1、微专题突破微专题突破四四 平面向量中的三角形平面向量中的三角形“四心四心”问题问题 在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在 近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，还培养了考生 分析问题、解决问题的能力现就“四心”作如下介绍： 1重心 三角形三条中线的交点叫重心， 它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为 21.在向 量表达形式中，设点 G 是ABC 所在平面内的一点，则当点 G 是ABC 的重心时，有GA GB GC 0 或PG 1 3(PA PBPC)(其中 P 为平面上任意一点) 反之， 若GA GB GC 0， 则点
2、 G 是ABC 的重心在向量的坐标表示中，若 G，A，B，C 分别是三角形的重心和三个 顶点，且坐标分别为 G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 则有 xx1x2x3 3 ，yy1y2y3 3 . 2垂心 三角形三条高线的交点叫垂心，它与顶点的连线垂直于对边在向量表达形式中，若 H 是 ABC 的垂心，则HA HB HB HC HC HA 或HA 2BC2HB2CA2HC2AB2.反之，若 HA HB HB HC HC HA ，则 H 是ABC 的垂心 向量 AB |AB |cos B AC |AC |cos C (0)所在的直线过ABC 的垂心(该向量在 BC
3、 边上的高 AD 所 在的直线上) 3内心 三角形三条内角平分线的交点叫内心内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距 离相等在向量表达形式中，若点 I 是ABC 的内心，则有|BC | IA|CA| IB|AB| IC0.反 之，若|BC | IA|CA| IB|AB| IC0，则点 I 是ABC 的内心 向量 AB |AB | AC |AC | (0)所在的直线过ABC 的内心(该向量在BAC 的平分线所在的直线 上) 4外心 三角形三条边的中垂线的交点叫外心外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶 点的距离相等 在向量表达形式中， 若点 O 是ABC 的外心， 则(OA OB
4、) BA (OB OC ) CB (OC OA ) AC 0 或|OA |OB |OC |.反之， 若|OA |OB |OC |， 则点 O 是ABC 的外心 例 1 已知ABC 内一点 O 满足关系OA 2OB 3OC 0，试求 SBOCSCOASAOB的值 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 解 如图，延长 OB 至 B1，使 BB1OB，延长 OC 至 C1，使 CC12OC，连接 AB1，AC1， B1C1. 则OB1 2OB ，OC1 3OC . 由条件，得OA OB1 OC1 0， 点 O 是AB1C1的重心 从而 1111 B OCC OAAOB SSS1
5、3S，其中 S 表示AB1C1 的面积 SCOA1 3 1 AOC S1 9S， SAOB1 2 1 AOB S1 6S， SBOC1 2 1 B OC S1 2 1 3 11 B OC S 1 18S. 于是 SBOCSCOASAOB 1 18 1 9 1 6123. 点评 本题条件OA 2OB 3OC 0 与三角形的重心性质GA GB GC 0 十分类似，因此 我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点 O 成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与 顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比 引申推广：已知ABC 内一点 O 满足关系 1OA 2OB 3OC 0，则 SBOCSCO
6、ASAOB 123. 例 2 已知点 O 是平面上一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足OP OA AB |AB | AC |AC | (0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 B 解析 AB |AB |为AB 方向上的单位向量， AC |AC |为AC 方向上的单位向量， 则 AB |AB | AC |AC |的方向为BAC 的角平分线AD 的方向 又 0，)， 所以 AB |AB | AC |AC | 的方向与 AB |AB | AC |AC |的方向相同
7、而OP OA AB |AB | AC |AC | ， 所以点 P 在AD 上移动， 所以点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心 点评 根据向量加法的平行四边形法则可知 AB |AB | AC |AC |的方向为BAC 的平分线的方向， 体现 了向量的“几何”特性以及其在解题中的应用 例3 O是ABC所在平面内的一定点， 动点P满足OP OA AB |AB |cos B AC |AC |cos C ， (0， )，则直线 AP 一定通过ABC 的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 D 解析 由OP OA AB |AB |cos B
8、 AC |AC |cos C ，得AP AB |AB |cos B AC |AC |cos C ，所以AP BC AB BC |AB |cos B AC BC |AC |cos C (|BC |BC|)0，所以AP与BC垂直，即直线 AP 一定通过ABC 的垂心，故选 D. 点评 注意到右边表达式分母部分“cos B”，“cos C”，联想到向量数量积的运算，通过两 边同时点乘同一向量，再利用数量积运算化简，从而使问题得解 例 4 已知 O 是平面内一定点， A， B， C 是平面内不共线的三点， 动点 P 满足OP OA (AB AC )，0，)，则点 P 的轨迹一定经过ABC 的( ) A外心 B垂心 C内心 D重心 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 D 解析 设AB ACAD ， 则可知四边形 BACD 是平行四边形 又OP OA AD ， 得AP AD ， 则 A，P，D 三点共线又 D 在边 BC 的中线所在的直线上，0，)，于是点 P 的轨迹 一定经过ABC 的重心，故选 D. 点评 根据向量加法的几何意义知AB 和AC的和向量AD 所在直线平分 BC，即直线 AD 为 BC 边中线所在直线，从而本题答案也就显而易见了