1、 3.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 一、选择题 1已知 cos 1 5， 3 2 ，2 ，则 sin 2等于( ) A. 10 5 B 10 5 C.2 6 5 D.2 5 5 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A 解析 3 2 ，2 ， 2 3 4 ， ， sin 2 1cos 2 10 5 . 2设 是第二象限角，tan 4 3，且 sin 2cos 2，则 cos 2等于( ) A 5 5 B. 5 5 C.3 5 D 3 5 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A 解析 因为 是第二象限角，且 sin
2、 2cos 2，所以 2为第三象限角，所以 cos 20. 因为 tan 4 3，所以 cos 3 5， 所以 cos 2 1cos 2 5 5 . 3设 a1 2cos 6 3 2 sin 6 ，b2sin 13 cos 13 ，c 1cos 50 2 ，则有( ) Acba Babc Cacb Dbca 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 答案 C 解析 asin 30 cos 6 cos 30 sin 6 sin(30 6 )sin 24 ， b2sin 13 cos 13 sin 26 ，csin 25 ， 当 0 x90 时，ysin x
3、 是单调递增的， acb. 4若 cos 4 5， 是第三象限角，则 1tan 2 1tan 2 等于( ) A1 2 B. 1 2 C2 D2 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用弦化切对齐次分式化简求值 答案 A 解析 是第三象限角，cos 4 5，sin 3 5. 1tan 2 1tan 2 1 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos 2 cos 2sin 2 cos 2sin 2 cos 2sin 2 cos 2sin 2 cos 2sin 2 cos 2sin 2 1sin cos 13 5 4 5 1 2.故选 A. 5sin xcos xsin2x 可化为(
4、) A. 2 2 sin 2x 4 1 2 B. 2sin 2x 4 1 2 Csin 2x 4 1 2 D2sin 2x3 4 1 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案 A 解析 y1 2sin 2x 1cos 2x 2 1 2sin 2x 1 2cos 2x 1 2 2 2 2 2 sin 2x 2 2 cos 2x 1 2 2 2 sin 2x 4 1 2.故选 A. 6已知函数 f(x)sin 2x 6 2cos2x1，则函数 f(x)的单调递增区间为( ) A. 2k 3，2k 6 (kZ) B. k 6，k 3 (kZ) C. k 3，
5、k 6 (kZ) D. 2k 6，2k 3 (kZ) 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 答案 C 解析 因为 f(x)sin 2x 6 2cos2x1 3 2 sin 2x1 2cos 2xcos 2x 3 2 sin 2x1 2cos 2x sin 2x 6 ，所以函数 f(x)的单调递增区间是 k 3，k 6 (kZ)，故选 C. 7已知 sin m3 m5，cos 42m m5 2 ，则 tan 2等于( ) A1 3 B5 C5 或1 3 D1 3或 5 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换化简求值 答案 B
6、解析 由 sin2cos21，得 m3 m5 2 42m m5 21， 解得 m0 或 8，当 m0 时，sin 0，不符合 2. m0 舍去，故 m8， sin 5 13，cos 12 13， tan 2 1cos sin 112 13 5 13 5. 二、填空题 8已知 0， 2 ，sin 21 2，则 sin 4 _. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案 3 2 解析 因为 12sin2 4 cos 2 2 sin 2， 所以 sin2 4 3 4， 因为 0， 2 ， 所以 4 4， 3 4 ， 所以 sin 4 3 2 . 9化简： s
7、in 4x 1cos 4x cos 2x 1cos 2x cos x 1cos x_. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案 tan x 2 解析 原式2sin 2xcos 2x 2cos22x cos 2x 1cos 2x cos x 1cos x sin 2x 1cos 2x cos x 1cos x 2sin xcos x 2cos2x cos x 1cos x sin x 1cos xtan x 2. 10已知 cos 4 4 5， 0， 4 ，则 cos 2 sin 4 _. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变
8、换公式化简求值 答案 6 5 解析 因为 cos 4 4 5， 0， 4 ， 所以 sin 4 3 5，sin 4 3 5. 所以 cos 2 sin 4 sin 2 2 sin 4 2cos 4 2sin 2 4 2sin 4 6 5. 11设 0，不等式 8x28xsin cos 20 对任意 xR 恒成立，则 的取值范围是 _ 答案 0， 6 5 6 ， 解析 (8sin )248cos 20， 即 2sin2cos 20，所以 4sin21， 所以1 2sin 1 2. 因为 0，所以 0 6或 5 6 . 三、解答题 12求证：tan 3x 2 tan x 2 2sin x cos
9、xcos 2x. 考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 左边tan 3x 2 tan x 2 sin 3x 2 cos 3x 2 sin x 2 cos x 2 sin 3x 2 cos x 2cos 3x 2 sin x 2 cos 3x 2 cos x 2 sin 3x 2 x 2 cos 3x 2 cos x 2 sin x cos 3x 2 cos x 2 2sin x cos 3x 2 x 2 cos 3x 2 x 2 2sin x cos xcos 2x右边 原等式得证 13(2018 浙江宁波高三期末)已知函数 f(x)2sin x cos x12sin2x. (
10、1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 3， 4 上的最大值与最小值 考点 简单的三角恒等变换的应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)因为 f(x)sin 2xcos 2x 2sin 2x 4 ， 所以 f(x)的最小正周期为 . (2)因为 3x 4，所以 5 122x 4 3 4 . 当 2x 4 2，即 x 8时，f(x)取得最大值 2； 当 2x 4 5 12，即 x 3时， f(x)minf 3 sin 2 3 cos 2 3 31 2 ， 即 f(x)的最小值为 31 2 . 14如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”给
11、出下列 函数： f(x)2sin xcos x1； f(x)2sin x 4 ； f(x)sin x 3cos x； f(x) 2sin 2x1. 其中是“同簇函数”的有( ) A B C D 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 答案 C 解析 式化简后为 f(x)sin 2x1，式化简后为 f(x)2sin x 3 ，中振幅不同，平 移后不能重合振幅、周期相同，平移后可以重合 15证明：sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 1 16. 考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 原式sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 1 2cos 20 cos 40 cos 80 2sin 20 cos 20 cos 40 cos 80 4sin 20 sin 40 cos 40 cos 80 4sin 20 sin 80 cos 80 8sin 20 1 16 sin 160 sin 20 1 16右边， 所以原等式得证