1、2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 基础过关 1给出下面几种说法： 相等向量的坐标相同； 平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； 一个坐标对应于唯一的一个向量； 平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 其中正确说法的个数是( ) A1 B2 C3 D4 解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故错误 答案 C 2已知AB (5，3)，C(1,3)，CD 2AB ，则点 D 坐标是( ) A(11,9) B(4,0) C(9,3) D(9，3) 解析 设 D(x，y)，则(x1
2、，y3)(10，6)，x9，y3，即点 D 的坐标是(9， 3) 答案 D 3已知向量 a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且 c1a2b，则 1，2的值分别为( ) A2,1 B1，2 C2，1 D1,2 解析 由 1223， 21324， 解得 11， 22. 答案 D 4在平行四边形 ABCD 中，若AB (2,4)，AC(1,3)，则AD _(用坐标表示) 解析 AD AC AB(1,3)(2,4)(1，1) 答案 (1，1) 5已知点 A(1,3)，B(4，1)，则与向量AB 同方向的单位向量为_ 解析 AB (4，1)(1,3)(3，4)， 与AB 同方向的单位向量为AB |
3、AB | 3 5， 4 5 答案 3 5， 4 5 6向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab(，R)，求 的值 解 以向量 a 和 b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则 a(1,1)，b(6,2)，c( 1，3)，根据 cab(1，3)(1,1)(6,2)，有61，23， 解之得 2 且 1 2，故 4 7已知点 A(3，4)与 B(1,2)，点 P 在直线 AB 上，且|AP |2|PB|，求点 P 的坐标 解 设 P 点坐标为(x，y)，|AP |2|PB| 当 P 在线段 AB 上时，AP 2PB (x3，y4)2(1x,2y)， x322x， y442y， 解得
4、x1 3， y0. P 点坐标为(1 3，0) 当 P 在线段 AB 延长线上时，AP 2PB (x3，y4)2(1x,2y)， x322x， y442y， 解得 x5， y8. 综上所述，点 P 的坐标为(1 3，0)或(5,8) 能力提升 8向量AB (7，5)，将AB按向量 a(3,6)平移后得向量AB ，则AB 的坐标形 式为( ) A(10,1) B(4，11) C(7，5) D(3,6) 解析 AB 与AB 方向相同且长度相等， 故AB AB (7，5) 答案 C 9已知 a( 3，1)，若将向量2a 绕坐标原点逆时针旋转 120 得到向量 b，则 b 的坐 标为( ) A(0,4
5、) B(2 3，2) C(2 3，2) D(2，2 3) 解析 a( 3，1)，2a(2 3，2)， 易知向量2a 与 x 轴正半轴的夹角 150 (如图) 向量2a 绕坐标原点逆时针旋转 120 得到向量 b，在第四象限，与 x 轴正半轴的夹角 30 ，b(2 3，2)，故选 B 答案 B 10若向量 a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则 c_(用 a，b 表示) 解析 设 cxayb，即(1,2)(x，x)(y，y)(xy，xy)，即 xy1， xy2， 解 得 x1 2， y3 2， 所以 c1 2a 3 2b 答案 1 2a 3 2b 11已知 A(1，2)，B(2,3)，C(
6、2,0)，D(x，y)，且AC 2BD ，则 xy_ 解析 AC (2,0)(1，2)(1,2)， BD (x，y)(2,3)(x2，y3)， 又 2BD AC ，即(2x4,2y6)(1,2)， 2x41， 2y62， 解得 x3 2， y4， xy11 2 答案 11 2 12已知点 A(1,2)，B(2,8)及AC 1 3AB ，DA 1 3BA ，求点 C，D 和CD 的坐标 解 设点 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由题意可得AC (x 11，y12)，AB (3,6)， DA (1x2,2y2)，BA (3，6) AC 1 3AB ，DA 1 3BA ， (x11，y12)1
7、 3(3,6)(1,2)， (1x2,2y2)1 3(3，6)(1,2)， 则有 x111， y122 和 1x21， 2y22， 解得 x10， y14 和 x22， y20. C，D 的坐标分别为(0,4)和(2,0)， CD (2，4) 创新突破 13已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP OA tAB (1)t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ (2)四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求 t 值；若不能，说明理由 解 (1)OP OA tAB (1,2)t(3,3) (13t,23t)， 若点 P 在 x 轴上，则 23t0， t2 3 若点 P 在 y 轴上，则 13t0， t1 3 若点 P 在第二象限，则 13t0， 2 3t 1 3 (2)OA (1,2)，PB OB OP (33t,33t) 若四边形 OABP 为平行四边形， 则OA PB ， 33t1， 33t2， 该方程组无解 故四边形 OABP 不能成为平行四边形