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2020人教A版数学必修4模块综合试卷(含答案)

1、模块综合试卷模块综合试卷 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1sin 300 等于 ( ) A 3 2 B1 2 C. 1 2 D. 3 2 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一 答案 A 解析 sin 300 sin(60 360 )sin(60 ) sin 60 3 2 ,故选 A. 2已知 为锐角,sin 1 3,则 sin 2 等于( ) A.8 9 B. 4 2 9 C7 9 D 8 9 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角正弦值 答案 B 解析 sin 1 3, 为锐角,cos 2 2 3

2、 , sin 22sin cos 21 3 2 2 3 4 2 9 . 3已知向量 a(cos 75 ,sin 75 ),b(cos 15 ,sin 15 ),则|ab|的值为( ) A.1 2 B1 C2 D3 考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 B 解析 如图,将向量 a,b 的起点都移到原点, 即 aOA ,bOB , 则|ab|BA |且xOA75 ,xOB15 ,于是AOB60 , 又因为|a|b|1, 则AOB 为正三角形,从而|BA |ab|1. 4(2018 全国)已知角 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上有两点 A(1,

3、a),B(2,b),且 cos 22 3,则|ab|等于( ) A.1 5 B. 5 5 C.2 5 5 D1 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角 答案 B 解析 由 cos 22 3,得 cos 2sin22 3, cos 2sin2 cos2sin2 2 3,又 cos 0, 1tan2 1tan2 2 3, tan 5 5 ,即ba 21 5 5 ,|ab| 5 5 . 故选 B. 5设角 35 6 ,则 2sincoscos 1sin2sincos2的值为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 3 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化

4、简求值 答案 D 解析 因为 35 6 , 所以 2sincoscos 1sin2sincos2 2sin cos cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos sin cos 35 6 sin 35 6 cos 6 sin 6 3.故选 D. 6函数 f(x)sin 2x 3 的图象的对称轴方程可以为( ) Ax 12 Bx 6 Cx 3 Dx 5 12 考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦函数、余弦函数的对称性 答案 A 解析 函数 f(x)sin 2x 3 的图象的对称轴方程为 2x 3k 2(kZ), xk 2 12(kZ) 当

5、 k0 时,x 12,函数 f(x)sin 2x 3 的图象的对称轴方程可以为 x 12. 7如图,在圆 O 中,若弦 AB3,弦 AC5,则AO BC 的值是( ) A8 B1 C1 D8 考点 题点 答案 D 解析 取 BC 的中点 D,连接 AD,OD(图略),则有 ODBC. AD 1 2(AB AC),BCACAB,AO BC (AD DO ) BC AD BC DO BC AD BC 1 2(AB AC) (ACAB)1 2(AC 2AB2)1 2(5 232)8,故选 D. 8在ABC 中,若 sin Asin Bcos2C 2,则ABC 是( ) A等边三角形 B等腰三角形 C

6、不等边三角形 D直角三角形 考点 简单的三角恒等变换的应用 题点 简单的三角恒等变换与三角形的综合应用 答案 B 解析 sin Asin B1 2(1cos C), 即 2sin Asin B1cos C, 2sin Asin B1cos Acos Bsin Asin B, 故得 cos(AB)1, 又AB(,), AB0,即 AB, 则ABC 是等腰三角形 9将函数 f(x)sin 2x 6 的图象向右平移 6个单位长度,那么所得的图象对应的函数解析式 是( ) Aysin 2x Bycos 2x Cysin 2x2 3 Dysin 2x 6 考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三

7、角函数图象的平移变换 答案 D 解析 f(x)sin 2x 6 , 将函数 f(x)sin 2x 6 的图象向右平移 6个单位长度, 得 f x 6 sin 2 x 6 6 sin 2x 6 , 所得的图象对应的函数解析式是 ysin 2x 6 , 故选 D. 10函数 y cos x 4 sin x 4 cos x 4 sin x 4 在一个周期内的图象是( ) 考点 正弦、余弦函数图象的综合应用 题点 正弦、余弦函数图象的综合应用 答案 B 解析 y 2 2 cos x 2 2 sin x 2 2 sin x 2 2 cos x 2 2 cos x 2 2 sin x 2 2 sin x

8、2 2 cos x 2cos x ( 2sin x)2sin xcos xsin 2x,故选 B. 11如果将函数 f(x)sin 2x 的图象向左平移 (0)个单位长度,函数 g(x)cos 2x 6 的图 象向右平移 个单位长度后,二者能够完全重合,则 的最小值为( ) A. 3 B. 2 3 C. 12 D. 5 12 考点 三角函数图象的平移和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 C 解析 将函数f(x)sin 2x的图象向左平移(0)个单位长度得到ysin2(x)sin(2x2) 的图象,将函数 g(x)cos 2x 6 的图象向右平移 个单位长度后, 可得函数 g(x)co

9、s 2x 6 cos 2x2 6 sin 2 2x2 6 sin 2 3 2x2 sin 2x2 3 的图象 二者能够完全重合,由题意可得 2x22x2 32k,kZ,解得 1 2k 12(kZ), 又 0,故当 k0 时,min 12.故选 C. 12已知向量 a(cos ,sin ),向量 b( 3,0),则|2ab|的最大值为( ) A74 3 B2 3 C74 3 D2 3 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13设向量 a(3,3),b(1,1)若(ab)(ab),则实数 _. 考点 平

10、面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 答案 3 解析 因为 ab(3,3),ab(3,3),又(ab)(ab), 所以(ab) (ab)(3) (3)(3)(3)0,解得 3. 14已知 sin 2cos 0,则 2sin cos cos2 的值是_ 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 1 解析 sin 2cos 0,sin 2cos , tan 2, 又2sin cos cos22sin cos cos 2 sin2cos2 2tan 1 tan21 ,原式221 221 1. 15函数 f(x)4cos2x 2cos 2x 2sin

11、x|ln(x1)|的零点个数为_ 考点 三角函数中的数学思想 题点 三角函数中的数形结合思想 答案 2 解析 f(x)4cos2x 2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x 2cos2x 21 |ln(x1)| sin 2x|ln(x1)|, 令 f(x)0,得 sin 2x|ln(x1)|.在同一坐标系中作出函数 ysin 2x 与函数 y|ln(x1)|的大 致图象如图所示 观察图象可知,两函数图象有 2 个交点,故函数 f(x)有 2 个零点 16(2018 长沙高一检测)关于函数 f(x)cos 2x 3 cos 2x 6 ,有下列说法: yf(x)的最大值为 2; yf(

12、x)是以 为最小正周期的周期函数; yf(x)在区间 24, 13 24 上单调递减; 将函数 y 2cos 2x 的图象向左平移 24个单位长度后,将与已知函数的图象重合 其中正确说法的序号是_ 考点 正弦、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦、余弦函数性质的综合应用 答案 解析 f(x)cos 2x 3 cos 2x 6 cos 2x 3 cos 2 2x 3 cos 2x 3 sin 2x 3 2cos 2x 3 4 2cos 2x 12 , 所以正确,错误 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17(10 分)已知 tan 2. (1)求 tan 2 3 的值; (2)求 si

13、n 2 sin2sin cos cos 21的值 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 解 (1)tan 2 3 tan tan 2 3 1tan tan 2 3 2 3 12 3 5 38 11 . (2)原式 2sin cos sin2sin cos 2cos2 2tan tan2tan 2 22 22221. 18(12 分)设向量 e1,e2的夹角为 60 且|e1|e2|1,如果AB e 1e2,BC 2e 18e2,CD 3(e1e2) (1)证明:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k 的值,使 k 的取值满足向量 2e1e2与向量

14、e1ke2垂直 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示及应用 题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用 (1)证明 因为AB e 1e2,BD BC CD 5e15e2, 所以BD 5AB ,即AB,BD 共线, 又AB ,BD 有公共点 B, 所以 A,B,D 三点共线 (2)解 因为(2e1e2)(e1ke2), 所以(2e1e2) (e1ke2)0, 2e212ke1 e2e1 e2ke220, 即 2k1 2k0,解得 k 5 4. 19(12 分)(2018 浙江)已知角 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,它的终 边过点 P 3 5, 4 5 . (1)求 sin()

15、的值; (2)若角 满足 sin() 5 13,求 cos 的值 考点 两角差的余弦公式 题点 两角差的余弦公式的综合应用 解 (1)由角 的终边过点 P 3 5, 4 5 , 得 sin 4 5. 所以 sin()sin 4 5. (2)由角 的终边过点 P 3 5, 4 5 , 得 cos 3 5. 由 sin() 5 13,得 cos() 12 13. 由 (), 得 cos cos()cos sin()sin , 所以 cos 56 65或 cos 16 65. 20(12 分)(2017 山东)设函数 f(x)sin x 6 sin x 2 ,其中 03.已知 f 6 0. (1)求

16、 ; (2)将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向 左平移 4个单位长度,得到函数 yg(x)的图象,求 g(x)在 4, 3 4 上的最小值 考点 三角函数图象变换的综合应用 题点 三角函数图象变换的综合应用 解 (1)因为 f(x)sin x 6 sin x 2 , 所以 f(x) 3 2 sin x1 2cos xcos x 3 2 sin x3 2cos x 3 1 2sin x 3 2 cos x 3sin x 3 . 由题设知 f 6 0, 所以 6 3k,kZ, 故 6k2,kZ.又 03, 所以 2. (2)由(1)得 f(x

17、) 3sin 2x 3 , 所以 g(x) 3sin x 4 3 3sin x 12 . 因为 x 4, 3 4 , 所以 x 12 3, 2 3 , 当 x 12 3, 即 x 4时,g(x)取得最小值 3 2. 21(12 分)已知向量 a( 3sin 2x,cos 2x),b(cos 2x,cos 2x) (1)当 x 7 24, 5 12 时,a b1 2 3 5,求 cos 4x 的值; (2)若 cos x1 2,x(0,),方程 a b 1 2m 有且仅有一个实数根,求实数 m 的值 考点 方程思想在三角恒等变换中的应用 题点 方程思想在三角恒等变换中的应用 解 (1)a b 3

18、sin 2xcos 2xcos22x. a b1 2 3sin 2xcos 2xcos 22x1 2 3 2 sin 4x1cos 4x 2 1 2 3 2 sin 4x1 2cos 4xsin 4x 6 3 5. x 7 24, 5 12 ,4x 7 6, 5 3 , 4x 6 ,3 2 , cos 4x 6 4 5, cos 4xcos 4x 6 6 cos 4x 6 cos 6sin 4x 6 sin 6 4 5 3 2 3 5 1 2 34 3 10 . (2)cos x1 2,且 cos x 在(0,)上是减函数, 0x 3. 令 f(x)a b1 2sin 4x 6 , x 0,

19、3 ,g(x)m. 则方程 a b1 2m 有且仅有一个实数根转化为函数 f(x)和 g(x)的图象仅有一个交点 在同一坐标系中作出两个函数的图象,由图可知 m1 或 m1 2. 22(12 分)如图所示,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为 3的扇形,四边形 ABCD 是扇形的内 接矩形, B, C 两点在圆弧上, OE 是POQ 的平分线, E 在PQ上, 连接 OC, 记COE, 则角 为何值时矩形 ABCD 的面积最大?并求最大面积 考点 简单的三角恒等变换的应用 题点 三角恒等变换的实际应用 解 设 OE 交 AD 于 M,交 BC 于 N,显然矩形 ABCD 关于 OE 对称,而

20、M,N 分别为 AD, BC 的中点, 在 RtONC 中,CNsin ,ONcos , OM DM tan 6 3DM 3CN 3sin . 所以 MNONOMcos 3sin , 即 ABcos 3sin ,而 BC2CN2sin , 故 S矩形ABCDAB BC(cos 3sin ) 2sin 2sin cos 2 3sin2 sin 2 3(1cos 2) sin 2 3cos 2 3 2 1 2sin 2 3 2 cos 2 3 2sin 2 3 3. 因为 0 6,所以 02 3, 32 3 2 3 , 故当 2 3 2,即 12时,S 矩形ABCD取得最大值, 此时 S矩形ABCD2 3.