1、 3.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒 等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用 知识点一 半角公式 sin 2 1cos 2 ， cos 2 1cos 2 ， tan 2 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin . 思考 半角公式对任意角都适用吗？ 答案 不是，要使得式子有意义的角才适用 知识点二 辅助角公式 辅助角公式： asin xbcos x a2b2sin(x). 其中
2、tan b a 1若 k，kZ，则 tan 2 sin 1cos 1cos sin 恒成立( ) 2辅助角公式 asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 所在的象限由 a，b 的符号决定， 与点(a，b)同象限( ) 3sin x 3cos x2sin x 6 .( ) 提示 sin x 3cos x2 1 2sin x 3 2 cos x 2sin x 3 . 题型一 应用半角公式求值 例 1 已知 sin 4 5， 5 2 3，求 cos 2和 tan 2. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 sin 4 5，且 5 2 3，cos 1sin2
3、3 5. 5 4 2 3 2 ，cos 2 1cos 2 5 5 . tan 2 sin 1cos 2. 反思感悟 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公 式求解 (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半 角的范围 (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 tan 2 sin 1cos 1cos sin ，其优点是计算时可 避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用 sin2 2 1cos 2 ，cos2 2 1cos 2 计算 (4)下结论：结合(2
4、)求值 跟踪训练 1 已知 cos 3 3 ， 为第四象限角，则 tan 2的值为_ 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 2 6 2 解析 方法一 用tan 2 1cos 1cos 来处理 因为 为第四象限角，所以 2是第二或第四象限角所以 tan 20. 所以 tan 2 1cos 1cos 1 3 3 1 3 3 2 31 2 84 3 1 2 6 22 2 6 2 . 方法二 用tan 2 1cos sin 来处理 因为 为第四象限角，所以 sin 0. 所以 sin 1cos211 3 6 3 . 所以 tan 2 1cos sin 1 3 3 6
5、3 2 6 2 . 方法三 用tan 2 sin 1cos 来处理 因为 为第四象限角，所以 sin 0. 所以 sin 1cos211 3 6 3 . 所以 tan 2 sin 1cos 6 3 1 3 3 6 3 3 2 6 2 . 题型二 三角函数式的化简 例 2 化简： 2cos21 2tan 4 sin 2 4 . 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 2cos21 2tan 4 sin 2 4 cos 2 2cos 4 sin 4 sin2 4 cos 2 sin 22 cos 2 cos 21. 反思感悟 三角函数式化简的要求、思路和方法 (1)化
6、简的要求： 能求出值的应求出值 尽量使三角函数种数最少 尽量使项数最少 尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数 (2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是 分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用另外，还可以用切化 弦、变量代换、角度归一等方法 跟踪训练 2 化简： 1sin cos sin 2cos 2 22cos (0) 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 原式 2sin2 22sin 2cos 2 sin 2cos 2 22sin2 2 2sin 2 sin 2cos 2 sin 2
7、cos 2 2 sin 2 sin 2 sin2 2cos 2 2 sin 2 sin 2cos sin 2 . 因为0，所以 2 20， 所以 sin 20，cos 2 1cos 2 6 3 . 2已知 sin 3 5，3 7 2，则 tan 2的值为( ) A3 B3 C.1 3 D 1 3 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B 解析 37 2 ，sin 3 5， cos 4 5，tan 2 sin 1cos 3. 3已知 2sin 1cos ，则 tan 2等于( ) A.1 2 B.1 2或不存在 C2 D2 或不存在 考点 利用简单的三角恒等变换
8、化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B 解析 2sin 1cos ，即 4sin 2cos 22cos 2 2， 当 cos 20 时，tan 2不存在， 当 cos 20 时，tan 2 1 2. 4化简 2sin 2 1cos 2 cos2 cos 2的结果为( ) Atan Btan 2 C1 D2 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B 解析 原式2sin 2 2cos2 cos2 cos 2tan 2. 5使函数 f(x)sin(2x) 3cos(2x)为奇函数的 的一个值是( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 2 3 考点 利用简单
9、的三角恒等变换化简求值 题点 利用辅助角公式化简求值 答案 D 解析 f(x)sin(2x) 3cos(2x) 2sin 2x 3 . 当 2 3 时，f(x)2sin(2x)2sin 2x 是奇函数 6已知在ABC 中，sin A cos2C 2sin C cos 2A 2 3 2sin B，求证：sin Asin C2sin B. 考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 由 sin A cos2C 2sin C cos 2A 2 3 2sin B， 得 sin A 1cos C 2 sin C 1cos A 2 3 2sin B， 即 sin Asin Csin A cos
10、Csin C cos A3sin B， sin Asin Csin(AC)3sin B， sin Asin Csin(B)3sin B， 即 sin Asin Csin B3sin B， sin Asin C2sin B. 1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助 前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式 2辅助角公式 asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 满足： 与点(a，b)同象限； tan b a 或sin b a2b2，cos a a2b2 . 3研究形如 f(x)asin xbcos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函 数或余弦函数的形式因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高 考常考的考点之一对一些特殊的系数 a，b 应熟练掌握， 例如 sin x cos x 2sin x 4 ； sin x 3cos x2sin x 3 等