1、 2.5 平面向量应用举例平面向量应用举例 1两个大小相等的共点力 F1，F2，当它们夹角为 90 时，合力大小为 20 N，则当它们 的夹角为 120 时，合力大小为( ) A40 N B10 2 N C20 2 N D10 3 N 解析 |F1|F2|F|cos 45 10 2， 当 120 ，由平行四边形法则知： |F合|F1|F2|10 2 N 答案 B 2已知点 A(2，3)，B(19,4)，C(1，6)，则ABC 是( ) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 解析 AB (21,7)，AC(1，3)，AB AC0，即ABAC，则A90 ，所以ABC 是直角三
2、角形 答案 C 3点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ，则点 O 是 ABC 的( ) A三个内角的角平分线的交点 B三条边的垂直平分线的交点 C三条中线的交点 D三条高的交点 解析 OA OB OB OC ， (OA OC ) OB 0 OB CA 0 OBAC.同理 OABC，OCAB， O 为三条高的交点 答案 D 4飞机以 300 km/h 的速度斜向上飞行，方向与水平面成 30角，则飞机在水平方向的 分速度大小是_km/h 解析 如图所示，|v1|v|cos 30 300 3 2 150 3(km/h) 答案 150 3 5在直角坐标系
3、 xOy 中，已知点 A(0,1)和点 B(3,4)，若点 C 在AOB 的平分线上且 |OC |2，则OC _ 解析 |OA |1，|OB |5， 设 OC 与 AB 交于 D(x，y)点， 则 ADBD15. 即 D 分有向线段 AB 所成的比为1 5. 则 x3 1 5 11 5 1 2， y 141 5 11 5 3 2， OD 1 2， 3 2 . 又|OC |2，|OC |2OD |OD | 10 5 ，3 10 5 答案 10 5 ，3 10 5 6已知两恒力 F1(3,4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0) (1)求 F1，F2分别
4、对质点所做的功； (2)求 F1，F2的合力 F 对质点所做的功 解 (1)AB (7,0)(20,15)(13，15)， W1F1 AB (3,4) (13，15) 3(13)4(15)99(J)， W2F2 AB (6，5) (13，15) 6(13)(5)(15)3(J) 力 F1，F2对质点所做的功分别为99 J 和3 J (2)WF AB (F 1F2) AB (3,4)(6，5) (13，15) (9，1) (13，15) 9(13)(1)(15) 11715102(J) 合力 F 对质点所做的功为102 J 7已知正方形 ABCD 中，E，F 分别是 CD，AD 的中点，BE，C
5、F 交于点 P.求证：(1)BE CF；(2)APAB 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB2，则 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)， F(0,1) (1)BE (1,2)，CF(2，1) BE CF(1)(2)2(1)0， BE CF，即 BECF (2)设点 P 坐标为(x，y)，则FP (x，y1)， FC (2,1)，FPFC， x2(y1)，即 x2y2， 同理，由BP BE，得 y2x4， 由 x2y2， y2x4 得 x6 5， y8 5， 点 P 的坐标为(6 5， 8 5) |AP | 6 5 28 5 22|AB|， 即 APAB 能力提升 8
6、如图所示，矩形 ABCD 中，AB4，点 E 为 AB 的中点，且DE AC ，则|DE |( ) A5 2 B2 3 C3 D2 2 解析 建立如图所示的直角坐标系 设|AD |a(a0)，则 A(0,0)，C(4，a)， D(0，a)，E(2,0)， 所以DE (2，a)，AC (4，a) 因为DE AC ， 所以DE AC 0， 所以 24(a) a0，即 a28 所以 a2 2，所以DE (2，2 2)， 所以|DE |222 222 3 答案 B 9质点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 (4，3)(即点 P 的运动方向与 相 同，且每秒移动的距离为|个单位)设开始时点 P 的坐
7、标为(10,10)，则 5 秒后点 P 的坐 标为( ) A(2,4) B(30,25) C(10，5) D(5，10) 解析 设(10,10)为 A，设 5 秒后 P 点的坐标为 A1(x，y)， 则AA1 (x10，y10)，由题意有AA1 5 即(x10，y10)(20，15) x1020， y1015 x10， y5. 答案 C 10 如图所示， 已知点 A(4,0)， B(4,4)， C(2,6)， 则 AC 和 OB 的交点 P 的坐标为_ 解析 设 P(x， y)， OB (4,4)， OP (x， y)， 由于OB OP ， 所以 xy0， AC (2,6)， AP (x4，y
8、)，由于APAC， 所以 6(x4)2y0，可得 x3，y3， 故 P 的坐标是(3,3) 答案 (3,3) 11已知 P，Q 为ABC 内的两点，且AQ 1 4AC 1 2AB ，AP1 2AC 1 4AB ，则APQ 的 面积与ABC 的面积之比为_ 解析 如图，根据题意，P，Q 为ABC 中位线 DE，DF 的中点，PQ1 2EF 1 4BC，而 A 到 PQ 的距离是到 BC 距离的3 4，根据三角形的面积公式可知，SAPQ 3 16SABC 答案 3 16 12若 a，b 是两个不共线的非零向量，tR (1)若 a，b 的起点相同，t 为何值时，a，tb，1 3(ab)三个向量的终点
9、在一条直线上？ (2)若|a|b|且 a 与 b 的夹角为 60 ，t 为何值时，|atb|最小？ 解 (1)由题意得 atb 与 a1 3(ab)共线， 则设 atbm a1 3ab ，mR， 化简得 2 3m1 a m 3t b 因为 a 与 b 不共线， 所以 2 3m10， m 3t0， 解得 m3 2， t1 2. 所以当 t1 2时，a，tb， 1 3(ab)三个向量的终点在一条直线上 (2)因为|a|b|， 所以|atb|2(atb)2 |a|2t2|b|22t|a|b|cos 60 (1t2t)|a|2 t1 2 23 4 |a|2， 所以当 t1 2时，|atb|有最小值 3
10、 2 |a| 创新突破 13某人骑车以每小时 a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每 小时 2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向 解 设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量， 无风时此人感到风速为a， 设实际风速为 v，那么此时人感到风速为 va，设OA a，OB 2a，PO v，因 为PO OA PA ， 所以PA va，这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为PO OB PB ，所以PBv2a 于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB 由题意：PBO45 ，PABO，BAAO， 从而，POB 为等腰直角三角形，所以 POPB 2a， 即：|v| 2a 所以实际风速是每小时 2a 千米的西北风