1、微专题突破微专题突破三三 平面向量线性运算中的几类重要题型平面向量线性运算中的几类重要题型 平面向量既具有数量特征，又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角 去分析、解决问题，有益于培养创新能力下面就以几道题为例进行说明 一、向量式的化简 例 1 化简下列各式： (1)(2AB CD )(AC 2BD )； (2) 1 243(2a8b)6(4a2b) 解 (1)(2AB CD )(AC 2BD ) 2AB CD AC 2BD 2AB DC CA 2BD 2(AB BD )(DC CA )2AD DA AD . (2) 1 243(2a8b)6(4a2b) 1 24(6a24b
2、24a12b) 1 24(18a36b) 3 4a 3 2b. 点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形 法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接则相加”或“起点相同则相 减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法 则、减法法则的逆向应用数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量 a，b，c 等看 成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的 “同类项”与“公因式”指的是向量 二、用已知向量表示所求向量 例 2 如图所示，在ABC 中，AD 2 3AB ，DEBC
3、 交 AC 于 E，BC 边上的中线 AM 交 DE 于点 N，设AB a，ACb，用向量 a，b 表示AE，BC，DE ，DN ，AM . 解 因为 DEBC，AD 2 3AB ， 所以AE 2 3AC 2 3b，BC ACABba， 由ADEABC，得DE 2 3BC 2 3(ba)， 又 M 是ABC 底边 BC 的中点，DEBC， 所以DN 1 2DE 1 3(ba)， AM AB BM a1 2BC a1 2(ba) 1 2(ab) 点评 用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利 用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似
4、三角形对应 边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量 三、证明三点共线 例 3 (1)已知OB OA OC ，其中 1.求证：A，B，C 三点共线 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 证明 如图， 由 1 得 1，则OB OA OC (1)OA OC .OB OA (OC OA )， AB AC， 又AB ，AC有公共点 A， A，B，C 三点共线 点评 1.此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点 O 具有灵活性； 2 反之也成立(证明略)： 若 A， B， C 三点共线， 则存在唯一实数对 ， ， 满足OB OA OC ， 且 1.揭示了三点共线的又一个性
5、质； 3特别地，当 1 2时，OB 1 2(OA OC )，点 B 为 AC 的中点，揭示了OAC 中线 OB 的 一个向量公式，应用广泛 (2)如图，平行四边形 ABCD 中，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且 BN1 3BD.利用向量 法证明：M，N，C 三点共线 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 证明 由已知BD BA BC，又点 N 在 BD 上，且 BN1 3BD， 得BN 1 3BD 1 3(BA BC)1 3BA 1 3BC . 又点 M 是 AB 的中点， BM 1 2BA ，即BA2BM .BN 2 3BM 1 3BC . 而2 3 1 31.M，
6、N，C 三点共线 点评 选择点 B，只需证明BN BM BC ，且 1. 四、求参数值 例 4 (1)在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD 2DB ，CD 1 3CA CB，则 的值为 _ 考点 平面向量基本定理 题点 平面向量基本定理求参数 答案 2 3 解析 方法一 由AD 2DB ，得CD CA 2(CBCD )， 即CD 1 3CA 2 3CB ，所以 2 3. 方法二 因为CD CA AD CA 2 3AB CA 2 3(CB CA)1 3CA 2 3CB ，所以 2 3. 方法三 由 D 是 AB 边上一点知，A，B，D 三点共线，又CD 1 3CA CB， 所以1
7、31，因此 2 3. 点评 解答本题的方法一、方法二利用了向量加减法的运算法则以及数乘向量的运算法则， 而方法三则是运用了三点共线的性质 (2)如图， 过OAB 的重心 M 的直线与 OA， OB 分别相交于点 C， D， 设OC hOA ， OD kOB ， 则1 h 1 k_. 考点 平面向量基本定理 题点 平面向量基本定理求参数 答案 3 解析 连接 OM(图略)，因为 M 是OAB 的重心， 所以OM 1 3(OA OB ) 1 3 1 hOC 1 kOD 1 3hOC 1 3kOD ， 因为 C，D，M 三点共线，所以 1 3h 1 3k1， 所以1 h 1 k3. 点评 本题关键是抓住 C，D，M 三点共线，通过向量运算将OM 用OC ，OD 表示，则OC ，OD 前的系数和为 1.