1、 2.5 平面向量应用举例平面向量应用举例 25.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 一、选择题 1已知 A，B，C，D 四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( ) A梯形 B菱形 C矩形 D正方形 考点 平面几何中的向量方法 题点 判断多边形的形状 答案 A 解析 AB (3,3)，CD (2，2)， AB 3 2CD ，AB 与CD 共线 又|AB |CD |，该四边形为梯形 2.如图，BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，BF 2FO ，则FD FE 的值是( ) A3 4 B8 9 C1 4 D4 9 考点 平面几何中的向量方
2、法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 B 解析 FD FO OD ，FE FO OE ， 且OD OE ， 所以FD FE (FO OD ) (FO OE ) FO 2OD21 91 8 9. 3在四边形 ABCD 中，若AC (1,2)，BD (4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B2 5 C5 D10 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 C 解析 AC BD 0，ACBD. 四边形 ABCD 的面积 S1 2|AC |BD |1 2 52 55. 4如图所示，在矩形 ABCD 中，AB4，点 E 为 AB 的中点，且DE AC ，则|DE |等于(
3、) A.5 2 B2 3 C3 D2 2 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 B 解析 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐 标系 设|AD |a(a0)，则 A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2,0)， 所以DE (2，a)，AC (4，a) 因为DE AC ，所以DE AC 0， 所以 24(a) a0，即 a28. 所以 a2 2，所以DE (2，2 2)， 所以|DE |222 222 3. 5 在ABC 所在的平面内有一动点 P， 令PA 2PB2PC2t， 当 t 取得最小值时， P 为
4、ABC 的( ) A垂心 B重心 C外心 D内心 考点 题点 答案 B 解析 以 B 为坐标原点，BC 的方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则 B(0,0) 设 C(c,0)，A(a，b)，P(x，y)， 则 tPA 2PB2PC2 (xa)2(yb)2x2y2(xc)2y2 3x22(ac)x3y22bya2b2c2 3 xac 3 23 yb 3 2c2a22 3b 2ac 2 3 ， 所以当 xac 3 ，yb 3时，t 取得最小值， 所以 P 为ABC 的重心 6已知非零向量AB 与AC满足 AB |AB | AC |AC | BC 0 且AB |AB | AC |AC
5、 | 1 2，则ABC 的形状是( ) A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰(非等边)三角形 D等边三角形 考点 平面几何中的向量方法 题点 判断多边形的形状 答案 D 解析 由 AB |AB | AC |AC | BC 0，得角 A 的平分线垂直于 BC， ABAC.而 AB |AB | AC |AC |cosAB ，AC1 2， 又 0 AB ，AC180 ，BAC60 . 故ABC 为等边三角形，故选 D. 7点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ，则点 O 是ABC 的( ) A三个内角的角平分线的交点 B三条边的垂直平分线的交点
6、C三条中线的交点 D三条高的交点 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 D 解析 OA OB OB OC ，(OA OC ) OB 0， OB CA 0，OBAC. 同理 OABC，OCAB，O 为三条高的交点 8若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足 3AM AB AC0，则ABM 与ABC 的 面积之比为( ) A12 B13 C14 D25 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 B 解析 如图，D 为 BC 边的中点， 则AD 1 2(AB AC) 因为 3AM AB AC0， 所以 3AM 2AD ，所以AM 2 3AD ， 所
7、以 SABM2 3SABD 1 3SABC. 二、填空题 9已知在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，E，F 分别为 BC，CD 的中点，则(AE AF) BD _. 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 9 2 解析 如图，以 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴建立平面 直角坐标系， 则 A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)， C(2,1) E，F 分别为 BC，CD 的中点，E 2，1 2 ，F(1,1)， AE AF 3，3 2 ，BD (2,1)， (AE AF) BD 3(2)3 21 9 2. 10 已知直线
8、axbyc0与圆x2y21相交于A， B两点， 若|AB | 3， 则OA OB _. 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 1 2 解析 如图， 作 ODAB 于点 D， 则在 RtAOD 中， OA1， AD 3 2 ， 所以AOD60 ， AOB120 ， 所以OA OB |OA |OB |cos 120 11 1 2 1 2. 11在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,1)和点 B(3,4)，若点 C 在AOB 的平分线上且|OC | 2，则OC _. 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 10 5 ，3 10 5 解析 已知 A
9、(0,1)，B(3,4)， 设 E(0,5)，D(3,9)， 则四边形 OBDE 为菱形， AOB 的角平分线是菱形 OBDE 的对角线 OD. 设 C(x1，y1)，|OD |3 10， OC 2 3 10OD . (x1，y1) 2 3 10(3,9) 10 5 ，3 10 5 ， 即OC 10 5 ，3 10 5 . 12在ABC 中，AB3，AC 边上的中线 BD 5，AC AB5，则 AC 的长为_ 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 2 解析 设BAC，ADx(x0)， 则AC AB2x 3 cos 5， x cos 5 6. 作 DEAB 于点 E(图
10、略)，由 DE2EB2BD2， 得(x sin )2(3x cos )25，解得 x sin 11 6 . x2 cos2x2 sin2x225 36 11 361， x1，AC2x2. 三、解答题 13.如图所示，在正三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，BC 上的一个三等分点，且分别靠近点 A，点 B，AE，CD 交于点 P.求证：BPDC. 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 证明 设PD CD ，并设ABC 的边长为 a，则有 PA PD DA CD 1 3BA 2 3BA BC 1 3BA 1 3(21)BA BC， EA BA1 3BC . PA EA，1
11、 3(21)BA BCkBA1 3kBC ， 于是有 1 321k， 1 3k， 解得 1 7. PD 1 7CD . BP BCCPBC6 7CD 1 7BC 4 7BA ， 从而BP CD 1 7BC 4 7BA 2 3BA BC 8 21a 21 7a 210 21a 2cos 60 0，BPCD ， BPDC. 14在平面直角坐标系中，已知三点 A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，tR，O 为坐标原点 (1)若ABC 是直角三角形，求 t 的值； (2)若四边形 ABCD 是平行四边形，求|OD |的最小值 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 解 (1)由题
12、意得，AB (t4,2)，AC(2，t)， BC (6t，t2)， 若A90 ，则AB AC0，即 2(t4)2t0，t2； 若B90 ，则AB BC0，即(t4)(6t)2(t2)0， t6 2 2； 若C90 ，则AC BC0， 即 2(6t)t(t2)0，无解， t 的值为 2 或 6 2 2. (2)若四边形 ABCD 是平行四边形，则AD BC ， 设点 D 的坐标为(x，y)， 即(x4，y)(6t，t2)， x10t， yt2， 即 D(10t，t2)， |OD | 10t2t22 2t224t104， 当 t6 时，|OD |取得最小值 4 2. 15在等腰梯形 ABCD 中，
13、已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60 ，动点 E 和 F 分别 在线段 BC 和 DC 上，且BE BC，DF 1 9DC ，求AE AF的最小值 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 解 在等腰梯形 ABCD 中，由 AB2，BC1，ABC60 ，可得 DC1，AE ABBC， AF AD 1 9DC ，AE AF(ABBC) AD 1 9DC AB AD AB 1 9DC BC AD BC 1 9DC 21cos 60 2 1 911cos 60 1 9cos 120 2 9 2 17 18， 由对勾函数的性质知当 2 9 2，即 2 3时，AE AF取得最小值29 18.