1、1 15 5 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 1 15.15.1 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 学习目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假 知识点 全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对 M 中任意一个 x， p(x)成立”， 可 用符号简记为“xM，p(x)” “存在 M 中的元素 x，p(x)成立”，可 用符号简记为“xM，
2、p(x)” 1“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词( ) 2全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”( ) 3“三角形内角和是 180 ”是全称量词命题( ) 一、全称量词命题与存在量词命题的辨析 例 1 (1)下列语句不是存在量词命题的是 ( ) A有的无理数的平方是有理数 B有的无理数的平方不是有理数 C对于任意 xZ,2x1 是奇数 D存在 xR,2x1 是奇数 答案 C 解析 因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项 A，B，D 均为 存在量词命题，选项 C 为全称量词命题 (2)给出下列几个命题： 至少有一个 x，使 x22x10 成立； 对任
3、意的 x，都有 x22x10 成立； 对任意的 x，都有 x22x10 不成立； 存在 x，使 x22x10 成立 其中是全称量词命题的个数为( ) A1 B2 C3 D0 答案 B 解析 因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以为存 在量词命题，为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为 2. 反思感悟 全称量词命题或存在量词命题的判断 注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略 跟踪训练 1 下列命题中全称量词命题的个数为( ) 平行四边形的对角线互相平分； 梯形有两边平行； 存在一个菱形，它的四条边不相等 A0 B1 C2 D3 答案
4、C 解析 是全称量词命题，是存在量词命题 二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例 2 判断下列命题的真假 (1)xZ，x30. 解 (1)因为1Z，且(1)311， 所以“xZ，x30”是假命题 反思感悟 全称量词命题和存在量词命题真假的判断 (1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素 x，命题 p(x)为真；但要 判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素 x，使命题 p(x)为假 (2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素 x，使命题 p(x)为真； 要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素 x，命题 p(x)
5、为假 跟踪训练 2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假 (1)xN,2x1 是奇数； (2)存在一个 xR，使 1 x10. 解 (1)是全称量词命题，因为xN,2x1 都是奇数，所以该命题是真命题 (2)是存在量词命题因为不存在 xR，使 1 x10 成立，所以该命题是假命题 三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 例 3 已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且 B. (1)若命题 p：“xB，xA”是真命题，求 m 的取值范围； (2)命题 q：“xA，xB”是真命题，求 m 的取值范围 解 (1)由于命题 p：“xB，xA”是真命题， 所以 BA，
6、B， 所以 m12m1， m12， 2m15， 解得 2m3. (2)q 为真，则 AB， 因为 B，所以 m2. 所以 m15， 2m12， m2. 解得 2m4. 反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略 对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函 数的最大值(或最小值) 跟踪训练 3 若命题“对任意实数 x,2xm(x21)”是真命题，求实数 m 的取值范围 解 由题意知，不等式 2xm(x21)恒成立， 即不等式 mx22xm0 恒成立 (1)当 m0 时，不等式可化为2x0，显然不恒成立，不合题意 (2)当 m0 时，要使不等式 mx2
7、2xm0 恒成立， 则 m0， 44m20. 解得 m1. 综上可知，所求实数 m 的取值范围是 m1. 1下列语句不是全称量词命题的是( ) A任何一个实数乘以零都等于零 B自然数都是正整数 C高二(一)班绝大多数同学是团员 D每一个学生都充满阳光 答案 C 解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是存在量 词命题 2下列命题中为全称量词命题的是( ) A有些实数没有倒数 B矩形都有外接圆 C存在一个实数与它的相反数的和为 0 D过直线外一点有一条直线和已知直线平行 答案 B 3下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A每个二次函数的图象都开口向上 B存在一条直线与已知直线不平行 C对任意实数 a，b，若 ab0，则 ab D存在一个实数 x，使等式 x22x10 成立 答案 C 解析 B，D 是存在量词命题，故应排除；对于 A，二次函数 yax2bxc(a3，xa 恒成立，则 a 的取值范围是_ 答案 a3 解析 对于任意 x3，xa 恒成立，即大于 3 的数恒大于 a，所以 a3. 1知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的概念 (2)含量词的命题的真假判断 (3)通过含量词的命题的真假求参数 2常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调 “个别、部分”