1、22.3 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义 一、选择题 1下列说法中正确的是( ) Aa 与 a 的方向不是相同就是相反 B若 a，b 共线，则 ba C若|b|2|a|，则 b 2a D若 b 2a，则|b|2|a| 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的定义及几何意义 答案 D 解析 显然当 b 2a 时，必有|b|2|a|. 23(2a4b)等于( ) A5a7b B5a7b C6a12b D6a12b 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 D 解析 利用向量数乘的运算律，可得 3(2a4b)6a12b，故选 D. 3已知 a，b 是不共线的向量，
2、AB a2b，ACa(1)b，且 A，B，C 三点共线，则实 数 的值为( ) A1 B2 C2 或 1 D1 或 2 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D 解析 因为 A，B，C 三点共线， 所以存在实数 k 使AB kAC. 因为AB a2b，ACa(1)b， 所以 a2bka(1)b 因为 a 与 b 不共线，所以 k， 2k1， 解得 2 或 1. 4如图，ABC 中，AB a，ACb，DC 3BD ，AE 2EC，则DE 等于( ) A1 3a 3 4b B. 5 12a 3 4b C.3 4a 1 3b D3 4a 5 12b 考点 向量共线定理及其应
3、用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D 解析 DE DC CE 3 4BC 1 3AC 3 4(AC AB)1 3AC 3 4AB 5 12AC 3 4a 5 12b， 故选 D. 5.如图，AB 是O 的直径，点 C，D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点，AB a，ACb，则AD 等于( ) Aa1 2b B.1 2ab Ca1 2b D.1 2ab 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D 解析 连接 CD，OD，如图所示 点 C，D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点， ACCD，CADDAB 1 260 30 . OAOD，ADODAO30 . 由此可得CA
4、DADO30 ，ACDO. 由 ACCD，得CDACAD30 ， CDADAO，CDAO， 四边形 ACDO 为平行四边形， AD AO AC 1 2AB AC1 2ab. 6已知 m，n 是实数，a，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) m(ab)mamb；(mn)amana； 若 mamb，则 ab；若 mana，则 mn. A B C D 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的运算及运算律 答案 B 解析 和属于数乘对向量与实数的分配律，正确；中，若 m0，则不能推出 ab， 错误；中，若 a0，则 m，n 没有关系，错误 7在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O
5、，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若AC a，BD b，则AF 等于( ) A.1 4a 1 2b B.1 3a 2 3b C.1 2a 1 4b D.2 3a 1 3b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D 解析 DEFBEA， DF AB DE EB 1 3，DF 1 3AB， AF AD DF AD 1 3AB . AC ABAD a，BD AD AB b， 联立得AB 1 2(ab)，AD 1 2(ab)， AF 1 2(ab) 1 6(ab) 2 3a 1 3b. 二、填空题 8(a9b2c)(b2c)_. 考点 向量的线性
6、运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 a10b 9设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _. 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 1 2 解析 向量 a，b 不平行，a2b0， 又向量 ab 与 a2b 平行，则存在唯一的实数 ， 使 ab(a2b)成立，即 aba2b， 则 ， 12， 解得 1 2. 10在ABCD 中，AB a，AD b，AN 3NC ，M 为 BC 的中点，则MN _.(用 a，b 表示) 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 1 4b 1 4a 解析 如图， MN MB BA AN1 2b
7、a 3 4AC 1 2ba 3 4(ab) 1 4b 1 4a. 11若非零向量 a 与 b 不共线，ka2b 与 3akb 共线，则实数 k 的值为_ 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 6 解析 ka2b 与 3akb 共线， 存在实数 ，使得 ka2b(3akb)， (k3)a(2k)b0， (k3)a(k2)b. a 与 b 不共线， k30， k20， k 6. 12 如图， 在ABC 中， 延长 CB 到 D， 使 BDBC， 当点 E 在线段 AD 上移动时， 若AE AB AC ，则 t 的最大值是_ 考点 向量共线定理及其应用 题点 向量共线定理在
8、平面几何中的应用 答案 3 解析 设AE kAD ，0k1，则AE k(AC2CB)kAC2(ABAC)2kABkAC， AE ABAC，且AB与AC不共线， 2k， k， t3k. 又 0k1，当 k1 时，t 取最大值 3. 故 t 的最大值为 3. 三、解答题 13计算： (1)6(3a2b)9(2ab)； (2)1 2 3a2b2 3ab 7 6 1 2a 3 7 b7 6a ； (3)6(abc)4(a2bc)2(2ac) 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 解 (1)原式18a12b18a9b3b. (2)原式1 2 3a2 3a2bb 7 6 1 2a 1 2a 3
9、 7 b 1 2 7 3ab 7 6 a3 7 b 7 6a 1 2b 7 6a 1 2b0. (3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c (6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c) 6a2b. 14在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别是 DC，BC 的中点，已知AM c，AN d，试用 c， d 表示AB 和AD . 考点 向量的线性运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 如图，设AB a，AD b. M，N 分别是 DC，BC 的中点， BN 1 2b，DM 1 2a. 在ADM 和ABN 中， AD DM AM ， AB BNAN， 即 b1 2ac， a1 2bd. 2，得 b2 3(2cd)， 2，得 a2 3(2dc) AB 4 3d 2 3c，AD 4 3c 2 3d. 15 已知在四边形 ABCD 中， AB a2b， BC4ab， CD 5a3b， 求证： 四边形 ABCD 为梯形 考点 向量共线定理及其应用 题点 向量共线定理在平面几何中的应用 证明 如图所示 AD AB BCCD (a2b)(4ab)(5a3b) 8a2b2(4ab)， AD 2BC . AD 与BC 共线，且|AD |2|BC |. 又这两个向量所在的直线不重合， ADBC，且 AD2BC. 四边形 ABCD 是以 AD，BC 为两条底边的梯形