1、23.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 23.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 一、选择题 1已知 M(2,3)，N(3,1)，则NM 的坐标是( ) A(2，1) B(1,2) C(2,1) D(1，2) 考点 平面向量的正交分解及坐标表示 题点 平面向量的正交分解及坐标表示 答案 B 解析 NM (2,3)(3,1)(1,2) 2已知 a1 2b(1,2)，ab(4，10)，则 a 等于( ) A(2，2) B(2,2) C(2,2) D(2，2) 考点 平面向量坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D 3若向量 a(1,1)，
2、b(1,1)，c(4,2)，则 c 等于( ) A3ab B3ab Ca3b Da3b 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 用坐标形式下的基底表示向量 答案 A 解析 设 cxayb， 则 xy4， xy2， 解得 x3， y1， c3ab. 4已知两点 A(4,1)，B(7，3)，则与向量AB 同向的单位向量是( ) A. 3 5， 4 5 B. 3 5， 4 5 C. 4 5， 3 5 D. 4 5， 3 5 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 A 解析 因为与AB 同向的单位向量为AB |AB |， AB (7，3)(4,1)(3，4)， |
3、AB | 32425， 所以 AB |AB | 3 5， 4 5 . 5如果将OA 3 2 ，1 2 绕原点 O 逆时针方向旋转 120 得到OB ，则OB 的坐标是( ) A. 1 2， 3 2 B. 3 2 ，1 2 C(1， 3) D. 3 2 ，1 2 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D 解析 因为OA 3 2 ，1 2 所在直线的倾斜角为 30 ， 绕原点 O 逆时针方向旋转 120 得到OB 所 在直线的倾斜角为 150 ，所以 A，B 两点关于 y 轴对称，由此可知 B 点坐标为 3 2 ，1 2 ， 故OB 的坐标是 3 2 ，1
4、 2 ，故选 D. 6 已知 M(2,7)， N(10， 2)， 点 P 是线段 MN 上的点， 且PN 2PM ， 则 P 点的坐标为( ) A(14,16) B(22，11) C(6,1) D(2,4) 考点 平面向量坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 答案 D 7若 ， 是一组基底，向量 xy(x，yR)，则称(x，y)为向量 在基底 ， 下的坐 标 现已知向量a在基底p(1， 1)， q(2,1)下的坐标为(2,2)， 则a在另一组基底m(1,1)， n(1,2)下的坐标为( ) A(2,0) B(0，2) C(2,0) D(0,2) 考点 平面向量坐标运算的应用
5、题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D 解析 a 在基底 p，q 下的坐标为(2,2)， a2p2q2(1，1)2(2,1)(2,4) 令 axmyn(xy，x2y)， xy2， x2y4， 解得 x0， y2， a 在基底 m，n 下的坐标为(0,2) 8已知四边形 ABCD 为平行四边形，其中 A(5，1)，B(1,7)，C(1,2)，则顶点 D 的坐标为 ( ) A(7,0) B(7,6) C(6,7) D(7，6) 考点 平面向量坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 答案 D 解析 设 D(x，y)，因为AD BC ， 所以(x5，y1)(2，5)， 所以
6、 x7，y6. 二、填空题 9已知点 A(1，2)，若向量AB 3a，a(2,3)，则点 B 的坐标为_ 考点 平面向量加法与减法的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 (7,7) 解析 由AB 3a，a(2,3)，可得AB(6,9)，所以OB OA AB (1，2)(6,9)(7,7) 10 已知 A(2,4)， B(3， 1)， C(3， 4)， CM 3CA ， CN 2CB ， 则MN 的坐标为_ 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 (9，18) 解析 CM 3(1,8)(3,24)， CN 2(6,3)(12,6)， MN CN CM
7、(12,6)(3,24)(9，18) 11.向量 a， b， c 在正方形网格中的位置如图所示， 若 cab(， R)， 则 的值为_ 考点 平面向量坐标运算的应用 题点 用坐标形式下的基底表示向量 答案 4 解析 以向量 a 和 b 的交点为原点建立平面直角坐标系(图略)，则 a(1,1)，b(6,2)，c (1，3)，根据 cab 得(1，3)(1,1)(6,2)，有61，23， 解得 2 且 1 2，故 4. 12已知 A(2,3)，B(1,4)，且1 2AB (sin ，cos )， 2， 2 ，则 _. 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 答案 6或
8、2 解析 因为1 2AB 1 2(1,1) 1 2， 1 2 (sin ，cos )， 所以 sin 1 2且 cos 1 2， 因为 ， 2， 2 ，所以 6， 3或 3， 所以 6或 2. 三、解答题 13已知点 A(1,2)，B(2,8)及AC 1 3AB ，DA 1 3BA ，求点 C，D 和CD 的坐标 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 解 设点 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由题意可得AC (x 11，y12)，AB (3,6)， DA (1x2,2y2)，BA (3，6) AC 1 3AB ，DA 1 3BA ， (x11，y12)
9、1 3(3,6)(1,2)， (1x2，2y2)1 3(3，6)(1,2)， 则有 x111， y122 和 1x21， 2y22， 解得 x10， y14 和 x22， y20. C，D 的坐标分别为(0,4)和(2,0)， CD (2，4) 14已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP OA tAB . (1)t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ (2)四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求 t 值；若不能，说明理由 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 解 (1)OP OA tAB (1,2)t(3,3) (13t，23t)， 若点 P 在 x 轴上，则 23t0， t2 3. 若点 P 在 y 轴上，则 13t0， t1 3， 若点 P 在第二象限，则 13t0， 2 3t 1 3. (2)OA (1,2)，PB OB OP (33t,33t) 若四边形 OABP 为平行四边形， 则OA PB ， 33t1， 33t2， 该方程组无解 故四边形 OABP 不能成为平行四边形