1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义 基础过关 1将 1 122(2a8b)4(4a2b)化简成最简形式为( ) A2ab B2ba Cab Dba 解析 原式 1 12(4a16b16a8b) 1 12(24b12a)2ba 答案 B 2在ABC 中，已知 D 是 AB 边上的一点，若AD 2DB ，CD 1 3CA CB，则 等于 ( ) A1 3 B2 3 C1 2 D3 4 解析 A，B，D 三点共线， 1 31， 2 3 答案 B 3设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB FC等于( ) ABC B1 2AD CAD D1 2B
2、C 解析 如图，EB FC EC CBFBBC EC FB1 2(AC AB) 1 2 2AD AD 答案 C 4如果实数 p 和非零向量 a 与 b 满足 pa(p1)b0，则向量 a 和 b_(填“共 线”或“不共线”) 解析 由题知实数 p0，则 pa(p1)b0 可化为 ap1 p b，由向量共线定理可知 a，b 共线 答案 共线 5已知在ABC 中，点 M 满足MA MB MC 0，若存在实数 m 使得AB ACmAM 成立，则 m_ 解析 MA MB MC 0， 点 M 是ABC 的重心 AB AC3AM ，m3 答案 3 6计算： (1)6(3a2b)9(2ab)； (2)1 2
3、 3a2b2 3ab 7 6 1 2a 3 7 b7 6a ； (3)6(abc)4(a2bc)2(2ac) 解 (1)原式18a12b18a9b3b (2)原式1 2 3a2 3a2bb 7 6 1 2a 1 2a 3 7b 1 2 7 3ab 7 6 a3 7 b 7 6a 1 2b 7 6a 1 2b0 (3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c (6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c)6a2b 7在ABCD 中，AB a，AD b，AN 3NC ，M 为 BC 的中点，求MN (用 a，b 表示) 解 法一 如图所示，在ABCD 中，连接 AC 交 BD 于 O 点， 则 O 平分
4、 AC 和 BD AN 3NC ，NC 1 4AC ， N 为 OC 的中点， 又 M 为 BC 的中点，MN 綉1 2BO， MN 1 2BO 1 4BD 1 4(ba) 法二 MN MB BA AN1 2ba 3 4AC 1 2ba 3 4(ab) 1 4(ba) 能力提升 8已知ABC 三个顶点 A，B，C 及平面内一点 P，若PA PBPCAB，则( ) AP 在ABC 内部 BP 在ABC 外部 CP 在 AB 边所在的直线上 DP 在线段 AC 上 解析 PA PBPCPBPA，PC2PA， P 在 AC 边上 答案 D 9在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E
5、 是线段 OD 的中点，AE 的延长线 与 CD 交于点 F，若AC a，BD b，则AF 等于( ) A1 4a 1 2b B1 3a 2 3b C1 2a 1 4b D2 3a 1 3b 解析 DEFBEA，DF AB DE EB 1 3， DF1 3AB，AF AD DF AD 1 3AB AC ABAD a，BD AD AB b， 联立得：AB 1 2(ab)，AD 1 2(ab)， AF 1 2(ab) 1 6(ab) 2 3a 1 3b 答案 D 10设 a，b 是两个不共线的非零向量，若向量 ka2b 与 8akb 的方向相反，则 k _ 解析 由题意可知存在实数 ，使 ka2b
6、(8akb)， 即 ka2b8akb， 所以 k8， k2， 解得 1 2， k4 或 1 2， k4， 当 k4 时，ka2b 与 8akb 方向相同，不合题意，故 k4 答案 4 11如图所示，设 M，N 为ABC 内的两点，且AM 1 4AB 1 3AC ，AN2 5AB 1 2AC ，则 ABM 的面积与ABN 的面积之比为_ 解析 如图所示，设AP 1 4AB ，AQ 1 3AC ， 则AM AP AQ 由平行四边形法则知，MQAB， S ABM SABC |AQ | |AC | 1 3 同理S ABN SABC 1 2. SABM SABN 2 3 答案 23 12 如图所示， 在
7、平行四边形 ABCD 中， 点 M 是 AB 的中点， 点 N 在 BD 上， 且 BN1 3BD 求证：M，N，C 三点共线. 证明 设BA a，BCb，则由向量减法的三角形法则可知：CM BM BC 1 2BA BC 1 2ab 又N 在 BD 上且 BD3BN， BN 1 3BD 1 3(BC CD )1 3(ab)， CN BN BC1 3(ab)b 1 3a 2 3b 2 3 1 2ab ， CN 2 3CM ，又CN 与CM 的公共点为 C， C，M，N 三点共线 创新突破 13设 a，b，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知 ab 与 c 共线，且 bc 与 a 共线，则 b 与 ac 是否共线？请证明你的结论 解 b 与 ac 共线证明如下： ab 与 c 共线， 存在唯一实数 ，使得 abc. bc 与 a 共线， 存在唯一实数 ，使得 bca. 由得，acca (1)a(1)c 又a 与 c 不共线，10,10， 1，1，abc，即 abc0 acb 故 ac 与 b 共线