1、3 31.21.2 函数的表示法函数的表示法( (一一) ) 学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝 试作图并从图象上获取有用的信息 知识点 函数的表示方法 思考 函数三种表示法的优缺点？ 答案 1任何一个函数都可以用解析法表示( ) 2任何一个函数都可以用图象法表示( ) 3函数 f(x)2x1 不能用列表法表示( ) 4函数的图象一定是一条连续不断的曲线( ) 一、函数的表示方法 例 1 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售出台数 x(x 为正整数)与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来
2、解 (1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法：如图所示 (3)解析法：y3 000 x，x1,2,3，10 反思感悟 应用函数三种表示方法应注意以下三点 (1)解析法必须注明函数的定义域； (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线” 跟踪训练 1 由下表给出函数 yf(x)，则 f(f(1)等于( ) x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A.1
3、B2 C4 D5 答案 B 解析 由题中表格可知 f(1)4，所以 f(f(1)f(4)2. 二、求函数解析式 例 2 求下列函数的解析式： (1)已知函数 f( x1)x2 x，求 f(x)； (2)已知函数 f(x)是二次函数，且 f(0)1，f(x1)f(x)2x，求 f(x) 解 (1)方法一 (换元法) 设 t x1，则 x(t1)2(t1) f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21， f(x)x21(x1) 方法二 (配凑法) x2 x( x)22 x11( x1)21， f( x1)( x1)21( x11)， f(x)x21(x1) (2)设 f(x)ax2bxc(a
4、0) f(0)1，c1. 又f(x1)f(x)2x， a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x， 整理，得 2ax(ab)2x. 由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等， 2a2， ab0， 解得 a1， b1， f(x)x2x1. 反思感悟 求函数解析式的常用方法 (1)换元法(有时可用“配凑法”)： 已知函数f(g(x)的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配 凑法”)，即令 g(x)t，反解出 x，然后代入 f(g(x)中求出 f(t)，从而求出 f(x) (2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式， 再根据条件列方程(组)，通过解方程(
5、组)求出待定系数，进而求出函数解析式 跟踪训练 2 (1)已知 f(x22)x44x2，则 f(x)的解析式为_ 答案 f(x)x24(x2) 解析 因为 f(x22)x44x2(x22)24， 令 tx22(t2)，则 f(t)t24(t2)， 所以 f(x)x24(x2) (2)已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x)4x1，则 f(x)_. 答案 2x1 3或2x1 解析 因为 f(x)是一次函数，设 f(x)axb(a0)， 则 f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb. 又因为 f(f(x)4x1，所以 a2xabb4x1. 所以 a24， abb1， 解得 a2， b1
6、 3 或 a2， b1. 所以 f(x)2x1 3或 f(x)2x1. 三、函数的图象 例 3 作出下列函数的图象 (1)y2x1，x0,2； (2)y2 x，x2，)； (3)yx22x，x2,2 解 (1)当 x0,2时，图象是直线 y2x1 的一部分 (2)当 x2，)时，图象是反比例函数 y2 x的一部分 (3)当2x2 时，图象是抛物线 yx22x 的一部分 延伸探究 根据作出的函数图象求其值域 解 观察图象可知： (1)中函数的值域为1,5 (2)中函数的值域为(0,1 (3)中函数的值域为1,8 反思感悟 作函数 yf(x)图象的方法 (1)若 yf(x)是已学过的函数，则描出图
7、象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需 要根据定义域进行取舍 (2)若 yf(x)不是所学过的函数之一，则要按：列表；描点；连线三个基本步骤作出 y f(x)的图象 跟踪训练 3 作出下列函数的图象： (1)y1x(xZ)； (2)yx24x3，x1,3 解 (1)因为 xZ， 所以图象为直线 y1x 上的孤立点，其图象如图所示 (2)yx24x3(x2)21， 当 x1,3 时，y0； 当 x2 时，y1，其图象如图所示 函数图象的应用 典例 (1)已知 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的定义域为_，值域为_ 考点 函数图象 题点 函数图象的应用 答案 2,45,8 4,3 解析
8、 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合 (2)若函数 f(x)x24x3(x0)的图象与 ym 有两个交点，求实数 m 的取值范围 考点 函数图象 题点 函数图象的应用 解 f(x)x24x3(x0)的图象如图， f(x)的图象与直线 ym 有 2 个不同交点， 由图易知1m3. 素养提升 (1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数 图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点 (2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直 观想象的核心内容，也是数学的核心素养 1已知函数 f(x)由下表给出，则
9、 f(f(3)等于( ) x 1 2 3 4 f(x) 3 2 4 1 A1 B2 C3 D4 考点 函数的表示法 题点 函数的表示法 答案 A 2已知函数 f(2x1)6x5，则 f(x)的解析式是( ) Af(x)3x2 Bf(x)3x1 Cf(x)3x1 Df(x)3x4 答案 A 解析 方法一 令 2x1t，则 xt1 2 . 所以 f(t)6t1 2 53t2， 所以 f(x)3x2. 方法二 因为 f(2x1)3(2x1)2， 所以 f(x)3x2. 3 某同学从家里到学校， 为了不迟到， 先跑， 跑累了再走余下的路， 设在途中花的时间为 t， 离开家里的路程为 d，下面图形中，能
10、反映该同学的行程的是( ) 考点 函数图象 题点 函数图象的判断与理解 答案 C 4设函数 f 1x 1x x，则 f(x)的表达式为( ) A.1x 1x(x1) B.1x x1(x1) C.1x 1x(x1) D. 2x x1(x1) 答案 C 解析 令 t1x 1x，则 x 1t 1t， f(t)1t 1t， 即 f(x)1x 1x. 5 已知二次函数f(x)的图象经过点(3,2)， 顶点是(2,3)， 则函数f(x)的解析式为_ 答案 f(x)x24x1 解析 设 f(x)a(x2)23(a0)， 由 yf(x)过点(3,2)，得 a1， f(x)(x2)23x24x1. 1知识清单： (1)函数的表示方法 (2)求函数解析式 (3)函数的图象 2方法归纳： (1)待定系数法、换元法 (2)数形结合法 3常见误区：求函数解析式时易忽视定义域