1、11.2 弧度制弧度制 学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度 制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式 和面积公式 知识点一 角度制与弧度制 角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等于周角的 1 360 弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作 弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制 思考 半径为 2 的圆中 1 弧度的角比半径为 1 的圆中 1 弧度的角大，这句话正确吗？ 答案 错误“1 弧度的角”的大小与所在圆的半径大小无
2、关，其大小是一个定值 知识点二 角度制与弧度制的换算 1角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360 2 rad 2 rad360 180 rad rad180 1 180 rad0.017 45 rad 1 rad 180 57.30 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0 1 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0 180 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 知识点三 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 R，弧长为 l， 为其圆心角，则： (单位：弧度) 扇形的弧长 lR 180 lR 扇形的面积 SR 2 360 S
3、1 2lR 1 2R 2 11 rad 的角和 1 的角大小相等( ) 提示 1 rad 的角和 1 的角大小不相等，1 180 rad. 2用弧度来表示的角都是正角( ) 提示 弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数 3“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关( ) 提示 “1 弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半 径大小无关 4半径为 1 的圆弧中，60 角所对的圆弧长为 60 .( ) 提示 使用扇形弧长公式 lR 时应将角 化为弧度，60 等于 3，所以 60 角所对弧长为 3. 题型一 角度与弧度的互化 例 1 将下列角度与弧度进行互化 (1)
4、20 ；(2)15 ；(3)7 12；(4) 11 5 . 考点 弧度制 题点 角度与弧度的互化 解 (1)20 20 180 9. (2)15 15 180 12. (3)7 12 7 12180 105 . (4)11 5 11 5 180 396 . 反思感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 rad180 即可 求解把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以 180 即可 跟踪训练 1 下列转化结果错误的是( ) A67 30化成弧度是3 8 B10 3 化成角度是600 C150 化成弧度是7 6 D. 12化成角度是 15 考点 弧度制 题点 弧度制、角度制互化
5、答案 C 解析 对于 A，67 3067.5 180 3 8 ，正确； 对于 B，10 3 10 3 180 600 ，正确； 对于 C，150 150 180 5 6 ，错误； 对于 D， 12 12 180 15 ，正确 题型二 用弧度制表示终边相同的角 例 2 把下列各角化成 2k(02，kZ)的形式，并指出是第几象限角 (1)1 500 ；(2)23 6 ；(3)4. 考点 弧度制 题点 弧度制与角度制互化 解 (1)1 500 1 800 300 5360 300 . 1 500 可化成105 3 ，是第四象限角 (2)23 6 211 6 ， 23 6 与11 6 终边相同，是第四
6、象限角 (3)42(24)， 224. 4 与 24 终边相同，是第二象限角 反思感悟 用弧度制表示终边相同的角 2k(kZ)时，其中 2k 是 的偶数倍，而不是整 数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用 跟踪训练 2 如图所示： (1)用弧度制分别写出终边落在 OA，OB 位置上的角的集合； (2)用弧度制写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合 考点 弧度制 题点 终边相同的角 解 (1)终边在 OA 上的角的集合为 3 4 2k，kZ. 终边在 OB 上的角的集合为 62k，kZ . (2) 62k 3 4 2k，kZ. 题型三 扇形的弧长及面积公式的应用 例 3 (1)若扇形的中心角为
7、 120 ，半径为 3，则此扇形的面积为( ) A B.5 4 C. 3 3 D.2 3 9 (2)如果 2 弧度的圆心角所对的弦长为 4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A2 B. 2 sin 1 C2sin 1 D. 4 sin 1 考点 扇形的弧长与面积公式 题点 扇形的弧长公式；扇形面积公式 答案 (1)A (2)D 解析 (1)扇形的中心角为 120 2 3 ，半径为 3， 所以 S扇形1 2|r 21 2 2 3 ( 3)2. (2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角 形，圆心角为 2，半弦长为 2，故半径长为 2 sin 1.这个圆心
8、角所对的弧长为 2 2 sin 1 4 sin 1. 反思感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是 S1 2lr 1 2|r 2，二是 l|r，如果 已知其中两个，就可以求出另一个求解时应注意先把角度制化为弧度制，再计算 跟踪训练 3 扇形周长为 6 cm，面积为 2 cm2，则其圆心角的弧度数是( ) A1 或 5 B1 或 2 C2 或 4 D1 或 4 考点 扇形的弧长与面积公式 题点 扇形的弧长公式；扇形面积公式 答案 D 解析 设扇形的半径为 r cm，圆心角为 (02)， 则 2rr6， 1 2r 22， 解得 r1， 4 或 r2， 1. 扇形面积计算 典例 九章算术是我国
9、古代数学的杰出代表作其中方田章给出计算弧田面积所用 的经验公式为： 弧田面积1 2(弦矢矢 2) 弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成， 公式中“弦” 指圆弧所对的弦长， “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差 现有圆心角为2 3 ， 半径为 4 m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( ) A6 m2 B9 m2 C12 m2 D15 m2 考点 扇形的弧长与面积公式 题点 扇形面积公式 答案 B 解析 根据题设，弦24sin 34 3(m)， 矢44cos 32(m)， 故弧田面积1 2(弦矢矢 2)1 2(4 322 2)4 329(m2) 素养评析 本例以古代数学为典例，体现了通过
10、对实际问题进行分析，抽象出具体的数学 模型，建立相应公式解决问题的思想和方法，这就是数学核心素养数学抽象的具体体现 1下列说法正确的是( ) A1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B大圆中 1 弧度的圆心角比小圆中 1 弧度的圆心角大 C所有圆心角为 1 弧度的角所对的弧长都相等 D用弧度表示的角都是正角 考点 弧度制 题点 弧度制定义 答案 A 解析 对于 A，根据弧度的定义知，“1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故 A 正确； 对于 B，大圆中 1 弧度的圆心角与小圆中 1 弧度的圆心角相等，故 B 错误；对于 C，不在同 圆或等圆中，1 弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故 C 错误；
11、对于 D，用弧度表示的角也 可以不是正角，故 D 错误 2下列表述中不正确的是( ) A终边在 x 轴上的角的集合是|k，kZ B终边在 y 轴上的角的集合是 2k，kZ C终边在坐标轴上的角的集合是 k 2，kZ D终边在直线 yx 上的角的集合是 42k，kZ 考点 弧度制 题点 弧度制、角度制互化，用弧度制表示角 答案 D 解析 终边在直线 yx 上的角的集合是 4k，kZ . 3若 5，则角 的终边在( ) A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限 考点 弧度制的应用 题点 弧度制的应用 答案 D 解析 25 与5 的终边相同， 25 0， 2 ， 25 是第一象限角，则5 也是
12、第一象限角 4已知半径为 1 的扇形面积为3 8 ，则扇形的圆心角为( ) A.3 16 B. 3 8 C.3 4 D.3 2 考点 弧度制 题点 扇形的面积公式 答案 C 解析 由 S1 2|r 2得3 8 1 21 2，所以 3 4 . 5已知扇形 AOB 的圆心角 为2 3 ，半径长 R 为 6，求： (1)弧 AB 的长； (2)扇形所含弓形的面积 考点 弧度制 题点 扇形的弧长公式、弧度制应用 解 (1)l R2 364， 所以弧 AB 的长为 4. (2)S扇形OAB1 2lR 1 24612. 如图所示，过点 O 作 ODAB，交 AB 于点 D，2 3120 ， 所以AOD60
13、 ，DAO30 ， 于是有 SOAB1 2ABOD 1 226cos 30 39 3. 所以弓形的面积为 S扇形OABSOAB129 3. 所以弓形的面积是 129 3. 1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系：每一 个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的 一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应 2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式即： 角度数 180 rad弧度数，弧度数 180 角度数 3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位 取弧度