1、1 14.14.1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质 定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题 知识点 充分条件与必要条件 “若 p，则 q”为真命题 “若 p，则 q”为假命题 推出关系 pq pq 条件关系 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 p 不是 q 的充分条件 q 不是 p 的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 思考 若 p 是 q 的充分条件，这样的条件 p 唯一吗？ 答案 不唯一 例如“x1”是“x
2、0”的充分条件， p 可以是“x2”“x3”或“2x3”等 预习小测 自我检验 1若条件 p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则 p 是 q 的_条件 答案 必要 2已知 AB，则“xA”是“xB”的_条件 答案 充分 3p：|x|y|，q：xy，则 p 是 q 的_条件 答案 必要 解析 xy|x|y|，即 qp， p 是 q 的必要条件 4p：a0，q：ab0，则 p 是 q 的_条件 答案 充分 一、充分条件的判断 例 1 (1)下列命题中，p 是 q 的充分条件的是_ p：(x2)(x3)0，q：x20； p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； p：m2，q：方程 x2xm0
3、 无实根 答案 解析 (x2)(x3)0， x2 或 x3，不能推出 x20. p 不是 q 的充分条件 两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，p 不是 q 的充分条件 m2，124m2 且 b2”是“ab4，ab4”的_条件 答案 充分 解析 由 a2 且 b2ab4，ab4， 是充分条件 反思感悟 充分条件的判断方法 (1)判定 p 是 q 的充分条件要先分清什么是 p，什么是 q，即转化成 pq 问题 (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若 p 构成的集合为 A，q 构成的 集合为 B，AB，则 p 是 q 的充分条件 跟踪训练 1 “x2”是“x24”的_条件
4、 答案 充分 解析 x2x24，故 x2 是 x24 的充分条件 二、必要条件的判断 例 2 在以下各题中，分析 p 与 q 的关系： (1)p：x2 且 y3，q：xy5； (2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形 解 (1)由于 pq，故 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 (2)由于 qp，故 q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件 反思感悟 (1)判断 p 是 q 的什么条件，主要判断若 p 成立时，能否推出 q 成立，反过来，若 q 成立时，能否推出 p 成立；若 pq 为真，则 p 是 q 的充分条件，若 qp 为真，则 p 是 q 的必要条件 (
5、2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“xA”，条件乙“xB”，若 AB，则甲是乙的 必要条件 跟踪训练 2 分析下列各项中 p 与 q 的关系 (1)p： 为锐角，q：45 . (2)p：(x1)(x2)0，q：x10. 解 (1)由于 qp，故 p 是 q 的必要条件，q 是 p 的充分条件 (2)由于 qp，故 p 是 q 的必要条件，q 是 p 的充分条件 三、充分条件与必要条件的应用 例 3 已知 p：实数 x 满足 3axa，其中 a0；q：实数 x 满足2x3.若 p 是 q 的充分条 件，求实数 a 的取值范围 解 p：3axa，即集合 Ax|3axa q：2x3，即集合 Bx|
6、2x3 因为 pq，所以 AB， 所以 3a2， a3， a0 2 3a0， 所以 a 的取值范围是2 3a0. 延伸探究 1将本例中条件 p 改为“实数 x 满足 ax0”，若 p 是 q 的必要条件，求实数 a 的取值范围 解 p：ax3a，即集合 Ax|ax3， a0 a. 2将例题中的条件“q：实数 x 满足2x3”改为“q：实数 x 满足3x0”其他条件 不变，求实数 a 的取值范围 解 p：3axa，其中 a0，即集合 Ax|3axa q：3x0，即集合 Bx|3x0 因为 p 是 q 的充分条件，所以 pq，所以 AB， 所以 3a3， a0， a0 1a0. 所以 a 的取值范
7、围是1a1，q：x1 Dp：ab，q： a b 答案 A 解析 根据充分条件的概念逐一判断 3“同位角相等”是“两直线平行”的( ) A充分条件 B必要条件 C既是充分条件，也是必要条件 D既不充分又不必要条件 答案 C 4若“x1”是“xa”的充分条件，则 a 的取值范围是_ 答案 a1 解析 因为 x1xa，所以 a1. 5“x22x”是“x0”的_条件，“x0”是“x22x”的_条件(用“充 分”“必要”填空) 答案 必要 充分 解析 由于 x0 x22x，所以“x22x”是“x0”的必要条件，“x0”是“x22x”的 充分条件 1知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念 (2)充分性、必要性的判断 (3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系 (4)充分条件与必要条件的应用 2常见误区： 充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值