ， 解得 a14，b10030（20+18+4）（5+6）17（5 分） （2）在地里及格学生中，a+b100（7+20+5）（9+18+
32、6）431（6 分） a10，b7，a，b 的搭配有： （10，21） ， （11，20） ， （12，19） ， （13，18） ， （14，17） ， （15，16） ， （16，15） ， （17，14） ， （18，13） ， （19，12） ， （20，11） ， （21，10） ， （22，9） ， （23，8） ， 第 19 页（共 25 页） （24，7） （22，9） ， （23，8） ， （24，7） ，共有 15 种（8 分） 记“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件 A，可得 7+9+a5+6+b，即 a+5b 事件 A 包括： （10，21） ， （1
33、1，20） ， （12，19） ，共 3 个基本事件；（10 分） 所以，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率 P（A）（12 分） 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计 算公式和列举法的合理运用 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AB平面 AA1C1C，AA1AC过 AA1的平 面交 B1C1于点 E，交 BC 于点 F （）求证：A1C平面 ABC1； （）求证：A1AEF； （）记四棱锥 B1AA1EF 的体积为 V1，三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V若， 求的值 【分析】 （）证明 A1CAB，说明四边形 AA1C1
34、C 为菱形，推出 A1CAC1即可证明 A1C平面 ABC1 （）证明 A1A平面 BB1C1C，然后证明 A1AEF （）记三棱锥 B1ABF 的体积为 V2，三棱柱 ABFA1B1E 的体积为 V3三棱锥 B1 ABF 与三棱柱 ABFA1B1E 同底等高，转化求解 【解答】 （本小题满分 14 分） （）证明：因为 AB平面 AA1C1C，所以 A1CAB（2 分） 在三棱柱 ABCA1B1C1中，因为 AA1AC，所以四边形 AA1C1C 为菱形， 所以 A1CAC1（3 分） 第 20 页（共 25 页） 所以 A1C平面 ABC1（5 分） （）证明：在三棱柱 ABCA1B1C1中
35、， 因为 A1AB1B，A1A平面 BB1C1C，（6 分） 所以 A1A平面 BB1C1C（8 分） 因为平面 AA1EF平面 BB1C1CEF， 所以 A1AEF（10 分） （）解：记三棱锥 B1ABF 的体积为 V2，三棱柱 ABFA1B1E 的体积为 V3 因为三棱锥 B1ABF 与三棱柱 ABFA1B1E 同底等高， 所以 ，（11 分） 所以 因为 ，所以 （12 分） 因为三棱柱 ABFA1B1E 与三棱柱 ABCA1B1C1等高， 所以ABF 与ABC 的面积之比为，（13 分） 所以 （14 分） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及直线与平面平行的判定定理的应用，
36、 几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：+1（ab0） ，圆 O：x2+y2 r2（0rb） 当圆 O 的一条切线 l：ykx+m 与椭圆 E 相交于 A，B 两点 （）当 k，r1 时，若点 A，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆 E 的方程； （）若以 AB 为直径的圆经过坐标原点 O，探究 a，b，r 是否满足+，并 说明理由 【分析】 （）利用点到直线的距离公式求得 d1，即可求得 m 的值，由点 A，B 都在坐标轴的正半轴上，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； （）利用点到直线的距离公式，求得 m2r2（
37、1+k2） ，将直线方程代入椭圆方程，由韦 第 21 页（共 25 页） 达定理及向量数量积的坐标运算 x1x2+y1y20，即可求得 a，b 与 r 的关系 【解答】解： （）当 k，r1 时，则切线 l：yx+m，即 2y+x2m0， 由圆心到 l 的距离 d1，解得：m， 点 A，B 都在坐标轴的正半轴上，则 m0， 直线 l：yx+， A（0，） ，B（，0） ， B 为椭圆的右顶点，A 为椭圆的上顶点， 则 a，b， 椭圆方程为：； （）a，b，r 满足+成立， 理由如下：设点 A、B 的坐标分别为 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ， 直线 l 与圆 x2+y2r2相切， 则r
38、，即 m2r2（1+k2） ， 则， （b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2a2b20 则 x1+x2，x1x2， 所以 y1y2（kx1+m） （kx2+m）k2x1x2+km（x1+x2）+m2， AB 为直径的圆经过坐标原点 O，则AOB90，则0， x1x2+y1y2+0， 则（a2+b2）m2a2b2（1+k2） ， 第 22 页（共 25 页） 将代入， + 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式， 点到直线的距离公式及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）xlnx，g（x）x+a （）设
39、h（x）f（x）g（x） ，求函数 yh（x）的单调区间； （）若1a0，函数 M（x），试判断是否存在 x0（1，+） ，使得 x0 为函数 M（x）的极小值点 【分析】 （）根据导数和函数的单调性即可判断， （）先求导，再构造函数 q（x）lnx1，再求导，判断其单调性，得到 M（x） 在区间（1，x0）上单调递减，在区间（x0，+）上单调递增，问题得以解决 【解答】解： （I）由题意可知：h（x）xlnxxa，其定义域为（0，+） ，则 h（x） lnx+11lnx 令 h（x）0，得 x1，令 h（x）0，得 0x1 故函数 yh（x）的单调递增区间为（1，+） ，单调递减区间为（0，
40、1） （ II）由已知有，对于 x（1，+） ，有 M（x） 令，则 令 q（x）0，有 xa 而1a0，所以 0a1，故当 x1 时，q（x）0 函数 q（x）在区间（1，+）上单调递增 注意到 q（1）a10， 故存在 x0（1，e） ，使得 M（x0）0，且当 x（1，x0）时，M（x）0，当 x（x0， e）时，M（x）0， 即函数 M（x）在区间（1，x0）上单调递减，在区间（x0，+）上单调递增 x0为函数 M（x）的极小值点 故存在 x0（1，+） ，使得 x0为函数 M（x）的极小值点 第 23 页（共 25 页） 【点评】本题考查函数的单调性、极值问题，考查导数的
41、应用，考查了运算能力和转化 能力，属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 O 的参数方程为（ 为参数） ，直线 l 的 参数方程为（t 为参数） （I）若直线 l 与圆 O 相交于 A，B 两点，求弦长|AB|，若点 P（2，4） ，求|PA|PB|的值； （II）以该直角坐标系的原点 O 为极点
42、，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极 坐标方程为，圆 O 和圆 C 的交点为 P，Q，求弦 PQ 所在直线的 直角坐标方程 【分析】 （）直线 l 的参数方程消去参数 t，能求出直线 l 的普通方程；圆 O 的参数方 程消去参数 ， 得 x2+y24， 从而圆心 O 到直线 l 的距离 d， 由此能求出弦长|AB| 联 立，得 A（0，2） ，B（2，0） ，由此能求出|PA|PB| （）由圆 C 的极坐标方程，从而求出圆 C 的普通方程，再由圆 O 方程为 x2+y24，能 求出弦 PQ 所在直线的直角坐标方程 【解答】解： （）直线 l 的参数方程为（t 为参数） 消去参数
43、t，可得 xy+20， 即直线 l 的普通方程为 xy+20 圆 O 的参数方程为（ 为参数） ， 根据 sin2+cos21，消去参数 ，得 x2+y24， 圆心 O 到直线 l 的距离 d， 故弦长|AB|22 联立，得 A（0，2） ，B（2，0） ， P（2，4） ，|PA|2，|PB|， |PA|PB|216 （）圆 C 的极坐标方程为 2cos+2， 第 24 页（共 25 页） 2x2+y2，cosx，siny， 圆 C 的普通方程为 x2+y22x+2 圆 O 方程为 x2+y24， 弦 PQ 所在直线的直角坐标方程为 42x+2，即 x+ 【点评】本题考查弦长的求法，考查两线
44、段乘积的求法，考查弦所在的直线方程的求法， 考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考 查函数与方程思想，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|2x+2|2x2|，xR （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若方程有三个实数根，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，求出不等式的解集即可； （2）分离 a，得到 ax+|x1|x+1|，令 h（x）x+|x1|x+1|，结合函数的图象求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）原不等式等价于或或， 解得：x1 或， 不等式 f（x）3 的解集为 （2）由方程可变形为 ax+|x1|x+1|， 令， 作出图象如下： 于是由题意可得1a1