1、2 22 2 基本不等式基本不等式 第第 1 1 课时课时 基本不等式基本不等式 学习目标 1.掌握基本不等式及推导过程.2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小.3.能 初步运用基本不等式进行证明和求最值 知识点 基本不等式 1如果 a0，b0， abab 2 ，当且仅当 ab 时，等号成立 其中ab 2 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平均数 2变形：ab ab 2 2，a，bR，当且仅当 ab 时，等号成立 ab2 ab，a，b 都是正数，当且仅当 ab 时，等号成立 1对于任意 a，bR，a2b22ab.( ) 2nN*时，n2 n2 2.( ) 3x0
2、时，x1 x2.( ) 4若 a0，则 a3 1 a2的最小值为 2 a.( ) 一、利用基本不等式比较大小 例 1 某工厂生产某种产品，第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b， 这两年的平均增长率为 x(a，b，x 均大于零)，则( ) Axab 2 Bxab 2 Cxab 2 Dxab 2 考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 答案 B 解析 第二年产量为 AA aA(1a)， 第三年产量为 A(1a)A(1a) bA(1a)(1b) 若平均增长率为 x，则第三年产量为 A(1x)2. 依题意有 A(1x)2A(1a)(1b)， a0，b0，x0，
3、(1x)2(1a)(1b) 1a1b 2 2， 1x2ab 2 1ab 2 ，xab 2 . 反思感悟 基本不等式ab 2 ab一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利 用这个桥梁化和为积或者化积为和 跟踪训练 1 若 0a1,0b1，且 ab，试找出 ab，a2b2，2 ab，2ab 中的最大者 解 0a1,0b2 ab，a2b22ab， 四个数中最大的应从 ab，a2b2中选择 而 a2b2(ab)a(a1)b(b1)， 0a1,0b1， a(a1)0，b(b1)0， a2b2(ab)0， 即 a2b20 时，求12 x 4x 的最小值； (2)当 x1 时，求 2x 8 x1的
4、最小值； (4)已知 4xa x(x0，a0)在 x3 时取得最小值，求 a 的值 解 (1)x0，12 x 0,4x0. 12 x 4x2 12 x 4x8 3. 当且仅当12 x 4x，即 x 3时取最小值 8 3， 当 x0 时，12 x 4x 的最小值为 8 3. (2)x0. 则 12 x(4x)2 12 x 4x8 3， 当且仅当 12 x4x 时，即 x 3时取等号 12 x 4x8 3. 当 x1，x10， 2x 8 x122 4210， 当且仅当 x1 4 x1，即 x3 时，取等号 (4)4xa x2 4x a x4 a， 当且仅当 4xa x，即 a4x 236 时取等号
5、， a36. 反思感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点： 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为 定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否 具备 跟踪训练 2 已知 x0，y0，且 xy8，则(1x) (1y)的最大值为( ) A16 B25 C9 D36 答案 B 解析 因为 x0，y0，且 xy8， 所以(1x)(1y)1xyxy9xy9 xy 2 294225， 因此当且仅当 xy4 时， (1x) (1y)取最大值 25. 三、用基本不等式证明不等式 例 3 已知 a，b，c 都是正数，求证：abc
6、 ab bc ac0. 证明 a，b，c 都是正数， ab2 ab，bc2 bc，ac2 ac， abbcac2( ab bc ac)， abc ab bc ac， 即 abc ab bc ac0. 反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的 逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知” (2)注意事项： 多次使用基本不等式时， 要注意等号能否成立； 累加法是不等式证明中的一种常用方法， 证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式 模
7、型，再使用 跟踪训练 3 若实数 a0，求证：a1 a2，并指出等号成立的条件 证明 根据题意，a0， 左式a1 a a 1 a ， 又由(a) 1 a 2a 1 a 2， 则有 a1 a2， 当且仅当 a1 时，等号成立 故 a1 a2，当且仅当 a1 时，等号成立 1若 0aab 2 abb Bb abab 2 a Cbab 2 aba Dbaab 2 ab 考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解 答案 C 解析 0aab，bab 2 ab. 又ba0，aba2， aba.故 bab 2 aba. 2下列不等式正确的是( ) Aa1 a2 B(a) 1 a 2 Ca2 1 a22
8、D(a)2 1 a 22 答案 C 解析 a20，故 a2 1 a22 成立 3下列等式中最小值为 4 的是( ) Ayx4 x By2t1 t Cy4t1 t(t0) Dyt1 t 答案 C 解析 A 中 x1 时，y54，B 中 t1 时，y34，C 中 y4t1 t2 4t 1 t4， 当且仅当 t1 2时等号成立，D 中 t1 时，y24.故选 C. 4下列不等式中，正确的是( ) Aa4 a4 Ba2b24ab C. abab 2 Dx2 3 x22 3 答案 D 解析 a0，则 a4 a4 不成立，故 A 错； a1，b1，则 a2b24ab，故 B 错； a4，b16，则 ab1，则x10 x2 x1 的最小值为_ 答案 16 解析 x10 x2 x1 x19x11 x1 x1 210 x19 x1 (x1) 9 x110， x1，x10， (x1) 9 x1102 91016. 当且仅当 x1 9 x1， 即 x2 时，等号成立 1知识清单： 两个不等式：a2b22ab(a，bR)，ab 2 ab(a，b 都是正数) 2方法归纳：通过拆项、加项配凑成基本不等式的形式 3常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误