1、 第 1 页 共 12 页 2020 年北京市高级中等学校招生考试年北京市高级中等学校招生考试 数学数学试卷试卷 姓名_准考证号_考场号_座位号_ 考生须知考生须知 1.本试卷共 12 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分。考试时间 120 分钟。 2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4.在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 1616 分，每小题分，每小题 2 2 分）分） 第 18
2、 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1.右图是某几何体的三视图，该几何体是 （A）圆柱 （B）圆锥 （C）三棱柱 （D）长方体 2.2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6 月 30 日成功定点于距离地球 36000 公里的地球同步轨道，将 36000 用科学记数法表示应为 （A）0.36105 （B）3.6105 （C）3.6104 （D）36103 3.如图，AB 和 CD 相交于点 O，则下列结论正确的是 （A）12 （B）23 （C）145 （D）25 4.下列图形中既是中心对称图形也是轴对称图形的是 5.正五边形的外角和为 （
3、A）180 （B）360 （C）540 （D）720 6. 实数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数 b 满足aba，则 b 的值可以是 （A）2 （B）1 （C）2 （D）3 7.不透明的袋子中有两个小球， 上面分别写着数字 “1”“2” ， 除数字外两个小球无其他差别、 从中随机摸出一个小球， 记录其数字， 放回并摇匀， 再从中随机摸出一个小球， 记录其数字， 第 2 页 共 12 页 那么两次记录的数字之和为 3 的概率是 （A） 4 1 （B） 3 1 （C） 2 1 （D） 3 2 8.有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是 10cm，现向容器内注水，并同时 开始计
4、时，在注水过程中，水面高度以每秒 0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容 器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是 （A）正比例函数关系 （B）一次函数关系 （C）二次函数关系 （D）反比例函数关系 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 1616 分，每小题分，每小题 2 2 分）分） 9.若代数式 7 1 x 有意义，则实数 x 的取值范围是 . 10.已知关于 x 的方程 x22xk0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 . 11.写出一个比2大且比15小的整数 . 12.方程组 73 1 yx yx 的解为 . 13.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx 与双曲线 y
5、 x m 交于 A，B 两点.若点 A，B 的 纵坐标分别为 y1，y2，则 y1y2，的值为 . 14.如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 BC 上（不与点 B，C 重合）.只需添加一个条件 即可证明ABDACD，这个条件可以是 （写出一个即可）. 15.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则ABC 的面积与ABD 的 面积的大小关系为：SABC SABD（填“” ， “”或“” ）. 16.下图是某剧场第一排座位分布图. 第 14 题图 第 15 题图 第 3 页 共 12 页 甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为 2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一
6、排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后 顺序购票，那么甲购买 1，2 号座位的票，乙购买 3，5，7 号座位的票，丙选座购票后，丁 无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票， 写出一种满足条件的购票的先后顺序 . 三、解答题（本题共 68 分，第 1720 题，每小题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第 2324 题，每小题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 2728 题，每小题 7 分）解答应 写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.计算： 45sin6218) 3 1
7、 ( 1 18.解不等式组： 23 12 235 xx xx 19.已知 5x2x10，求代数式（3x2） （3x2）x（x2）的值. 20.已知：如图，ABC 为锐角三角形，ABAC，CDAB. 求作：线段 BP，使得点 P 在直线 CD 上，且ABP 2 1 BAC. 作法：以点 A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线 CD 于 C，P 两点： 连接 BP，线段 BP 就是所求作的线段， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图 痕迹） ； （2）完成下面的证明. 证明：CDAB， ABP . ABAC， 点 B 在 OA 上. 又C，P 都在A 上， BPC 2 1 BAC（ ）
8、（填推理的依据）. ABP 2 1 BAC. 第 4 页 共 12 页 21.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，点 F，G 在 AB 上， EFAB，OGEF. （1）求证：四边形 OEFG 是矩形； （2）若 AD10，EF4，求 OE 和 BG 的长. 22.在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykxb（k0）的图象由函数 yx 的图象平移得 到，且经过点（1，2）. （1）求这个一次函数的解析式； （2）当 x1 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 ykxb 的 值，直接写出 m 的取值范围. 23.如图，AB
9、 为O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 是O 的切线，D 为切点，OF AD 于点 E，交 CD 于点 F. （1）求证：ADCAOF； （2）若 sinC 3 1 ，BD8，求 EF 的长. 24.小云在学习过程中遇到一个函数 y）（1 6 1 2 xxx（x2）. 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当2x0 时， 第 5 页 共 12 页 对于函数 y1x，即 y1x，当2x0 时，y1随 x 的增大而 ，且 y10； 对于函数 y2x2x1，当2x0 时，y2随 x 的增大而 ，且 y20； 结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 y，当2x0 时，y 随 x 的增
10、大而 . （2）当 x0 时，对于函数 y，当 x0 时，y 与 x 的几组对应值如下表： x 0 2 1 1 2 3 2 2 5 3 y 0 16 1 6 1 16 7 1 48 95 2 7 结合上表，进一步探究发现，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大。在平面直角坐标系 xOy 中， 画出当 x0 时的函数 y 的图象. （3）过点（0，m） （m0）作平行于 x 轴的直线 l，结合（1） （2）的分析，解决问题：若 直线 l 与函数 y）（1 6 1 2 xxx（x2）的图象有两个交点，则 m 的最大值是 . 25.小云统计了自己所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量（
11、单位：千克） ，相关信息 如下： a.小云所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量统计图： b.小云所住小区 5 月 1 日至 30 日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下： 时段 1 日至 10 日 11 日至 20 日 21 日至 30 日 平均数 100 170 250 （1）该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数） ； 第 6 页 共 12 页 （2）已知该小区 4 月的厨余垃圾分出量的平均数为 60，则该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余 垃圾分出量的平均数约为 4 月的 倍（结果保留小数点后一位） ； （3）记该小区 5 月 1
12、日至 10 日的厨余垃圾分出量的方差为 2 1 S，5 月 11 日至 20 日的厨余 垃圾分出量的方差为 2 2 S， 5 月 21 日至 30 日的厨余垃圾分出量的方差为 2 3 S.直接写出， 2 1 S， 2 2 S， 2 3 S的大小关系. 26.在平面直角坐标系 xOy 中，M（x1，y1） ，N（x2，y2）为抛物线 yax2bxc（a0） 上任意两点，其中 x1x2. （1）若抛物线的对称轴为 x1，当 x1，x2为何值时，y1y2C； （2）设抛物线的对称轴为 xt.若对于 x1x23，都有 y1y2，求 t 的取值范围. 27.在ABC 中，C90，ACBC，D 是 AB
13、的中点.E 为直线 AC 上一动点，连接 DE， 过点 D 作 DFDE，交直线 BC 于点 F，连接 EF. （1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，设 AEa，BFb，求 EF 的长（用含 a，b 的式 子表示） ； （2）当点 E 在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图 2，用等式表示线段 AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明. 第 7 页 共 12 页 28.在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1，A，B 为O 外两点，AB1.给出如下定义： 平移线段 AB，得到O 的弦 AB（A，B分别为点 A，B 的对应点） ， 线段 AA长度的最小值称为线段 AB 到O 的
14、“平移距离”. （1）如图，平移线段 AB 得到O 的长度为 1 的弦 P1P2和 P3P4，则这两条弦的位置关系 是 ；在点 P1，P2，P3，P4中，连接点 A 与点 的线段的长度等于线 段 AB 到O 的“平移距离” ； （2）若点 A，B 都在直线 y323 x上，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 d1， 求 d1的最小值； （3）若点 A 的坐标为（2， 2 3 ） ，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 d2，直接写出 d2的 取值范围。 2020 年北京市高级中等学校招生考试年北京市高级中等学校招生考试 数学数学试卷试卷参考答案参考答案 一、选择题（本题共一、选择题（本题共
15、1616 分，每小题分，每小题 2 2 分）分） 1.【答案】D 【分析】本题考查由几何图形的三视图确定几何体，由主视图、左视图和俯视图都是矩形确 定是长方体。可知 D 是正确答案，送分题。 2.【答案】C 【分析】本题考查科学计数法，用 a10n来表示 36 000，尤其注意其中“a”的取值范围， 必须是 1|al10，正确答案为 C，送分题. 3.【答案】A 【分析】本题考查相交线和平行线章节，知识点是对顶角相等。 4. 【答案】D 第 8 页 共 12 页 【分析】本题考查本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，学生要熟练掌握两者定义。 5.【答案】B 【分析】本题考查多边形的所有外角之
16、和都是 360. 6. 【答案】B 【分析】本题考查的是对数轴的掌握，根据图可知 a 的范围是1.5a2， 所以2a1.5，在图上标出a 的位置，已知aba，所以 b 在图上a 和 a 之 间，确定答案是 B. 7.【答案】C 【分析】本题考查的是概率问题。 同学们需要知道简单概率的计算公式 所有可能的结果数 数事件发生的可能的结果A AP)(，由题可知本 题概率应为 2 1 8.【答案】B 【分析】本题考查的是函数在实际生活中的应用，认真读题不难得出答案是一次函数关系。 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 1616 分，每小题分，每小题 2 2 分）分） 9.【答案】x7 【分析】考察分式
17、有意义的条件，需要注意分式中分母不能为 0，属于送分题。 10.【答案】1 【分析】考察一元二次方程根的判别式定理，0 方程有两个相等的实数根， 可计算出 k1。 11.【答案】2 或 3（写出一个即可） 【分析】本题考查实数比大小，242932，易得答案为 2 或 3. 12. 【答案】 1 2 y x 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法或加减消元法易得 1 2 y x 13.【答案】0 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的关系。依据题意，画出函数图像可知。 A，B 两点关于原点对称，y1与 y2是相反数，y1y20. 14.【答案】D 为 BC 中点 【分析】本题考查全等三
18、角形的判定，难度较低，属于基础题。给予两个条件，再找出一个 条件即可。 15.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则ABC 的面积与ABD 的 面积的大小关系为：SABC SABD（填“” ， “”或“” ）. 【答案】 【分析】本题考查平行线之间距离相等，连接 CD，CDAB，ABC 与ABD 同底等高面积 相等。 第 9 页 共 12 页 16.【答案】 方案一：丙：3、1、2、4；丁：13、11、9、7、5；甲：6、8；乙：10、12、14 方案二：丙：3、1、2、4:丁：13、11、9、7、5；乙：6、8、10；甲：12、14 方案三：丙：3、1、2、4：甲：7、
19、5；丁：6、8、10、12、14；甲：13、11、9 方案四：丙：3、1、2、4：乙：9、7、5；丁：6、8、10、12、14；甲：13、11 【分析】 本题主要的考察学生题干分析能力， 主要注意的条件是只购买第一排座位相邻 座位号之和最小选择剩下的座位，此题情况有很多种，题干要求写一种即可。 三、解答题 17.计算： 【答案】5 【分析】本题主要考察常见角度（30、45、60）的三角函数值，负整指数幂，最筒二 次根式的化简以及绝对值的化简。 45sin6218) 3 1 ( 1 2 2 62233 5 18.【答案】1x3 【分析】本题考查不等式方程的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，
20、系数化 1。注 意不等式性质三：不等式两端同乘或同除一个负数，需改变不等号方向。不等式组问题最好 将不等式结果表示在数轴上，找到重叠的部分即为所求的答案。 19.【答案】2 【分析】本题为代数求值题，简单的整式运算，注意整体法的运用。 解：5x2x10 5x2x1 又（3x2） （3x2）x（x2） 9x24x22x l0 x22x4 2（5x2x）4 2x14 2 20.【分析】尺规作图，完成证明过程，写理论依据，属于送分题。 21.【分析】本题考察的是菱形、矩形与平行四边形的性质；第一问考察矩形的判定，较简 单，第二问，求线段长度，主要应用勾股定理及三角形中线定理解题即可。 【答案】 （1
21、）解题思路：通过菱形中线的性质得出 0 是 BD 中点，则 OE 是OAB 的中位线，则 OE/ AB，得证四边形 OEFG 是平行四边形，又因为垂直，得到平行四边形 OEFG 是矩形。证明 过程略 （2）OE5，BG2 22.【答案】 （1）yx1 （2）m2 【分析】本题考察的是一次函数，第一问是求解析式，考察的是一次函数的 K 值，由平移可 知，k1。第二问考察的是函数比较大小，依据题意画出图像，已知 x 的范围，图像在上的 第 10 页 共 12 页 函数值较大。 23.如图，AB 为O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 是O 的切线，D 为切点，OF AD 于点 E，交 CD
22、 于点 F. （1）求证：ADCAOF； （2）若 sinC 3 1 ，BD8，求 EF 的长. （1）连接 OD（如图所示） CD 是圆 O 的切线 ODCD，ADCODA90 AB 是圆的直径 ADB90，ODBODA90 ADCODB ODOB ODBB OFAD OEA90 OFBD BAOF ADCAOF （2）连接 FA（如图所示） OFBD CFOCDB OFAD，ODFD AEDE BD8 OE4 FACA，FDFA sinC 3 1 设 FAFDX，则 CF3X，CD4X CFO 和CDB 相似比是 4 3 4 3 BD OF CD CF BD8 OF6 EFOFOE642
23、【解析】第一问，证明角相等，通过倒角即可得出，是常规考题，主要用的就是有切线，直 径所对的圆周角是 90，题干的垂直，即可得出：第二问，主要是考察相似在圆中的应用， 主要找到相似三角形，根据三角函数找到相似比，本题即可解出。 24.【分析】 （1）绝对值函数可以在取值范围内可以转成正比例函数 k0 单调递减二次函数开口向上， x 的取值范围在对称轴左侧，所以单调递减 y0，复合函数 y 随 x 的增大而减小 第 11 页 共 12 页 （2）描点法画图 （3）y 轴左侧 y 随 x 的增大而减小，所以左侧图像 y 的最大值为 m 最大值 【答案】1、减小；减小；减小 2、描点法画图即可 3、
24、3 7 25. 【分析】本题数据量比较大，前两问考察计算的能力，直接计算即可。第三问考察方差的意 义，方差越小越稳定。根据平均数判断数值的分散性即可解题。 【答案】 （1）173（千克） （2）2.9 （3） 2 1 S 2 2 S 2 3 S 26. 【分析】 （1）x0 时 yc，对称轴为直线 x1，x1x2所以 x10，x22 （2）对于所有 x1x23 都有 y1y2 x1和 x2位置有三种情况都在对称轴左边，都在对称轴右边，分别在两侧 （3）当 x1和 x2都在右侧时，对于所有 x1x23 都有 y1y2 当 x1和 x2都在左侧时，y1y2恒不成立，所以要保证不存在 x1x23，所
25、以 t 2 3 当 x1和 x2在对称轴两侧时 x1在左侧，x2在右侧，x1到对称轴的距离小于 x2到对称轴的距离 即可，所以 t 2 3 【答案】 （1）x10，x22 （2）t 2 3 27. 【分析】几何综合题，题目条件简单，以定角为背景在规定条件下运动，注意发掘题目中中 点是解题的关键。整体题型和 2019 的中考 27 题相差较大。 第一问属于简单的送分题，难度不大； 第二问是往年初三一二模及中考考试考的比较多的一个题型，求三者线段等量关系，常见 a bkc 或者 a2b2c2。根据线段关系不同，解题思路不同。 这种多问的大题， 一般解题思路和方法都是统一的， 所以该题关系可以根据上
26、一问进行猜测 是勾股定理关系，我们只要找到包含所求三边长度的直角三角形就解决 了。最后解题时候注意是否有长度存在等量代换，以及题目中的中点。 以下是 AE、EF、BF 的一种推理思路： 点 B 做 BF 垂线交 ED 延长线于点 G 如下 图：可得DAEBGD，则 BGAE: 连接 FG，可知DGFDEF，则 FGEF； 由 RtBGF 可知，BF2BG2FG2由可 得，BF2AE2EF2。 第 12 页 共 12 页 28. 【分析】新定义综合题，属于运动线段或动点问题，以线段平移变为圆的弦为背景，在规定 条件下运动， 注意发据题目中线段的端点到圆上各点的最短距离是解题的关键。 读懂题目后
27、整体难度不大。 【答案】 （1）平行；P3 （2）点 A，B 在直线 y323 x上 直线与 x 轴交于点 D（2，0） ，与 v 轴交于点 C（0，32） ，平移直线 y 与圆相交与 AB tanCDO3 CDO60， ON3 直线上的点到圆上的最短距离为由圆心 O 向直线做垂线， 交弦 点 M，交 AB于点 N 线段 MN 的长度即为所求 根据垂径定理得：AM 2 1 ，OA1，OM 2 3 d1MN 2 3 （3） 点 A（2， 2 3 ） ，线段 AB1 所有的线段 AB 是以点 A 为圆心，以 AB 为圆的半径 平移 AB 到圆上，变为弦 AB 由勾股定理： AO 2 5 AA最短为 2 5 1 2 3 ，最长为 2 5 1 2 7 2 3 d3 2 7