1、 2.1 平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念 一、选择题 1给出下列物理量： 质量；速度；位移；力；路程；功；加速度 其中是向量的有( ) A4 个 B5 个 C6 个 D7 个 考点 向量的概念 题点 向量的判定 答案 A 解析 速度、位移、力、加速度，这 4 个物理量是向量，它们都有大小和方向 2下列说法正确的是( ) A向量AB 与BA是相等向量 B共线的单位向量是相等向量 C零向量与任一向量共线 D两平行向量所在直线平行 考点 相等向量与共线向量 题点 相等向量与共线向量的性质和判定 答案 C 解析 向量AB 与BA方向相反，不是相等向量，故 A 错；共线的单位向
2、量可能是相等向量， 也可能不是，故 B 错；零向量与任一向量共线，故 C 正确；两平行向量所在直线可能平行， 也可能重合，故 D 错 3设 O 是ABC 的外心，则AO ，BO ，CO 是( ) A相等向量 B模相等的向量 C平行向量 D起点相同的向量 考点 向量的表示方法 题点 向量的模 答案 B 解析 因为 O 是ABC 的外心，所以|AO |BO |CO |，故选 B. 4在ABC 中，ABAC，D，E 分别是 AB，AC 的中点，则( ) A.AB 与AC共线 B.DE 与CB 共线 C.AD 与AE 相等 D.AD 与BD 相等 考点 相等向量与共线向量 题点 几何图形中的相等向量与
3、共线向量 答案 B 解析 如图所示，因为 D，E 分别是 AB，AC 的中点，由三角形的中位线定理可得 DEBC. 所以DE 与CB 共线 5(2018 安徽安庆质检)下列说法正确的是( ) A若|a|b|且 ab，则 ab B若|a|b|，则 ab C若 ab，则 a 与 b 共线 D若 ab，则 a 一定不与 b 共线 考点 相等向量与共线向量 题点 相等向量与共线向量的性质和判定 答案 C 解析 A 中，当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，A 不正确；B 中，向量 的模相等，但 a 与 b 的方向不确定，B 不正确；D 中，ab，a 可与 b 共线 6.如图，在菱形
4、 ABCD 中，BAD120 ，则以下说法错误的是( ) A与AB 相等的向量只有 1 个(不含AB) B与AB 的模相等的向量有 9 个(不含AB) C.BD 的模恰为DA 的模的 3倍 D.CB 与DA 不共线 考点 相等向量与共线向量 题点 几何图形中的相等向量与共线向量 答案 D 解析 由于AB DC ， 因此与AB 相等的向量只有DC ， 而与AB 的模相等的向量有DA ， DC ， AC ， CB ，AD ，CD ，CA ，BC，BA，因此选项 A，B 正确而 RtAOD 中，ADO30 ， |DO | 3 2 |DA |， 故|DB | 3|DA |， 因此选项 C 正确 由于C
5、B DA ， 因此CB 与DA 是共线的， 故选 D. 7.如图所示， 四边形 ABCD， CEFG， CGHD 是全等的菱形， 则下列结论中不一定成立的是( ) A|AB |EF| B.AB 与FH 共线 C.BD 与EH 共线 D.CD FG 考点 相等向量与共线向量 题点 几何图形中的相等向量与共线向量 答案 C 二、填空题 8若 A 地位于 B 地正西方向 5 km 处，C 地位于 A 地正北方向 5 km 处，则 C 地相对于 B 地 的位移是_ 考点 向量的表示方法 题点 向量的几何意义及其应用 答案 西北方向 5 2 km 9已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC60 ，
6、则|BD |_. 考点 向量的表示方法 题点 向量的模 答案 2 3 解析 由题意知 ACBD，且ABD30 ， 设 AC 与 BD 的交点为 O， 在 RtABO 中，|BO |AB | cos 30 23 2 3， |BD |2|BO |2 3. 10.在如图所示的半圆中，AB 为直径，点 O 为圆心，C 为半圆上一点，且OCB30 ，|AB | 2，则|AC |_. 考点 向量的表示方法 题点 向量的模 答案 1 解析 连接 AC，由|OC |OB |得ABCOCB30 ， 又ACB90 ，则|AC |1 2|AB |1 221. 11已知在四边形 ABCD 中，BC AD 且|AB |
7、BD |BC |2，则该四边形内切圆的面积是 _ 考点 相等向量与共线向量 题点 几何图形中的相等向量与共线向量 答案 3 4 解析 由BC AD 知四边形ABCD为平行四边形， 由|AB |BD |BC |知四边形ABCD为菱形， ABD 为等边三角形，故ABC120 ，菱形的内切圆圆心 O 在对角线 BD 的中点处，令其 半径为 r，则 r1 2|BD |sin 60 3 2 ，所以 S圆r2 3 2 23 4 . 12.如图，若四边形 ABCD 为正方形，BCE 为等腰直角三角形，则： (1)图中与AB 共线的向量有_； (2)图中与AB 相等的向量有_； (3)图中与AB 的模相等的向
8、量有_； (4)图中与EC 相等的向量有_ 考点 相等向量与共线向量 题点 几何图形中的相等向量与共线向量 答案 (1)DC ，BE ，BA，CD ，EB ，AE，EA (2)DC ，BE (3)BA ，BE，EB，DC ，CD ，AD ，DA ，BC ，CB (4)BD 三、解答题 13.一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务， 先从 A 地向北偏东 30 方向行驶 2 千米到 D 地， 然后 从 D 地沿北偏东 60 方向行驶 6 千米到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30 方向行驶 2 千米才到 达 B 地 (1)画出AD ，DC ，CB ，AB； (2)求 B 地相对于 A 地的位置
9、向量 考点 向量的表示方法 题点 向量的几何表示 解 (1)向量AD ，DC ，CB ，AB，如图所示 (2)由题意知AD BC ， ADBC，ADBC， 则四边形 ABCD 为平行四边形， AB DC ，则 B 地相对于 A 地的位置向量为“北偏东 60 ，长度为 6 千米” 14.如图所示，在四边形 ABCD 中，AB DC ，N，M 分别是 AD，BC 上的点，且CN MA ， 求证：DN MB . 考点 相等向量与共线向量 题点 相等向量与共线向量的应用 证明 AB DC ，ABDC 且 ABDC， 四边形 ABCD 是平行四边形，CB DA ， 又CN MA ，CNMA，CNMA，
10、四边形 CNAM 是平行四边形， CM NA ，CMNA，CMNA. CBDA，CMNA，MBDN. 又 DNMB，DN 与MB 的模相等且方向相同， DN MB . 15如图的方格纸由若干个边长为 1 的小正方形组成，方格纸中有两个定点 A，B.点 C 为小 正方形的顶点，且|AC | 5. (1)画出所有的向量AC ； (2)求|BC |的最大值与最小值 考点 向量的表示方法 题点 向量的模 解 (1)画出所有的向量AC ，如图所示 (2)由(1)所画的图知， 当点 C 位于点 C1或 C2时， |BC |取得最小值 1222 5； 当点 C 位于点 C5或 C6时， |BC |取得最大值 4252 41. 所以|BC |的最大值为 41，最小值为 5.