1、24.2 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示、模模、夹角夹角 一、选择题 1已知 a(3，1)，b(1，2)，则 a 与 b 的夹角为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 B 解析 |a| 10，|b| 5，a b5. cosa，b a b |a|b| 5 10 5 2 2 . 又a，b 的夹角范围为0， a 与 b 的夹角为 4. 2设向量 a(2,0)，b(1,1)，则下列结论中正确的是( ) A|a|b| Ba b0 Cab D(ab)b 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 向量
2、垂直的坐标表示的综合应用 答案 D 解析 ab(1，1)，所以(ab) b110， 所以(ab)b. 3已知向量 a(0，2 3)，b(1， 3)，则向量 a 在 b 方向上的投影为( ) A. 3 B3 C 3 D3 考点 平面向量投影的坐标表示与应用 题点 平面向量投影的坐标表示与应用 答案 D 解析 向量 a 在 b 方向上的投影为a b |b| 6 2 3.故选 D. 4已知向量 a(1，n)，b(1，n)，若 2ab 与 b 垂直，则|a|等于( ) A1 B. 2 C2 D4 考点 平面向量模与夹角的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 C 解析 (2ab) b2a b|
3、b|2 2(1n2)(1n2)n230， n23，|a|12n22. 5若 a(2，3)，则与向量 a 垂直的单位向量的坐标为( ) A(3,2) B. 3 13 13 ，2 13 13 C. 3 13 13 ，2 13 13 或 3 13 13 ，2 13 13 D以上都不对 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 向量垂直的坐标表示的综合应用 答案 C 解析 设与 a 垂直单位向量的坐标为(x，y)， (x，y)是单位向量的坐标形式， x2y21，即 x2y21， 又(x，y)表示的向量垂直于 a， 2x3y0， 由得 x3 13 13 ， y2 13 13 或 x3 13 13
4、， y2 13 13 . 6已知 a(1,1)，b(0，2)，且 kab 与 ab 的夹角为 120 ，则 k 等于( ) A1 3 B2 C1 3 D1 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 答案 C 解析 |kab| k2k22， |ab|1212 2， (kab) (ab)(k，k2) (1，1)kk22， 又 kab 与 ab 的夹角为 120 ， cos 120 kab ab |kab|ab| ， 即1 2 2 2 k2k22， 化简并整理，得 k22k20，解得 k1 3. 7已知OA (2,1)，OB (0,2)且AC OB ，BC AB，则点
5、 C 的坐标是( ) A(2,6) B(2，6) C(2，6) D(2,6) 考点 向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用 答案 D 解析 设 C(x，y)，则AC (x2，y1)， BC (x，y2)，AB(2,1)， AC OB ，2(x2)0， BC AB，2xy20， 由可得 x2， y6， C(2,6) 8已知向量 a(1,1)，b(1，m)，其中 m 为实数，则当 a 与 b 的夹角在 0， 12 内变动时， 实数 m 的取值范围是( ) A(0,1) B. 3 3 ， 3 C. 3 3 ，1 (1， 3) D(1， 3) 考点 平面向量夹角的坐标
6、表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 答案 C 解析 如图，作OA a，则 A(1,1)作OB1 ，OB2 ， 使AOB1AOB2 12， 则B1Ox 4 12 6， B2Ox 4 12 3， 故 B1 1， 3 3 ，B2(1， 3) 又 a 与 b 的夹角不为 0，故 m1. 由图可知实数 m 的取值范围是 3 3 ，1 (1， 3) 二、填空题 9已知 a(3， 3)，b(1,0)，则(a2b) b_. 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 1 解析 a2b(1， 3)， (a2b) b11 301. 10已知平面向量 a(2,4)，b(1
7、，2)，若 ca(a b)b，则|c|_. 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 8 2 解析 由题意可得 a b214(2)6， ca(a b)ba6b(2,4)6(1，2)(8，8)， |c|82828 2. 11设 m(a，b)，n(c，d)，规定两向量 m，n 之间的一个运算“”为 mn(acbd， adbc)，若已知 p(1,2)，pq(4，3)，则 q 的坐标为_ 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 已知数量积求向量的坐标 答案 (2,1) 解析 设 q(x，y)，则 pq(x2y，y2x)(4，3) x2y4， y2x3， x2， y1. q(
8、2,1) 12 已知向量OA (1,7)， OB (5,1)(O 为坐标原点)， 设 M 为直线 y1 2x 上的一点， 那么MA MB 的最小值是_ 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 8 解析 设 M x，1 2x ， 则MA 1x，71 2x ，MB 5x，11 2x ， MA MB (1x)(5x) 71 2x 11 2 x 5 4(x4) 28. 所以当 x4 时，MA MB 取得最小值8. 三、解答题 13(2018 安徽芜湖质检)已知向量 a(1,2)，b(2，2) (1)设 c4ab，求(b c)a； (2)若 ab 与 a 垂直，求 的值
9、 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用 解 (1)c4(1,2)(2，2)(6,6)， b c(2，2) (6,6)26260， (b c)a0 a0. (2)ab(1,2)(2，2) (12，22)，(ab)a， (12)2(22)0，解得 5 2. 14已知OA (4,0)，OB (2,2 3)，OC (1)OA OB (2) (1)求OA OB 及OA 在OB 上的投影； (2)证明 A，B，C 三点共线，且当AB BC时，求 的值； (3)求|OC |的最小值 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 平面向量模的坐标表示的综合应用 解 (1)OA OB 8，设OA 与OB 的夹角为 ， 则 cos OA OB |OA |OB | 8 44 1 2， OA 在OB 上的投影为|OA |cos 41 22. (2)AB OB OA (2,2 3)，BC OC OB (1)OA (1)OB (1)AB ， 又因为BC 与AB有公共点 B，所以 A，B，C 三点共线 当AB BC时，11，所以 2. (3)|OC |2(1)2OA 22(1)OA OB 2OB 2162161616 1 2 212， 当 1 2时，|OC |取最小值 2 3.