1、3 33 3 幂函数幂函数 学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握 yx 1，1 2，1，2，3 的图象与性质.3.理解和 掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题 知识点一 幂函数的概念 一般地，函数 yx叫做幂函数，其中 x 是自变量， 是常数 知识点二 五个幂函数的图象与性质 1在同一平面直角坐标系内函数(1)yx；(2)y 1 2 x；(3)yx2；(4)yx 1；(5)yx3的图象如 图 2五个幂函数的性质 yx yx2 yx3 1 2 yx yx 1 定义域 R R R 0，) x|x0 值域 R 0，) R 0，) y|y0 奇偶性 奇 偶 奇
2、非奇非偶 奇 单调性 增 在0， ) 上增， 在(，0 上减 增 增 在(0，)上减， 在(，0)上减 知识点三 一般幂函数的图象特征 1所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1) 2当 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数特别地，当 1 时，幂函数的图象下凸；当 01 时，幂函数的图象上凸 3当 1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指 数按从小到大的顺序排列 预习小测 自我检验 1下列函数中不是幂函数的是_ yx0； yx3； y2x； yx 1. 答案 2 设 1，1，1 2，3 ， 则使函数yx 的定义域为R且为奇函数的所有的值为_ 答
3、案 1,3 解析 当幂函数为奇函数时，1,1,3， 又函数的定义域为 R， 所以 1，所以 1,3. 3当 x(0,1)时，x2_x3.(填“”“”或“ 4已知幂函数 f(x)x图象过点 2， 2 2 ，则 f(4)_. 答案 1 2 一、幂函数的概念 例 1 (1)下列函数： yx3；y 1 2 x；y4x2；yx51；y(x1)2；yx；yax(a1)其中幂 函数的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 幂函数有两个 (2)已知 2 22 ()2223 m ymmxn 是幂函数，求 m，n 的值 考点 幂函数的概念 题点 由幂函数定义求参数值 解 由题意得 m22m21， 2
4、n30， 解得 m3， n3 2 或 m1， n3 2. 所以 m3 或 1，n3 2. 反思感悟 判断函数为幂函数的方法 (1)自变量 x 前的系数为 1. (2)底数为自变量 x. (3)指数为常数 跟踪训练 1 (1)已知幂函数 f(x)k x的图象过点 1 2， 2 2 ，则 k 等于( ) A.1 2 B1 C. 3 2 D2 答案 C 解析 由幂函数的定义知 k1. 又 f 1 2 2 2 ，所以 1 2 2 2 ， 解得 1 2，从而 k 3 2. (2)已知 f(x)ax2a 1b1 是幂函数，则 ab 等于( ) A2 B1 C.1 2 D0 答案 A 解析 因为 f(x)a
5、x2a 1b1 是幂函数， 所以 a1，b10， 即 a1，b1，则 ab2. 二、幂函数的图象及应用 例 2 (1)已知幂函数 f(x)x的图象过点 P 2，1 4 ，试画出 f(x)的图象并指出该函数的定义域 与单调区间 解 因为 f(x)x的图象过点 P 2，1 4 ， 所以 f(2)1 4，即 2 1 4， 得 2，即 f(x)x 2， f(x)的图象如图所示， 定义域为(，0)(0，)，单调减区间为(0，)，单调增区间为(，0) (2)下列关于函数 yx与 yx 1，1 2，2，3 的图象正确的是( ) 答案 C 反思感悟 (1)幂函数图象的画法 确定幂函数在第一象限内的图象：先根据
6、 的取值，确定幂函数 yx在第一象限内的图 象 确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数 f(x)在其他象 限内的图象 (2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数 yx(R)，由于 的取值不同，所以相应幂函数的 单调性和奇偶性也不同同时，注意分类讨论思想的应用 跟踪训练 2 (1)如图所示，C1，C2，C3为幂函数 yx在第一象限内的图象，则解析式中的 指数 依次可以取( ) A.4 3，2， 3 4 B2，3 4， 4 3 C2，4 3， 3 4 D.3 4， 4 3，2 答案 C (2)在同一坐标系内，函数 yxa(a0)和 ya
7、x1 a的图象可能是( ) 考点 幂函数的图象 题点 幂函数有关的知图选式问题 答案 C 解析 选项 A 中，幂函数的指数 a1，则直线 yax1 a应为增函数，B 错误； 选项 D 中，幂函数的指数 a0，直线 yax 1 a在 y 轴上的截距为正，D 错误 三、比较幂值的大小 例 3 比较下列各组数的大小 (1) 2 5 0.5与 1 3 0.5； (2) 2 3 1 与 3 5 1； (3) 1 3 3 2 与 1 4 1 3 . 解 (1)因为幂函数 yx0.5在(0，)上是单调递增的， 又2 5 1 3，所以 2 5 0.5 1 3 0.5. (2)因为幂函数 yx 1 在(，0)上
8、是单调递减的， 又2 3 3 5 1. (3)因为 1 3 yx在(0，)上是单调递增的， 所以 1 1 3 3 3 2 1 1， 又 1 4 yx在(0，)上是单调递增的， 所以 1 1 4 4 1 3 1 1，所以 1 3 1 4 3 2 1 3 . 反思感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变比较大小的问题主要 是利用函数的单调性， 特别是要善于应用“搭桥”法进行分组， 常数 0 和 1 是常用的中间量 跟踪训练 3 比较下列各组数的大小： (1) 5 2 3 和 5 2 3.1 ； (2) 2 5 4.1， 2 3 3.8 和 3 5 1.9. 解 (1)函数 y 5
9、2 x 在(0，)上为减函数， 又 33.1，所以 5 2 5 2 33.1 . (2) 5 2 5 2 114.1 ； 2 3 2 3 011;3.8 3 5 1.90, 所以 22 35 3 5 3.81 .1.94. 幂函数性质的应用 典例 已知幂函数 yx3m 9 (mN*)的图象关于 y 轴对称且在(0，)上单调递减，求满足 33 312 mm aa 的 a 的取值范围 考点 幂函数的性质 题点 利用幂函数的性质解不等式 解 因为函数在(0，)上单调递减，所以 3m90， 解得 m32a0 或 32aa10 或 a1032a， 解得2 3a 3 2或 a1. 故 a 的取值范围是 a
10、 a1或2 3 a 3 2 2 D 7 8 7 8 8 1 9 答案 A 3函数 yx 3在区间4，2上的最小值是_ 答案 1 8 解析 因为函数 yx 31 x3在(，0)上单调递减， 所以当 x2 时，ymin(2) 3 1 23 1 8. 4若幂函数 2 223 1() mm f xmmx 在(0，)上是减函数，则实数 m_. 答案 2 解析 令 m2m11，得 m2 或 m1. 当 m2 时，m22m33 符合要求 当 m1 时，m22m30 不符合要求 故 m2. 5先分析函数 2 3 yx的性质，再画出其图象 解 2 32 3 yxx，定义域为 R，在0，)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如 下： 1知识清单： (1)幂函数的定义 (2)几个常见幂函数的图象 (3)幂函数的性质 2方法归纳： (1)运用待定系数法求幂函数的解析式 (2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想 3常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如 yx( 为常数)为幂函数，其它形式都 不是幂函数