1、第第 2 2 课时课时 基本不等式的应用基本不等式的应用 学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 知识点 用基本不等式求最值 用基本不等式xy 2 xy求最值应注意： (1)x，y 是正数； (2)如果 xy 等于定值 P，那么当 xy 时，和 xy 有最小值 2 P； 如果 xy 等于定值 S，那么当 xy 时，积 xy 有最大值1 4S 2. (3)讨论等号成立的条件是否满足 预习小测 自我检验 1已知 0x2，则 x 4 x2的最小值为_ 答案 6 解析 x 4 x2x2 4 x22， x2
2、0，x2 4 x222 42426. 当且仅当 x2 4 x2，即 x4 时取“” 一、利用基本不等式变形求最值 例 1 已知 x0，y0，且1 x 9 y1，求 xy 的最小值 解 方法一 x0，y0，1 x 9 y1， xy 1 x 9 y (xy)y x 9x y 10 61016， 当且仅当y x 9x y ， 又1 x 9 y1，即 x4，y12 时，上式取等号 故当 x4，y12 时，(xy)min16. 方法二 由1 x 9 y1，得(x1)(y9)9(定值) 由1 x 9 y1 可知 x1，y9， xy(x1)(y9)10 2 x1y91016， 当且仅当 x1y93， 即 x
3、4，y12 时上式取等号， 故当 x4，y12 时，(xy)min16. 延伸探究 若将条件换为：x0，y0 且 2x8yxy，求 xy 的最小值 解 方法一 由 2x8yxy0，得 y(x8)2x. x0，y0，x80，y 2x x8， xyx 2x x8x 2x1616 x8 (x8) 16 x8102 x8 16 x81018. 当且仅当 x8 16 x8，即 x12 时，等号成立 xy 的最小值是 18. 方法二 由 2x8yxy0 及 x0，y0， 得8 x 2 y1. xy(xy) 8 x 2 y 8y x 2x y 102 8y x 2x y 1018. 当且仅当8y x 2x
4、y ，即 x2y12 时等号成立 xy 的最小值是 18. 反思感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不 等式及使等号成立的条件当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一 致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换 跟踪训练 1 已知正数 x，y 满足 xy1，则1 x 4 y的最小值是_ 答案 9 解析 xy1， 1 x 4 y(xy) 1 x 4 y 14y x 4x y . x0，y0，y x0， 4x y 0， y x 4x y 2 y x 4x y 4， 5y x 4x y 9. 当且仅当 xy1， y x 4x y ， 即 x1
5、3，y 2 3时等号成立 1 x 4 y min9. 二、基本不等式在实际问题中的应用 例 2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族 伟大“中国梦”的重要保障某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入 资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量 Q 万件(生产量与销售量 相等)与推广促销费 x 万元之间的函数关系为 Qx1 2 (其中推广促销费不能超过 3 万元)已 知加工此批农产品还要投入成本 2 Q1 Q 万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品 的销售价格定为 220 Q 元/件 那么当推广促销费投入多少万元时， 此
6、批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润销售额 成本推广促销费) 解 设该批产品的利润为 y， 由题意知 y 220 Q Q2 Q1 Q x 2Q202Q2 Qx20 2 Qx 20 4 x1x21 4 x1x1 ，0 x3. 21 4 x1x1 212 417， 当且仅当 x1 时，上式取“”， 当 x1 时，ymax17. 答 当推广促销费投入 1 万元时，利润最大为 17 万元 反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问 题(求解)， 最后要回应题意下结论(作答) 使用基本不等式求最值， 要注意验证等号是否成立 跟踪训练 2 2016年 11
7、月3 日 20 点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发 射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志长征五号运载火箭的设计生 产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以 x 千克/时的速度匀速生产 时(为保证质量要求 1x10)，每小时可消耗 A 材料 kx29 千克，已知每小时生产 1 千克该 产品时，消耗 A 材料 10 千克消耗 A 材料总重量为 y 千克，那么要使生产 1 000 千克该产品 消耗 A 材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的 A 材料最少为多少 解 由题意，得 k910，即 k1， 生产 1 000 千克该产品需要的时间是1
8、 000 x ， 所以生产 1 000 千克该产品消耗的 A 材料为 y1 000 x (x29)1 000 x9 x 1 0002 96 000， 当且仅当 x9 x，即 x3 时，等号成立，且 130， 225x360 2 x 2 225360210 800. y225x360 2 x 36010 440. 当且仅当 225x360 2 x 时，等号成立 即当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10 440 元 素养提升 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以 建立的模型要有广泛的应用才有价值本例中所涉及的 yxa x(a0)就是一个应用广泛
9、的函 数模型 1设 x0，则 33x1 x的最大值是( ) A3 B32 2 C1 D32 3 答案 D 解析 x0，3x1 x2 3x 1 x2 3，当且仅当 x 3 3 时取等号， 3x1 x 2 3， 则 33x1 x32 3，故选 D. 2已知x 2x1 x1 (x1)在 xt 时取得最小值，则 t 等于( ) A1 2 B2 C3 D4 答案 B 解析 x2x1 x1 xx11 x1 x 1 x1 x1 1 x11213， 当且仅当 x1 1 x1，即 x2 时，等号成立 3将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度 的铁丝中，选用最合理(够用
10、且浪费最少)的是( ) A6.5 m B6.8 m C7 m D7.2 m 答案 C 解析 设两直角边分别为 a，b，直角三角形的框架的周长为 l，则1 2ab2，ab4，la b a2b22 ab 2ab42 26.828(m)要求够用且浪费最少，故选 C. 4已知正数 a，b 满足 a2b2，则2 a 1 b的最小值为_ 答案 4 解析 2 a 1 b 2 a 1 b 1 2(a2b) 1 2 4a b 4b a 1 2(42 4)4. 当且仅当a b 4b a ，即 a1，b1 2时等号成立， 2 a 1 b的最小值为 4. 5设计用 32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法
11、规定厢宽为 2 m，则车厢的最 大容积是_ m3. 答案 16 解析 设车厢的长为 b m，高为 a m. 由已知得 2b2ab4a32，即 b162a a1 ， Va 162a a1 22 16a2a2 a1 . 设 a1t，则 V2 202t18 t 2 202 2t 18 t 16， 当且仅当 t3，即 a2，b4 时等号成立 1知识清单： (1)已知 x，y 是正数 若 xyS(和为定值)，则当 xy 时，积 xy 取得最大值 若 x yP(积为定值)，则当 xy 时，和 xy 取得最小值 即：“和定积最大，积定和最小” (2)求解应用题的方法与步骤 审题，建模(列式)，解模，作答 2方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值 3常见误区：缺少等号成立的条件