1、 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 31.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 一、选择题 1cos 295 sin 70 sin 115 cos 110 的值为( ) A. 2 2 B 2 2 C. 3 2 D 3 2 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简、求值 答案 A 解析 原式cos 115 cos 20 sin 115 sin 20 cos 65 cos 20 sin 65 sin 20 cos(65 20 ) cos 45 2 2 . 2满足 cos cos 3 2 sin sin 的一组 ， 的值是( ) A13 12，
2、3 4 B 2， 3 C 2， 6 D 3， 4 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 B 3已知 为锐角， 为第三象限角，且 cos 12 13，sin 3 5，则 cos()的值为( ) A63 65 B 33 65 C. 63 65 D. 33 65 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A 解析 为锐角，且 cos 12 13， sin 1cos2 5 13. 为第三象限角，且 sin 3 5， cos 1sin24 5， cos()cos cos sin sin 12 13 4 5 5 13 3 5 63 65.故选 A. 4(2018
3、 山西孝义高二期末)下列关系式中一定成立的是( ) Acos()cos cos Bcos()cos cos Ccos 2 sin Dcos 2 sin 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 答案 C 解析 由两角差的余弦公式知 A 不正确；令 2知 B 不正确；由诱导公式可知 C 正确， D 不正确 5已知 sin 6 3 5， 3 5 6 ，则 cos 的值是( ) A.34 3 10 B.43 3 10 C.2 33 5 D.32 3 5 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A 解析 3 5 6 ， 2 6. cos 6 1sin2 6 4 5.
4、 cos cos 6 6 cos 6 cos 6sin 6 sin 6 4 5 3 2 3 5 1 2 34 3 10 . 6若 cos() 5 5 ，cos 2 10 10 ，且 ， 均为锐角，则 的值为( ) A. 6 B. 4 C. 3 4 D.5 6 考点 两角差的余弦公式 题点 给值利用两角差的余弦公式求角 答案 C 解析 ， 0， 2 ， 2，0 ，2(0，)，sin() 2 5 5 ，sin 2 3 10 10 ， cos()cos2() cos 2cos()sin 2sin() 10 10 5 5 3 10 10 2 5 5 2 2 ， (0，)，3 4 . 7 (2018 北
5、京海淀科大附中高二期中)若 cos()1 3， 则(sin sin ) 2(cos cos )2等于 ( ) A.8 3 B 8 3 C. 2 2 3 D2 2 3 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 答案 A 解析 原式22(sin sin cos cos ) 22cos()221 3 8 3. 二、填空题 8若 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0 2，且 a b 1 2，则 _. 考点 两角差的余弦公式 题点 两角差余弦公式的综合应用 答案 3 解析 a bcos cos sin sin cos()1 2， 因为 0 2，所以 0 2.所以 3. 9
6、化简：2cos 10 sin 20 cos 20 _. 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 答案 3 解析 原式2cos30 20 sin 20 cos 20 3cos 20 sin 20 sin 20 cos 20 3. 10(2018 湖南衡阳二十六中高二期中)已知 ， 均为锐角，且 sin 5 5 ，cos 10 10 ，则 的值为_ 考点 两角差的余弦公式 题点 给值利用两角差的余弦公式求角 答案 4 解析 ， 0， 2 ，cos 2 5 5 ，sin 3 10 10 . sin sin ， 2，0 . cos()cos cos sin sin 2 5 5 10 1
7、0 5 5 3 10 10 2 2 ， 4. 11函数 f(x)sin 2xsin 6cos 2xcos 5 6 在 2， 2 上的单调递增区间为_ 考点 和、差角公式的综合应用 题点 和、差角公式与其他知识的综合应用 答案 5 12， 12 解析 f(x)sin 2xsin 6cos 2xcos 5 6 sin 2xsin 6cos 2xcos 6cos 2x 6 .当 2k2x 62k(kZ)， 即 k 5 12xk 12(kZ)时， 函数 f(x)单调递增 取 k0， 得 5 12x 12， 故函数 f(x)在 2， 2 上的单调递增区间为 5 12， 12 . 三、解答题 12设 co
8、s 2 1 9，sin 2 2 3，其中 2， ， 0， 2 ，求 cos 2 的值 考点 两角差的余弦公式 题点 两角差的余弦公式综合应用 解 2， ， 0， 2 ， 2 4， ， 2 4， 2 ， sin 2 1cos2 2 1 1 81 4 5 9 ， cos 2 1sin2 2 14 9 5 3 ， cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1 9 5 3 4 5 9 2 3 7 5 27 . 13已知向量 a(sin ，2)与 b(1，cos )互相垂直，其中 0， 2 . (1)求 sin 和 cos 的值； (2)若 5cos()3 5cos ，
9、0 2，求 cos 的值 考点 两角差的余弦公式 题点 和、差角公式与其他公式的综合应用 解 (1)因为 ab， 所以 a bsin 2cos 0， 即 sin 2cos . 又因为 sin2cos21， 所以 4cos2cos21， 即 cos21 5，所以 sin 24 5， 又 0， 2 ，所以 sin 2 5 5 ，cos 5 5 . (2)因为 5cos()5(cos cos sin sin ) 5cos 2 5sin 3 5cos ， 所以 cos sin ， 所以 cos2sin21cos2， 即 cos21 2. 因为 0 2，所以 cos 2 2 . 14(1)已知 cos
10、cos 1 2，sin sin 3 2 ，则 cos()_. 考点 两角差的余弦公式 题点 给值利用两角差的余弦公式求值 答案 1 2 解析 由 cos cos 1 2，sin sin 3 2 ， 两边平方相加得(cos cos )2(sin sin )2 1 2 2 3 2 21， 22cos cos 2sin sin 1， 2(cos cos sin sin )1， cos()1 2. (2)已知 sin sin sin 0，cos cos cos 0，则 cos()_. 考点 两角差的余弦公式 题点 给值利用两角差的余弦公式求值 答案 1 2 解析 由 sin sin sin ， cos cos cos ， 22，得 22(sin sin cos cos )1， 即 cos()1 2. 15已知 cos 1 7，cos() 13 14，且 0 2，求 的值 考点 两角差的余弦公式 题点 给值利用两角差的余弦公式求角 解 由 0 2，得 0 2， cos 1 7，cos() 13 14， sin() 1cos21 13 14 23 3 14 ， sin 1cos21 1 7 24 3 7 ， cos cos() cos cos()sin sin() 1 7 13 14 4 3 7 3 3 14 1 2， 3.