1、3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式 基础过关 1已知 cos x3 4，则 cos 2x( ) A1 4 B.1 4 C1 8 D.1 8 解析 cos 2x2cos2x12 3 4 2 11 8，故选 D. 答案 D 2cos275 cos215 cos 75 cos 15 的值等于( ) A 6 2 B3 2 C5 4 D1 3 4 解析 原式sin215 cos215 sin 15 cos 15 11 2sin 30 5 4 答案 C 3已知 x( 2，0)，cos x 4 5，则 tan 2x 等于( ) A 7 24 B 7 24 C24 7 D24
2、 7 解析 cos x4 5，x( 2，0)，得 sin x 3 5， 所以 tan x3 4， 所以 tan 2x 2tan x 1tan2x 23 4 13 4 2 24 7 ，故选 D 答案 D 4若 2 3是方程 x25xsin 10 的两根，则 cos 2 等于_ 解析 由题意得 5sin 4，即 sin 4 5，所以 cos 212sin 21216 25 7 25 答案 7 25 5sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 _ 解析 原式sin 6 cos 48 cos 24 cos 12 sin 6 cos 6 cos 12 cos 24 cos 48 cos 6
3、sin 96 16cos 6 cos 6 16cos 6 1 16 答案 1 16 6化简下列各式： (1) 1 1tan 1 1tan ； (2) 2cos21 2tan 4 sin 2 4 解 (1)原式1tan 1tan 1tan 1tan 2tan 1tan2tan 2 (2)原式 cos 2 2tan 4 cos 2 2 4 cos 2 2tan 4 cos 2 4 cos 2 2sin 4 cos 4 cos 2 sin 2 42 cos 2 cos 21 7已知角 在第一象限且 cos 3 5，求 1 2cos2 4 sin 2 的值 解 cos 3 5且 在第一象限，sin 4
4、 5 cos 2cos2sin2 7 25， sin 22sin cos 24 25， 原式 1 2cos 2cos 4sin 2sin 4 cos 1cos 2sin 2 cos 14 5 能力提升 8已知等腰三角形底角的正弦值为 5 3 ，则顶角的正弦值是( ) A4 5 9 B2 5 9 C4 5 9 D2 5 9 解析 设底角为 ，则 0， 2 ，顶角为 2 sin 5 3 ，cos 1sin22 3 sin(2)sin 22sin cos 2 5 3 2 3 4 5 9 答案 A 9.已知函数 f(x)2cos2xsin2x2，则( ) A.f(x)的最小正周期为 ，最大值为 3 B
5、.f(x)的最小正周期为 ，最大值为 4 C.f(x)的最小正周期为 2，最大值为 3 D.f(x)的最小正周期为 2，最大值为 4 解析 易知 f(x)2cos2xsin2x23cos2x13cos 2x1 2 13 2cos 2x 5 2， 则 f(x)的最 小正周期为 ，当 xk(kZ)时，f(x)取得最大值，最大值为 4.故选 B. 答案 B 10已知 tan 23，则 1cos sin 1cos sin _ 解析 1cos sin 1cos sin 2sin2 22sin 2cos 2 2cos2 22sin 2cos 2 2sin 2 sin 2cos 2 2cos 2 cos 2
6、sin 2 tan 23 答案 3 11 在平面直角坐标系 xOy 中， 角 与角 均以 Ox 为始边， 它们的终边关于 y 轴对称 若 sin 1 3，cos() _ 解析 与 的终边关于 y 轴对称，则 2k，kZ，2k.cos( )cos(2k)cos 2(12sin2) 121 9 7 9. 答案 7 9 12已知函数 f(x)2sin xcos xcos 2x(0)的最小正周期为 (1)求 的值； (2)求 f(x)的单调递增区间 解 (1)f(x)2sin xcos xcos 2x sin 2xcos 2x 2sin 2x 4 又 f(x)的最小正周期为 ，0， T2 2，1 (2
7、)由(1)得 f(x) 2sin 2x 4 ， 函数 ysin x 的单调递增区间为 2k 2，2k 2 ，kZ， 由 2k 22x 42k 2，kZ 得 k3 8 xk 8，kZ， f(x)的单调递增区间为 k3 8 ，k 8 (kZ) 创新突破 13已知函数 f(x)cos(2x 3)sin 2xcos2x2 3sin xcos x (1)化简 f(x)； (2)若 f()1 7，2 是第一象限角，求 sin 2 解 (1)f(x)1 2cos 2x 3 2 sin 2xcos 2x 3sin 2x 3 2 sin 2x1 2cos 2xsin(2x 6) (2)f()sin 2 6 1 7，2 是第一象限角，即 2k2 22k(kZ)， 2k 62 6 32k，kZ， cos 2 6 4 3 7 ， sin 2sin 2 6 6 sin 2 6 cos 6cos 2 6 sin 6 1 7 3 2 4 3 7 1 2 5 3 14