1、 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 23.1 平面向量基本定理平面向量基本定理 学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一 组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量 的综合问题 知识点一 平面向量基本定理 1平面向量基本定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的 任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2. 2基底：不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 知识点二 两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向
2、量 a 和 b，作OA a，OB b，则AOB(0 180 )叫做向量 a 与 b 的夹角(如图所示) 当 0 时，a 与 b 同向；当 180 时，a 与 b 反向 2垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90 ，则称 a 与 b 垂直，记作 ab. 思考 如何正确理解两向量夹角概念 答案 (1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与 任一向量垂直 (2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所 示，BAC 不是向量CA 与向量AB的夹角，BAD 才是向量CA与向量AB的夹角 1平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一
3、组基底( ) 提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底 2零向量可以作为基向量( ) 提示 由于 0 和任意向量共线，故不可作为基向量 3平面向量基本定理中基底的选取是唯一的( ) 提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底 4若 e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则 1e12e2(1，2为实数)可以表示该平面内所 有向量( ) 题型一 对基底概念的理解 例 1 设 e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) Ae1e2和 e1e2 B3e14e2和 6e18e2 Ce12e2和 2e1e2 De1和 e1e2 考点 平面向量基本定理 题点
4、 基底的判定 答案 B 解析 选项 B 中，6e18e22(3e14e2)， 6e18e2与 3e14e2共线，不能作为基底，选项 A，C，D 中两向量均不共线，可以作为 基底故选 B. 反思感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平 面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来 跟踪训练 1 若 e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是 ( ) Ae1e2，e2e1 B2e1e2，e11 2e2 C2e23e1，6e14e2 De1e2，e13e2 考点 平面向量基本定理 题点 基底的判定 答案 D 解析
5、 选项 A 中，两个向量为相反向量，即 e1e2(e2e1)，则 e1e2，e2e1为共线向 量；选项 B 中，2e1e22 e11 2e2 ，也为共线向量；选项 C 中，6e14e22(2e23e1)， 为共线向量根据不共线的向量可以作为基底，只有选项 D 符合 题型二 用基底表示向量 例 2 如图所示，在ABCD 中，E，F 分别是 BC，DC 边上的中点，若AB a，AD b，试以 a，b 为基底表示DE ，BF . 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 解 四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 分别是 BC，DC 边上的中点， AD BC 2BE，BACD 2CF ， BE
6、1 2AD 1 2b，CF 1 2BA 1 2AB 1 2a. DE DA AB BEAD AB BE ba1 2ba 1 2b， BF BCCFAD CF b1 2a. 引申探究 若本例中其他条件不变，设DE a，BF b，试以 a，b 为基底表示AB，AD . 解 取 CF 的中点 G，连接 EG. E，G 分别为 BC，CF 的中点， EG 1 2BF 1 2b， DG DE EG a1 2b. 又DG 3 4DC 3 4AB ， AB 4 3DG 4 3 a1 2b 4 3a 2 3b. 又AD BC BFFCBF1 2DC BF 1 2AB ， AD BC b1 2 4 3a 2 3
7、 b 2 3a 4 3b. 反思感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运 算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底 表示向量的唯一性求解 跟踪训练 2 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若AC AE AF ，其中 ，R，则 _. 考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 答案 4 3 解析 设AB a，AD b， 则AE 1 2ab，AF a1 2b， 又AC ab， AC 2 3(AE AF)，即 2 3， 4 3. 题型三 向量的夹角 例 3 已知
8、|a|b|2，且 a 与 b 的夹角为 60 ，设 ab 与 a 的夹角为 ，ab 与 a 的夹角是 ，求 . 考点 向量夹角的定义及夹角的范围 题点 求向量的夹角 解 如图，作OA a，OB b，且AOB60 ，以 OA，OB 为邻边作OACB， 则OC ab，BA OA OB ab，BC OA a. 因为|a|b|2，所以OAB 为正三角形， 所以OAB60 ABC， 即 ab 与 a 的夹角 60 . 因为|a|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形， 所以 OCAB，所以COA90 60 30 ， 即 ab 与 a 的夹角 30 ， 所以 90 . 反思感悟 (1)求两个向量夹角的关键
9、是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的 夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出 (2)特别地，a 与 b 的夹角为 ，1a 与 2b(1，2是非零常数)的夹角为 0，当 120 时，0. 跟踪训练 3 在ABC 中，C90 ，BC1 2AB，则AB 与BC的夹角是( ) A30 B60 C120 D150 考点 向量夹角的定义及夹角的范围 题点 求向量的夹角 答案 C 解析 如图， 作向量AD BC ，则BAD 是AB与BC的夹角，在ABC 中，因为C90 ，BC1 2AB，所 以ABC60 ，所以BAD120 . 平面向量基本定理的应用 典例 如图， 点 A，B，C 是圆 O 上三点
10、，线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点 P.若OC mOA 2mOB ，AP AB，则 _. 答案 2 3 解析 OP 与OC 共线， 存在实数 ，使OP OC mOA 2mOB . AP OP OA ， AP mOA 2mOB OA (m1)OA 2mOB AB (OB OA )OA OB . OA 与OB 不共线， m1， 2m， 解得 2 3. 素养评析 1.利用平面向量基本定理解决问题时，要抓住用基底表示向量时系数 1，2的唯 一性 2本题主要考查利用平面向量基本定理，建立方程运算求出未知向量，体现了数学运算的核 心素养 1给出下列三种说法： 一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示
11、该平面内所有向量的基底；一个平面内有 无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量 其中，说法正确的为( ) A B C D 考点 平面向量基本定理 题点 基底的含义与性质 答案 B 2.如图所示，设 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点，给出下列向量组： AD 与AB ；DA 与BC ；CA与DC ；OD 与OB . 其中可作为该平面内所有向量的基底的是( ) A B C D 考点 平面向量基本定理 题点 基底的判定 答案 B 解析 中DA 与BC 共线，中OD 与OB 共线，中两向量不共线，故选 B. 3 已知向量 e1， e2不共线， 实数 x，
12、 y 满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2， 则 x_， y_. 考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 答案 15 12 解析 向量 e1，e2不共线， 2x3y6， 3x4y3， 解得 x15， y12. 4 设 D， E 分别是ABC 的边 AB， BC 上的点， AD1 2AB， BE 2 3BC， 若DE 1AB 2AC ( 1， 2为实数)，则 12的值为_ 考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 答案 1 2 解析 DE DB BE 1 2AB 2 3BC 1 2AB 2 3(AC AB) 1 6AB 2 3AC ， 又
13、AB 与AC不共线， 11 6，2 2 3，12 1 6 2 3 1 2. 5在ABC 中，点 D，E，F 依次是边 AB 的四等分点，试以CB e 1，CA e 2为基底表示CF . 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 解 AB CBCAe 1e2， 因为 D，E，F 依次是边 AB 的四等分点， 所以AF 3 4AB 3 4(e1e2)， 所以CF CAAFe 23 4(e1e2) 3 4e1 1 4e2. 1对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量基底的选择是不唯一的平面内两向 量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件 (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底 2准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分 解成两个向量和的形式，且分解是唯一的 (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择 适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决