1、第第 2 2 课时课时 一元二次不等式在实际问题中的应用一元二次不等式在实际问题中的应用 学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程了解一元二次不等式的现实 意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题 知识点 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1理解题意，搞清量与量之间的关系； 2建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题 3解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解 预习小测 自我检验 1不等式1x 1x0 的解集为_ 答案 x|1x1 解析 原不等式 x1x10， x10， 1x1. 2不等式1 x1 的解集为_ 答案 x|x1 或 x0 解析 1
2、x1， x1 x 0， xx10， x0， x1 或 x0. 3 若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020 x0.1x2(0x240)， 若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 _ 台 答案 150 解析 y25x0.1x25x3 0000， 即 x250 x30 0000， 解得 x150 或 x200(舍去) 4 某商品在最近 30天内的价格 y1与时间 t(单位： 天)的函数关系是 y1t10(0t30， tN)； 销售量 y2与时间 t 的函数关系是 y2t35(0t30，tN)，使这种商品日销售金额不小于
3、500 元的 t 的范围是_ 答案 t|10t15，tN 解析 日销售金额(t10)(t35)， 依题意有(t10)(t35)500， 解得解集为t|10t15，tN 一、分式不等式的解法 例 1 解下列不等式： (1)2x5 x4 0； (2) x1 2x31. 解 (1)2x5 x4 0(2x5)(x4)04x5 2， 原不等式的解集为 x 4x5 2 . (2) x1 2x31， x1 2x310， x4 2x3 0，即x4 x3 2 0. 此不等式等价于(x4) x3 2 0 且 x3 20，解得 x 3 2或 x4， 原不等式的解集为 x x1. 解 (1)原不等式可化为 2x13x
4、10， 3x10. 解得 x1 3或x 1 2， x1 3， x1 3或 x 1 2， 原不等式的解集为 x x0， 2xx3 或 x30， 2x3， x1 2 或 x1 2， 3x1 2， 原不等式的解集为 x 3x0， 化简得2x1 x3 0，即2x1 x3 0， (2x1)(x3)0，解得3x1 2. 原不等式的解集为 x 3x0)个百分点，预测收购量可增加 2x 个百分点 (1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的 83.2%，试确定 x 的取值范围 解 (1)降低税率后的税率为(10 x)%，农产品的收购量为 a(12x%)
5、万担，收购总金额为 200a(12x%)万元依题意得 y200a(12x%)(10 x)% 1 50a(1002x)(10 x)(0x10) (2)原计划税收为 200a10%20a(万元) 依题意得 1 50a(1002x)(10 x)20a83.2%， 化简得 x240 x840，解得42x2. 又因为 0x10，所以 0x2. 即 x 的取值范围为x|025 时，不等式 ax258501 6(x 2600)x 5有解， 等价于当 x25 时，a150 x x 6 1 5有解 由于150 x x 62 150 x x 610，当且仅当 150 x x 6，即 x30 时等号成立， 所以 a
6、10.2. 故当该商品改革后的销售量 a 至少达到 10.2 万件时， 才可能使改革后的销售收入不低于原收 入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元 不等式恒成立问题 典例 (1)若对xR 不等式 x2mx4xm4 恒成立，求实数 m 的取值范围； (2)若 x24xm4 在 R 上恒成立，求 m 的取值范围 解 (1)原不等式可化为 x2(m4)x4m0， (m4)24(4m)m24m0， 0m4， m 的取值范围为m|0mm 恒成立， m0， m 的取值范围为m|m0(a0)恒成立 a0， 0. ax2bxc0(a0)恒成立 a0， 0. 1不等式x1 x20 的解集为( ) Ax
7、|1x2 Bx|x1 或 x2 Cx|1x2 或 x1 答案 D 解析 由题意可知，不等式等价于 x1x20， x20， x2 或 x1.故选 D. 2不等式 3 x11 的解集是( ) Ax|x1 或1x2 Bx|1x2 Cx|x2 Dx|1x2 答案 D 解析 3 x11， 3 x110， 3x1 x1 0， 即x2 x10，等价于(x2)(x1)0 或 x20， 故1320， 即 x228x1920，解得 12x16， 所以每件售价应定为 12 元到 16 元之间 4若实数 a，b 满足 ab0，则不等式xa bxa 或 xb 解析 原不等式等价于 (xa)(bx)0. 又 ab0，所以
8、 ba 或 xb 5某地每年销售木材约 20 万 m3，每立方米的价格为 2 400 元为了减少木材消耗，决定按 销售收入的 t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少5 2t 万 m 3，为了既减少了木材消耗又 保证税金收入每年不少于 900 万元，则 t 的取值范围是_ 答案 t|3t5 解析 设按销售收入的 t%征收木材税时，税金收入为 y 万元， 则 y2 400 205 2t t%60(8tt 2) 令 y900，即 60(8tt2)900，解得 3t5. 1知识清单： (1)简单的分式不等式的解法 (2)利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： 选取合适的字母表示题目中的未知数； 由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； 求解所列出的不等式(组)； 结合题目的实际意义确定答案 2方法归纳：转化、恒等变形 3常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义