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3.3 幂函数 学案(含答案)

1、3 33 3 幂函数幂函数 学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握 yx 1,1 2,1,2,3 的图象与性质.3.理解和 掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题 知识点一 幂函数的概念 一般地,函数 yx叫做幂函数,其中 x 是自变量, 是常数 知识点二 五个幂函数的图象与性质 1在同一平面直角坐标系内函数(1)yx;(2)y 1 2 x;(3)yx2;(4)yx 1;(5)yx3的图象如 图 2五个幂函数的性质 yx yx2 yx3 1 2 yx yx 1 定义域 R R R 0,) x|x0 值域 R 0,) R 0,) y|y0 奇偶性 奇 偶 奇

2、非奇非偶 奇 单调性 增 在0, ) 上增, 在(,0 上减 增 增 在(0,)上减, 在(,0)上减 知识点三 一般幂函数的图象特征 1所有的幂函数在(0,)上都有定义,并且图象都过点(1,1) 2当 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间0,)上是增函数特别地,当 1 时,幂函数的图象下凸;当 01 时,幂函数的图象上凸 3当 1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指 数按从小到大的顺序排列 预习小测 自我检验 1下列函数中不是幂函数的是_ yx0; yx3; y2x; yx 1. 答案 2 设 1,1,1 2,3 , 则使函数yx 的定义域为R且为奇函数的所有的值为_ 答

3、案 1,3 解析 当幂函数为奇函数时,1,1,3, 又函数的定义域为 R, 所以 1,所以 1,3. 3当 x(0,1)时,x2_x3.(填“”“”或“ 4已知幂函数 f(x)x图象过点 2, 2 2 ,则 f(4)_. 答案 1 2 一、幂函数的概念 例 1 (1)下列函数: yx3;y 1 2 x;y4x2;yx51;y(x1)2;yx;yax(a1)其中幂 函数的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 幂函数有两个 (2)已知 2 22 ()2223 m ymmxn 是幂函数,求 m,n 的值 考点 幂函数的概念 题点 由幂函数定义求参数值 解 由题意得 m22m21, 2

4、n30, 解得 m3, n3 2 或 m1, n3 2. 所以 m3 或 1,n3 2. 反思感悟 判断函数为幂函数的方法 (1)自变量 x 前的系数为 1. (2)底数为自变量 x. (3)指数为常数 跟踪训练 1 (1)已知幂函数 f(x)k x的图象过点 1 2, 2 2 ,则 k 等于( ) A.1 2 B1 C. 3 2 D2 答案 C 解析 由幂函数的定义知 k1. 又 f 1 2 2 2 ,所以 1 2 2 2 , 解得 1 2,从而 k 3 2. (2)已知 f(x)ax2a 1b1 是幂函数,则 ab 等于( ) A2 B1 C.1 2 D0 答案 A 解析 因为 f(x)a

5、x2a 1b1 是幂函数, 所以 a1,b10, 即 a1,b1,则 ab2. 二、幂函数的图象及应用 例 2 (1)已知幂函数 f(x)x的图象过点 P 2,1 4 ,试画出 f(x)的图象并指出该函数的定义域 与单调区间 解 因为 f(x)x的图象过点 P 2,1 4 , 所以 f(2)1 4,即 2 1 4, 得 2,即 f(x)x 2, f(x)的图象如图所示, 定义域为(,0)(0,),单调减区间为(0,),单调增区间为(,0) (2)下列关于函数 yx与 yx 1,1 2,2,3 的图象正确的是( ) 答案 C 反思感悟 (1)幂函数图象的画法 确定幂函数在第一象限内的图象:先根据

6、 的取值,确定幂函数 yx在第一象限内的图 象 确定幂函数在其他象限内的图象:根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数 f(x)在其他象 限内的图象 (2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念,对于幂函数 yx(R),由于 的取值不同,所以相应幂函数的 单调性和奇偶性也不同同时,注意分类讨论思想的应用 跟踪训练 2 (1)如图所示,C1,C2,C3为幂函数 yx在第一象限内的图象,则解析式中的 指数 依次可以取( ) A.4 3,2, 3 4 B2,3 4, 4 3 C2,4 3, 3 4 D.3 4, 4 3,2 答案 C (2)在同一坐标系内,函数 yxa(a0)和 ya

7、x1 a的图象可能是( ) 考点 幂函数的图象 题点 幂函数有关的知图选式问题 答案 C 解析 选项 A 中,幂函数的指数 a1,则直线 yax1 a应为增函数,B 错误; 选项 D 中,幂函数的指数 a0,直线 yax 1 a在 y 轴上的截距为正,D 错误 三、比较幂值的大小 例 3 比较下列各组数的大小 (1) 2 5 0.5与 1 3 0.5; (2) 2 3 1 与 3 5 1; (3) 1 3 3 2 与 1 4 1 3 . 解 (1)因为幂函数 yx0.5在(0,)上是单调递增的, 又2 5 1 3,所以 2 5 0.5 1 3 0.5. (2)因为幂函数 yx 1 在(,0)上

8、是单调递减的, 又2 3 3 5 1. (3)因为 1 3 yx在(0,)上是单调递增的, 所以 1 1 3 3 3 2 1 1, 又 1 4 yx在(0,)上是单调递增的, 所以 1 1 4 4 1 3 1 1,所以 1 3 1 4 3 2 1 3 . 反思感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点:指数不变比较大小的问题主要 是利用函数的单调性, 特别是要善于应用“搭桥”法进行分组, 常数 0 和 1 是常用的中间量 跟踪训练 3 比较下列各组数的大小: (1) 5 2 3 和 5 2 3.1 ; (2) 2 5 4.1, 2 3 3.8 和 3 5 1.9. 解 (1)函数 y 5

9、2 x 在(0,)上为减函数, 又 33.1,所以 5 2 5 2 33.1 . (2) 5 2 5 2 114.1 ; 2 3 2 3 011;3.8 3 5 1.90, 所以 22 35 3 5 3.81 .1.94. 幂函数性质的应用 典例 已知幂函数 yx3m 9 (mN*)的图象关于 y 轴对称且在(0,)上单调递减,求满足 33 312 mm aa 的 a 的取值范围 考点 幂函数的性质 题点 利用幂函数的性质解不等式 解 因为函数在(0,)上单调递减,所以 3m90, 解得 m32a0 或 32aa10 或 a1032a, 解得2 3a 3 2或 a1. 故 a 的取值范围是 a

10、 a1或2 3 a 3 2 2 D 7 8 7 8 8 1 9 答案 A 3函数 yx 3在区间4,2上的最小值是_ 答案 1 8 解析 因为函数 yx 31 x3在(,0)上单调递减, 所以当 x2 时,ymin(2) 3 1 23 1 8. 4若幂函数 2 223 1() mm f xmmx 在(0,)上是减函数,则实数 m_. 答案 2 解析 令 m2m11,得 m2 或 m1. 当 m2 时,m22m33 符合要求 当 m1 时,m22m30 不符合要求 故 m2. 5先分析函数 2 3 yx的性质,再画出其图象 解 2 32 3 yxx,定义域为 R,在0,)上是上凸的增函数,且是偶函数,故其图象如 下: 1知识清单: (1)幂函数的定义 (2)几个常见幂函数的图象 (3)幂函数的性质 2方法归纳: (1)运用待定系数法求幂函数的解析式 (2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想 3常见误区:对幂函数形式的判断易出错,只有形如 yx( 为常数)为幂函数,其它形式都 不是幂函数