1、第第 2 2 课时课时 奇偶性的应用奇偶性的应用 学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大 小、求最值和解不等式 知识点一 用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间a，b上的解析式，想求关于原点的对称区间b，a 上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设 (2)要利用已知区间的解析式进行代入 (3)利用 f(x)的奇偶性写出f(x)或 f(x)，从而解出 f(x) 知识点二 奇偶性与单调性 若函数 f(x)为奇函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相同的单调 性；若函
2、数 f(x)为偶函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相反的 单调性 预习小测 自我检验 1若 f(x)的定义域为 R，且 f(x)为奇函数，则 f(0)_. 答案 0 2 若 f(x)为 R 上的奇函数， 且在0， )上单调递减， 则 f(1)_f(1) (填“”“” 或“ 解析 f(x)为 R 上的奇函数，且在0，)上单调递减， f(x)在 R 上单调递减， f(1)f(1) 3 如果奇函数 f(x)在区间7， 3上是减函数， 那么函数 f(x)在区间3,7上是_函数 答案 减 解析 f(x)为奇函数，f(x)在3,7上的单调性与7，3上一致，f(x)在3,7上是减
3、函 数 4函数 f(x)为偶函数，若 x0 时，f(x)x，则 x0 时，f(x)_. 答案 x 解析 方法一 令 x0， f(x)x， 又f(x)为偶函数，f(x)f(x)， f(x)x(x0) 方法二 利用图象(图略)可得 x0 时， f(x)x1， 求当 x0 时， f(x)的解析式 考点 函数奇偶性的应用 题点 利用奇偶性求函数的解析式 解 设 x0， f(x)(x)1x1， 又函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数， 当 x0 时，f(x)f(x)x1. 反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化为x，此时 x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过
4、应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即 可得所求区间上的解析式 跟踪训练 1 已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x(0，)时，f(x)x(1x)，求 f(x)的解析 式 解 因为 x(，0)时，x(0，)， 所以 f(x)x1(x)x(x1) 因为 f(x)是 R 上的奇函数， 所以 f(x)f(x)x(x1)，x(，0) f(0)0. 所以 f(x) x1x，x0， xx1，xf(3)f(2) Bf()f(2)f(3) Cf()f(3)f(2) Df()f(2)32， 所以 f()f(3)f(2)，故 f()f(3)f(2) 反思感悟 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)自变量在同
5、一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后 利用单调性比较大小 跟踪训练 3 (1)已知偶函数 f(x)在0，)上单调递减，则 f(1)和 f(10)的大小关系为( ) Af(1)f(10) Bf(1)f(10) Cf(1)f(10) Df(1)和 f(10)关系不定 答案 A 解析 f(x)是偶函数，且在0，)上单调递减， f(10)f(10)b0，下列不等式中成立的有_(填序号) f(a)f(b)； f(a)f(b)； g(a)g(b)； g(a)f(a) 答案 解析 f(x)为 R 上奇函数，增函数，
6、且 ab0， f(a)f(b)f(0)0， 又ab0，f(a)f(b)f(b)0f(b)f(a)， 正确，错误 x0，)时，g(x)f(x)， g(x)在0，)上单调递增， g(a)g(a)g(b)g(b)，正确，错误 又 g(a)g(a)f(a)f(a)，正确 三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式 例 4 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(，0)上是增函数若 f(3)0，则 fx x 0 的解集为_ 答案 x|3x3 解析 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(，0)上是增函数， f(x)在区间(0，)上是减函数 f(3)f(3)0. 当 x0 时，由 f(x)3
7、； 当 x0，解得3x0. 故所求解集为x|3x3 (2)已知偶函数 f(x)在区间0， )上单调递增， 则满足 f(2x1)f 1 3 的 x 的取值范围为( ) A. 1 3， 2 3 B. 1 3， 2 3 C. 1 2， 2 3 D. 1 2， 2 3 答案 A 解析 由于 f(x)为偶函数，且在0，)上单调递增，则不等式 f(2x1)f 1 3 ， 即1 32x1 1 3， 解得1 3x 2 3. 反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式； (2)转化为简单不等式求解 利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 f(x1)f(x2)的形式；
8、 根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式 中的“f”转化为简单不等式(组)求解 跟踪训练 4 设定义在2,2上的奇函数 f(x)在区间0,2上是减函数，若 f(1m)f(m)，求实 数 m 的取值范围 解 因为 f(x)是奇函数且 f(x)在0,2上是减函数， 所以 f(x)在2,2上是减函数 所以不等式 f(1m)m， 2m2， 21m2， 解得1mf(0)f(1) Bf(3)f(1)f(0) Cf(1)f(0)f(3) Df(1)f(3)f(0) 考点 抽象函数单调性与奇偶性 题点 抽象函数单调性与不等式结合问题 答案 B 解析 f(3)f(3)，且
9、 f(x)在区间0，)上是增函数，f(3)f(1)f(0) 2定义在 R 上的偶函数 f(x)在0，)上是增函数，若 f(a)f(b)，则一定可得( ) Aab C|a|b| D0ab0 考点 抽象函数单调性与奇偶性 题点 抽象函数单调性与不等式结合问题 答案 C 3已知函数 f(x)为偶函数，且当 x0 时，f(x)_. 答案 x1 解析 当 x0 时，x0， 则 x 的取值范围是_ 答案 (1,3) 解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(x1)f(|x1|) 又因为 f(2)0， 所以 f(x1)0 可化为 f(|x1|)f(2) 又因为 f(x)在0，)上单调递减， 所以|x1|2，解得2x12， 所以1x3. 1知识清单： (1)利用奇偶性，求函数的解析式 (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式 2方法归纳： 利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结 合思想和直观想象数学素养 3常见误区：解不等式易忽视函数的定义域