1、31.3 二倍角的正弦二倍角的正弦、余弦余弦、正切公式正切公式 学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用 知识点一 二倍角公式 sin 22sin cos ； cos 2cos2sin22cos2112sin2； tan 2 2tan 1tan2 2k，2 2k，kZ . 知识点二 二倍角公式的变形 1公式的逆用 2sin cos sin 2，sin cos 1 2sin 2， cos2sin2cos 2， 2tan 1tan2tan 2. 2二倍角公式的重要变形升幂公式和降幂公式
2、升幂公式 1cos 22cos2，1cos 22sin2， 1cos 2cos2 2,1cos 2sin 2 2 . 降幂公式 cos21cos 2 2 ，sin21cos 2 2 . 1sin 2sin 2cos 2.( ) 2cos 4cos22sin22.( ) 3对任意角 ，tan 2 2tan 1tan2.( ) 提示 公式中所含各角应使三角函数有意义如当 4及 2时，上式均无意义 4cos21cos 2 2 .( ) 题型一 给角求值 例 1 (1)计算：cos2 12sin 2 12； 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 解 原式cos 6 3 2
3、. (2)计算：1tan 275 tan 75 ； 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正切的二倍角公式化简求值 解 1tan275 tan 75 2 1tan275 2tan 752 1 tan 150 2 3. (3)计算：cos 20 cos 40 cos 80 . 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 解 原式 1 2sin 20 2sin 20 cos 20 cos 40 cos 80 1 2sin 20 sin 40 cos 40 cos 80 1 22sin 20 sin 80 cos 80 1 23sin 20 sin 160 sin 20 23
4、sin 20 1 8. 反思感悟 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转 化，一般可以化为特殊角 (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘， 则一般逆用二倍角的正弦公式， 在求解过程中， 需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的 形式 跟踪训练 1 (1)cos 7cos 3 7 cos 5 7 的值为( ) A.1 4 B 1 4 C. 1 8 D 1 8 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 D 解析 cos 7cos 3 7 cos 5
5、7 cos 7 cos 4 7 cos 2 7 2sin 7cos 7cos 2 7 cos 4 7 2sin 7 sin 2 7 cos 2 7 cos 4 7 2sin 7 sin 4 7 cos 4 7 4sin 7 sin 8 7 8sin 7 1 8. (2)1 2cos 2 8 ； 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 答案 2 4 解析 原式1 2 12cos2 8 1 2cos 4 2 4 . 题型二 条件求值 例 2 (1)若 sin cos 1 3，则 sin 2 . 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 8 9
6、解析 (sin cos )2sin2cos22sin cos 1sin 2 1 3 2， 即 sin 21 1 3 28 9. (2)若 tan 3 4，则 cos 22sin 2 等于( ) A.64 25 B. 48 25 C1 D. 16 25 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 A 解析 cos22sin 2cos 24sin cos cos2sin2 14tan 1tan2 . 把 tan 3 4代入，得 cos22sin 2 143 4 1 3 4 2 4 25 16 64 25. 引申探究 在本例(1)中，若改为 sin cos 1 3，求 si
7、n 2. 解 由题意，得(sin cos )21 9， 12sin cos 1 9，即 1sin 2 1 9， sin 28 9. 反思感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径 对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；对结论变形，将 结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论 (2)一个重要结论：(sin cos )21 sin 2. 跟踪训练 2 (1)若 sin()1 3，且 2，则 sin 2 的值为( ) A4 2 9 B2 2 9 C.2 2 9 D.4 2 9 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值
8、 答案 A 解析 因为 sin()1 3，所以 sin 1 3， 又因为 2， 所以 cos 1sin22 2 3 ， 所以 sin 22sin cos 21 3 2 2 3 4 2 9 . (2)已知 为第三象限角，cos 3 5，则 tan 2 . 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角正切值 答案 24 7 解析 因为 为第三象限角，cos 3 5， 所以 sin 1cos24 5， tan 4 3，tan 2 2tan 1tan2 24 3 1 4 3 2 24 7 . 利用二倍角公式化简证明 典例 (1)化简：1sin 2cos 2 1sin 2cos 2.
9、 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简证明三角函数式 解 方法一 原式1cos 2sin 2 1cos 2sin 2 2sin 22sin cos 2cos22sin cos 2sin sin cos 2cos cos sin tan . 方法二 原式sin cos 2cos2sin2 sin cos 2cos2sin2 sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2sin 2cos tan . (2)求证：4sin cos 1cos 2 cos2 cos2sin2tan 2. 考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明
10、 证明 左边2sin 2 2cos2 cos2 cos 2tan 2右边 素养评析 (1)三角函数式化简、证明的常用技巧 特殊角的三角函数与特殊值的互化 对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分 对于二次根式，注意二倍角公式的逆用 利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等 利用“1”的恒等变形，如 tan 45 1，sin2cos21 等 (2)通过本例掌握推理的基本形式和规则，学会有逻辑地思考问题，形成重论据、有条理、合 乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养. 1(2017 山东)已知 cos x3 4，则 cos 2x 等于( ) A1 4 B.
11、 1 4 C 1 8 D. 1 8 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角的余弦值 答案 D 解析 cos 2x2cos2x12 3 4 211 8. 故选 D. 2.1tan 215 2tan 15等于( ) A. 3 B. 3 3 C1 D1 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角正切值 答案 A 解析 原式 1 2tan 15 1tan215 1 tan 30 3. 3sin4 12cos 4 12等于( ) A1 2 B 3 2 C.1 2 D. 3 2 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 答案 B 解析 原式 si
12、n2 12cos 2 12 sin2 12cos 2 12 cos2 12sin 2 12 cos 6 3 2 . 4cos275 cos215 cos 75 cos 15 等于( ) A. 6 2 B.3 2 C. 5 4 D1 3 4 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦二倍角公式化简求值 答案 C 解析 原式sin215 cos215 sin 15 cos 15 11 2sin 30 1 1 4 5 4. 5求证：cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B. 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦二倍角公式化简证明 证明 左边1cos2A2B 2 1cos2A
13、2B 2 cos2A2Bcos2A2B 2 1 2(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B) cos 2Acos 2B右边，所以等式成立 1对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8 是 4 的二倍；6 是 3 的二倍；4 是 2 的二倍；3 是3 2 的二倍； 2是 4的二倍； 3是 6的 二倍； 2n是 2n 1的二倍(nN*) 2二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛常用形式： (1)1cos 22cos2.(2)cos21cos 2 2 . (3)1cos 22sin2.(4)sin21cos 2 2 .