1、 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 23.1 平面向量基本定理平面向量基本定理 一、选择题 1如图所示，矩形 ABCD 中，BC 5e 1，DC 3e2，则OC 等于( ) A.1 2(5e13e2) B.1 2(5e13e2) C.1 2(3e25e1) D.1 2(5e23e1) 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 A 解析 OC 1 2AC 1 2(BC BA)1 2(BC DC ) 1 2(5e13e2) 2如图所示，用向量 e1，e2表示向量 ab 为( ) A4e12e2 B2e14e2 Ce13e2 D3e1e2 考点 平面向量基本
2、定理 题点 用基底表示向量 答案 C 3若|a|b|ab|r(r0)，则 a 与 b 的夹角为( ) A30 B45 C60 D90 考点 向量夹角的定义及夹角的范围 题点 求向量的夹角 答案 C 4已知 A，B，D 三点共线，且对任一点 C，有CD 4 3CA CB，则 等于( ) A.2 3 B. 1 3 C 1 3 D 2 3 答案 C 解析 因为 A，B，D 三点共线， 所以存在实数 t，使AD tAB ，则CD CA t(CBCA) 所以CD CA t(CBCA)(1t)CAtCB. 所以 1t4 3， t， 解得 1 3. 5设点 D 为ABC 中边 BC 上的中点，O 为 AD
3、上靠近点 A 的三等分点，则( ) A.BO 1 6AB 1 2AC B.BO 1 6AB 1 2AC C.BO 5 6AB 1 6AC D.BO 5 6AB 1 6AC 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 D 解析 依题意，得BO AO AB 1 3AD AB 1 3 1 2(AB AC)AB5 6AB 1 6AC ，故选 D. 6若OP 1a，OP 2b，P1P PP 2(1)，则OP 等于( ) Aab Ba(1)b Cab D. 1 1a 1b 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 D 解析 P1P PP 2 ， OP OP 1(OP 2OP )，(1)O
4、P OP 1OP 2， OP 1 1OP 1 1OP 2 1 1a 1b. 7设 a，b 为基底向量，已知向量AB akb，CB2ab，CD 3ab，若 A，B，D 三点 共线，则实数 k 的值等于( ) A2 B2 C10 D10 考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 答案 A 解析 AD AB BCCD (akb)(2ab)(3ab)2a(k2)b，A，B，D 三点共 线，AB AD ，即 akb2a(k2)b2a(k2)b，a，b 为基底向量， 21， kk2， 解得 1 2，k2. 8已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 是ABC 的重心，动点 P 满足
5、 O P 1 3 1 2OA 1 2OB 2OC ，则点 P 一定为( ) AAB 边中线的中点 BAB 边中线的三等分点(非重心) CABC 的重心 DAB 边的中点 答案 B 解析 O 是ABC 的重心，OA OB OC 0， OP 1 3 1 2OC 2OC 1 2OC ，点 P 是线段 OC 的中点，即 AB 边中线的三等分点(非重 心)故选 B. 二、填空题 9已知 ae1e2，b2e1e2，c2e14e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则 c _.(用 a，b 表示) 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 2a2b 解析 设 cab， 则2e14e2(e1
6、e2)(2e1e2) (2)e1()e2， 因为 e1，e2不共线， 所以 22， 4， 解得 2， 2， 故 c2a2b. 10.如图，在MAB 中，C 是边 AB 上的一点，且 AC5CB，设MA a，MB b，则MC _.(用 a，b 表示) 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 1 6a 5 6b 解析 MC MA AC MA 5 6AB MA 5 6(MB MA )1 6MA 5 6MB 1 6a 5 6b. 11已知 e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使 a，b 能作为平面内的一组基底，则 实数 的取值范围为_ 考点 平面向量基本定理 题点 基底的含义与
7、性质 答案 (，4)(4，) 解析 若能作为平面内的一组基底，则 a 与 b 不共线ae12e2，b2e1e2，由 akb， 即得 4. 12已知非零向量 a，b，c 满足 abc0，向量 a，b 的夹角为 120 ，且|b|2|a|，则向量 a 与 c 的夹角为_ 考点 向量夹角的定义及夹角的范围 题点 求向量的夹角 答案 90 解析 由题意可画出图形，在OAB 中， 因为OAB60 ，|b|2|a|， 所以ABO30 ，OAOB， 即向量 a 与 c 的夹角为 90 . 三、解答题 13在梯形 ABCD 中，AB CD ，M，N 分别是 DA，BC 的中点，且DC ABk.设AD e1，A
8、B e2，以 e1，e2为基底表示向量DC ，BC ，MN . 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 解 方法一 如图所示， AB e 2，且DC ABk， DC kAB ke 2. 又AB BCCD DA 0， BC ABCD DA AB DC AD e1(k1)e2. 又MN NB BAAM 0， 且NB 1 2BC ，AM 1 2AD ， MN AM BA NB1 2AD AB 1 2BC k1 2 e2. 方法二 如图所示，过 C 作 CEDA，交 AB 于点 E，交 MN 于点 F. 同方法一可得DC ke2. 则BC BEEC(ABDC )AD e1(k1)e2， MN M
9、F FN DC 1 2EB DC 1 2(AB DC ) k1 2 e2. 方法三 如图所示，连接 MB，MC. 同方法一可得DC ke2， BC e 1(k1)e2. 由MN 1 2(MB MC )， 得MN 1 2(MA AB MD DC ) 1 2(AB DC )k1 2 e2. 14.如图所示，已知AOB 中，点 C 是以 A 为对称中心的点 B 的对称点，OD 2DB ，DC 与 OA 交于 E，设OA a，OB b. (1)用 a 和 b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE OA ，求实数 的值 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 解 (1)由题意知 A 是 BC 的
10、中点，且OD 2 3OB 2 3b.由平行四边形法则知OB OC 2OA ， OC 2OA OB 2ab，DC OC OD (2ab)2 3b2a 5 3b. (2)EC DC ，又EC OC OE (2ab)a (2)ab，DC 2a5 3b， 2 2 1 5 3 ，4 5. 15.如图， 平面内有三个向量OA ， OB ， OC .其中OA 与OB 的夹角为 120 ， OA 与OC 的夹角为 30 ， 且|OA |OB |1，|OC |2 3，若OC OA OB (，R)，求 的值 考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 解 如图，以 OA，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形 ODCE， 则OC OD OE . 在 RtOCD 中，|OC |2 3， COD30 ，OCD90 ， |OD |4，|CD |2， 故OD 4OA ，OE 2OB ， 即 4，2，6.