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2020年人教A版数学必修4:阶段滚动训练五(范围:§2.1~§2.4)含答案

1、阶段滚动训练五阶段滚动训练五(范围:范围: 2.1 2.4) 一、选择题 1若非零向量 a,b 满足|a|3|b|a2b|,则 a 与 b 的夹角的余弦值是( ) A1 3 B. 1 3 C. 2 3 D 2 3 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 A 解析 由|a|a2b|得 a2a24b24a b,即 a bb2,所以 cos a b |a|b| b2 3|b| |b| 1 3. 2已知向量 a( 3,1),b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a b 3,则 b 等于( ) A. 3 2 ,1 2 B. 1 2, 3 2 C. 1 4, 3 3 4 D(1,0

2、) 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 已知数量积求向量的坐标 答案 B 解析 设 b(x,y),其中 y0, 则 a b 3xy 3. 由 x2y21, 3xy 3, y0, 解得 x1 2, y 3 2 , 即 b 1 2, 3 2 .故选 B. 3已知向量 a(k,3),b(1,4),c(2,1),且(2a3b)c,则实数 k 的值为( ) A9 2 B0 C3 D. 15 2 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 答案 C 解析 2a3b(2k3,6) 又(2a3b)c,(2a3b) c0, 即(2k3)2(6)10,解得 k3. 4如图,O 为A

3、BC 的外心,AB4,AC2,BAC 为钝角,M 是边 BC 的中点,则AM AO 等于( ) A4 B5 C6 D7 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 B 解析 取 AB,AC 的中点 D,E,连接 OD,OE(图略), 可知 ODAB,OEAC. M 是边 BC 的中点,AM 1 2(AB AC), AM AO 1 2(AB AC) AO 1 2AB AO 1 2AC AO AD AO AE AO . 由数量积的定义可得AD AO |AD |AO |cosAD ,AO , 而|AO | cosAD ,AO |AD |, 故AD AO |AD |24, 同理

4、可得AE AO |AE |21, 故AD AO AE AO 5, 故选 B. 5已知向量 a(1,2),b(m,4),且 ab,那么 2ab 等于( ) A(4,0) B(0,4) C(4,8) D(4,8) 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 已知向量平行求参数 答案 C 解析 由 ab 知 42m0,所以 m2, 2ab(2,4)(m,4)(2m,8)(4,8) 6已知点 N 在ABC 所在平面内,且NA NBNC 0,则点 N 是ABC 的( ) A垂心 B外心 C重心 D内心 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 C 解析 如图,D 为 BC 的中

5、点,因为NA NBNC 0, 所以NB NC NA , 依向量加法的平行四边形法则, 知NA 2ND , 故点 N 为ABC 的重心 7点 P 在平面上做匀速直线运动,速度向量 v(x,y)(即点 P 的运动方向与 v 相同,且每秒 移动的距离为|v|个单位)设开始时点 P 的坐标为(12,12),6 秒后点 P 的坐标为(0,18),则(x y)2 019等于( ) A1 B1 C0 D2 012 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 答案 A 解析 由题意,(12,12)6(x,y)(0,18), 即(126x,126y)(0,18),解得 x2, y1, 故

6、(xy)2 019(21)2 0191. 二、填空题 8已知|OA |OB |1,|AB | 3,则OA OB _,|OA OB |_. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 1 2 1 解析 由|OA |OB |1, |AB | 3, 可知以向量OA , OB 为邻边的平行四边形是菱形, OA , OB 的夹角为2 3 , OA OB cos 2 3 1 2,|OA OB | 1111. 9(2017 山东)已知 e1,e2是互相垂直的单位向量,若 3e1e2与 e1e2的夹角为 60 ,则实 数 的值是_ 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 答案

7、3 3 解析 由题意知|e1|e2|1,e1 e20, | 3e1e2| 3e1e223e212 3e1 e2e22 3012. 同理|e1e2|12. 所以 cos 60 3e1e2 e1e2 | 3e1e2|e1e2| 3e21 31e1 e2e22 2 12 3 2 12 1 2, 解得 3 3 . 10(2018 广东清远联考)已知 O 是边长为 6 的正三角形 ABC 的中心,则|AB OB AC | _. 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加减法运算求向量的模 答案 2 3 解析 如图所示, AB OB AC (ABAC)OB CB BO CO .正三角形 ABC

8、的边长为 6, |CF |3 2 63 3, |CO |2 33 32 3. 11关于平面向量有下列三个命题: 若 a ba c,则 bc; 已知 a(k,3),b(2,6),若 ab,则 k1; a |a| b |b| a |a| b |b| 0. 其中正确的命题为_(写出所有正确命题的序号) 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 向量的运算性质与求值 答案 解析 中,由 a ba c,得 a (bc)0, 当 a0,bc 时也成立,故错; 中,若 ab,则有 6k23,得 k1,故正确; 中, a |a| b |b| a |a| b |b| a |a| 2 b |b| 2a 2 |a

9、|2 b2 |b|20,故正确 12设 x,yR,向量 a(x,2),b(4,y),c(1,2),且 ac,bc.则|ab|_. 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 10 解析 由 ac 及 bc,得 x40 且 4(2)y0,即 x4,y8. a(4,2),b(4,8), ab(4,2)(4,8)(8,6) |ab| 826210. 三、解答题 13已知非零向量 a,b 满足|a|1,且(ab) (ab)3 4. (1)求|b|; (2)当 a b1 4时,求向量 a 与 a2b 的夹角 的值 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 解 (1)

10、因为(ab) (ab)3 4,即 a 2b23 4, 即|a|2|b|23 4, 所以|b|2|a|23 41 3 4 1 4,故|b| 1 2. (2)因为|a2b|2|a|24a b|2b|2 1111,故|a2b|1. 又因为 a (a2b)|a|22a b11 2 1 2, 所以 cos a a2b |a| |a2b| 1 2, 又 0,故 3. 14已知向量 a(1, 3),b(0,t21),则当 t 3,2时,求 at b |b| 的取值范围 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 解 由题意, b |b|(0,1), 根据向量的差的几何意义, at b |b|

11、 表示向量 t b |b|的终点到向量 a 的终点的距离 d, 所以 d12 3t2, 所以当 t 3时,该距离取得最小值 1, 当 t 3时,该距离取得最大值 13, 即 at b |b| 的取值范围是1, 13 15已知向量 a(1,1),b(1,1),c( 2cos , 2sin )(R),实数 m,n 满足 ma nbc,求(m3)2n2的最大值 考点 平面向量坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 解 由 manbc,可得 mn 2cos , mn 2sin , 故(mn)2(mn)22,即 m2n21, 故点 M(m,n)在单位圆上,(m3)2n2的几何意义为点 P(3,0)到点 M 的距离的平方, 则点 P(3,0)到点 M 的距离的最大值为 OP1314,其中 O 为坐标原点, 故(m3)2n2的最大值为 4216.