1、 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理 基础过关 1若 e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) Ae1e2，e2e1 B2e1e2，e11 2e2 C2e23e1,6e14e2 De1e2，e1e2 解析 选项 A 中，e1e2(e2e1)，即 e1e2与 e2e1共线，不能作为基底；选项 B 中，2e1e22(e11 2e2)，即 2e1e2 与 e11 2e2 共线，不能作为基底；选项 C 中，2e23e1 1 2(6e14e2)， 即 2e23e1 与 6e14e2共线， 不能作
2、为基底； 选项 D 中的两个向量不共线， 可作为基底 答案 D 2如图所示，矩形 ABCD 中，BC 5e 1，DC 3e2，则OC 等于( ) A1 2(5e13e2) B1 2(5e13e2) C1 2(3e25e1) D1 2(5e23e1) 解析 OC 1 2AC 1 2(BC BA)1 2(5e13e2) 答案 A 3设 D 为ABC 所在平面内一点，BC 3CD ，则( ) AAD 1 3AB 4 3AC BAD 1 3AB 4 3AC CAD 4 3AB 1 3AC DAD 4 3AB 1 2AC 解析 由BC 3CD 得AC AB3(AD AC )，即 3AD AB 4AC，所
3、以AD 1 3AB 4 3AC 答案 A 4若向量 a 与 b 的夹角为 45 ，则 2a 与3b 的夹角是_ 解析 如图所示，可知 2a 与3b 的夹角是 135 答案 135 5已知 e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使 a，b 能作为平面内的一组基底， 则实数 的取值范围为_ 解析 若能作为平面内的一组基底，则 a 与 b 不共线 ae12e2，b2e1e2， 由 akb 即得 4 答案 (，4)(4，) 6如图，在OAB 中，延长 BA 到 C，使 ACBA，在 OB 上取点 D，使 DB1 3OB， 设OA a，OB b，用 a，b 表示向量OC ，DC 解 OC OA
4、 AC OA BA OA OA OB 2ab.DC OC OD OC 2 3OB 2a b2 3b2a 5 3b 7已知单位圆 O 上的两点 A，B 及单位圆所在平面上的一点 P，OA 与OB 不共线 (1)在OAB 中，若点 P 在 AB 上，且AP 2PB，若APrOB sOA ，求 rs 的值； (2)P 满足OP mOA OB (m 为常数)，若四边形 OABP 为平行四边形，求 m 的值 解 (1)AP 2PB，AP2 3AB ， AP 2 3(OB OA )2 3OB 2 3OA ， 又AP rOB sOA ， r2 3，s 2 3，rs 的值为 0 (2)四边形 OABP 为平行
5、四边形， OB OP OA ， 又OP mOA OB ， OB OB (m1)OA ， 依题意OA ，OB 是非零向量且不共线， m10，解得 m1 能力提升 8.在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB ( ) A.3 4AB 1 4AC B.1 4AB 3 4AC C.3 4AB 1 4AC D.1 4AB 3 4AC 解析 法一 如图所示，EB ED DB 1 2AD 1 2CB 1 2 1 2(AB AC )1 2(AB AC)3 4AB 1 4AC ，故选 A. 法二 EB ABAEAB1 2AD AB 1 2 1 2(AB AC)3 4AB 1 4AC
6、 ，故选 A. 答案 A 9在ABC 中，N 是 AC 边上一点，且AN 1 2NC ，P 是 BN 上的一点，若AP mAB 2 9AC ，则实数 m 的值为( ) A1 9 B1 3 C1 D3 解析 如图， 因为AN 1 2NC ， 所以AN 1 3AC ，APmAB2 9AC mAB2 3AN ， 因为 B，P，N 三点共线，所以 m2 31，所以 m 1 3，故选 B 答案 B 10若|a|b|ab|r(r0)，则 a 与 b 的夹角为_ 解析 作OA a，OB b，则BA ab，AOB 为 a 与 b 的夹角，由|a|b|ab|知 AOB 为等边三角形，则AOB60 答案 60 1
7、1设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD1 2AB，BE 2 3BC.若DE 1AB 2AC ( 1，2为实数)，则 12的值为_ 解析 如图，DE BE BD 2 3BC 1 2BA 2 3(AC AB )1 2AB 1 6AB 2 3AC ，又DE 1AB 2AC ，且AB与AC不共线，所以 11 6，2 2 3，故 12 1 2 答案 1 2 12设 e1，e2是不共线的非零向量，且 ae12e2，be13e2 (1)证明：a，b 可以作为一组基底； (2)以 a，b 为基底，求向量 c3e1e2的分解式； (3)若 4e13e2ab，求 ， 的值 解 (1)若 a，b
8、 共线，则存在 R，使 ab，则 e12e2(e13e2) 由 e1，e2不共线得， 1， 32 1， 2 3. 所以 不存在，故 a 与 b 不共线，可以作为一组基底 (2)设 cmanb(m，nR)，得 3e1e2m(e12e2)n(e13e2) (mn)e1(2m3n)e2 所以 mn3， 2m3n1 m2， n1. 所以 c2ab (3)由 4e13e2ab，得 4e13e2(e12e2)(e13e2) ()e1(23)e2 所以 4， 233 3， 1. 故所求 ， 的值分别为 3 和 1 创新突破 13如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为 120 ，OA 与OC 的 夹角为 30 ，且|OA |OB |1，|OC |2 3.若OC OA OB (，R)，求 的值 解 如图，以 OC 为对角线作OMCN，使得 M 在直线 OA 上，N 在直线 OB 上， 则存在 ，使OM OA ，ON OB ， 即OC OM ON OA OB 在 RtCOM 中，|OC |2 3，COM30 ，OCM90 ， |OM |4，OM 4OA 又|ON |MC |2，ON 2OB ， OC 4OA 2OB ，即 4，2 6