1、31.2 两角和与差的正弦两角和与差的正弦、余弦余弦、正切公式正切公式(二二) 学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两 角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能 灵活应用 知识点一 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切 T() tan() tan tan 1tan tan ， 均不等于 k 2(kZ) 两角差的正切 T() tan() tan tan 1tan tan ， 均不等于 k 2(kZ) 知识点二 两角和与差的正切公式的变形 1T()的变形： tan tan ta
2、n()(1tan tan ) tan tan tan tan tan()tan() tan tan 1tan tan tan . 2T()的变形： tan tan tan()(1tan tan ) tan tan tan tan tan()tan() tan tan tan tan tan 1. 1对于任意角 ，总有 tan() tan tan 1tan tan .( ) 提示 公式成立需 ，k 2，kZ. 2使公式 tan( ) tan tan 1tan tan 有意义，只需 ，k 2(kZ)即可( ) 提示 还应使 k 2，kZ. 3 若 ， ， k 2， kZ， 则 tan()tan t
3、an tan tan tan()恒成立 ( ) 4k 4，且 k 2，kZ 时，tan 4 1tan 1tan .( ) 题型一 正切公式的正用 例 1 (1)若 tan 4 1 6，则 tan . 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 7 5 解析 方法一 tan 4 tan tan 4 1tan tan 4 tan 1 1tan 1 6. 6tan 61tan (tan 1)， tan 7 5. 方法二 tan tan 4 4 tan 4 tan 4 1tan 4 tan 4 1 61 11 6 7 5. (2)设 tan ，tan 是方程 x23x20 的
4、根，则 tan()的值为( ) A3 B1 C1 D3 考点 两角和与差的正切公式 题点 两角和与差的正切公式的综合应用 答案 A 解析 由题意知 tan tan 3，tan tan 2， 所以 tan() tan tan 1tan tan 3 123. 反思感悟 (1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式， 特别是 T 中的符号规律是“分子相同、分母相反” (2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助 角的变换技巧 跟踪训练 1 已知 tan 2，tan()1 7，则 tan 的值为 考点 两角和与差的正切公式 题点 利
5、用两角和与差的正切公式求值 答案 3 解析 tan tan() tantan 1tantan 1 72 11 72 3. 题型二 正切公式的逆用与变形使用 例 2 (1)1tan 15 1tan 15 . 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 答案 3 解析 原式 tan 45 tan 15 1tan 45 tan 15 tan(45 15 ) tan 60 3. (2)化简：tan 23 tan 37 3tan 23 tan 37 . 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 解 方法一 tan 23 tan 37 3tan 23 tan 37
6、 tan(23 37 )(1tan 23 tan 37 ) 3tan 23 tan 37 tan 60 (1tan 23 tan 37 ) 3tan 23 tan 37 3. 方法二 tan(23 37 ) tan 23 tan 37 1tan 23 tan 37 ， 3 tan 23 tan 37 1tan 23 tan 37 ， 3 3tan 23 tan 37 tan 23 tan 37 ， tan 23 tan 37 3tan 23 tan 37 3. 反思感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式 tan tan tan( )(1tan tan )或1tan tan tan tan t
7、an .当 为特殊角时，常考 虑使用变形形式，遇到 1 与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式.合理选用公式解题能 起到快速、简捷的效果 跟踪训练 2 若 A，B 是ABC 的内角，并且(1tan A) (1tan B)2，则 AB 等于( ) A. 4 B. 3 4 C.5 4 D.2 3 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求角 答案 A 解析 由(1tan A)(1tan B)2， 得 1tan Atan Btan Atan B2. 所以 tan Atan B1tan Atan B. 由 tan(AB) tan Atan B 1tan Atan B 1tan Ata
8、n B 1tan Atan B1， 得 AB 4. 和、差角公式的综合应用 典例 已知 tan 2 1 2，tan 2 1 3，则 tan 2 . 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 1 7 素养评析 借助和、差角公式，将要求代数式与已知条件建立联系，需要具备较好的运算 能力，这正是数学核心素养数学运算的具体体现. 1若 tan 3，tan 4 3，则 tan()等于( ) A.1 3 B 1 3 C3 D3 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 A 解析 tan() tan tan 1tan tan 34 3 134 3 1
9、3. 2(2018 全国)已知 tan 5 4 1 5，则 tan . 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 3 2 解析 tan 5 4 tan 4 tan 1 1tan 1 5， 解得 tan 3 2. 3计算： 3tan 15 1 3tan 15 . 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 答案 1 解析 3tan 15 1 3tan 15 tan 60 tan 15 1tan 60 tan 15 tan 45 1. 4 已知 tan ， tan 是方程 x23 3x40 的两根， 且 ， 2， 2 ， 则 . 考点 两角和与差的正
10、切公式 题点 综合应用两角和与差的正切公式求角 答案 2 3 解析 因为 tan ，tan 是方程 x23 3x40 的两根， 所以 tan tan 3 30. 所以 tan 0，tan 0，所以 ， 2，0 . 所以0， tan() tan tan 1tan tan 3 3 14 3 3 3 3. 所以 2 3 . 5已知 cos 5 5 ，cos 3 5，其中 ， 都是锐角求： (1)sin()的值； (2)tan()的值 考点 和、差角公式的综合应用 题点 综合运用和、差角公式化简求值 解 (1)因为 ， 都是锐角，所以 sin 1cos22 5 5 ，sin 1cos24 5， 所以
11、sin()sin cos cos sin 2 5 5 3 5 5 5 4 5 2 5 25 . (2)tan sin cos 2，tan sin cos 4 3， 所以 tan() tan tan 1tan tan 2. 1公式 T( )的结构特征和符号规律 (1)公式 T( )的右侧为分式形式，其中分子为 tan 与 tan 的和或差，分母为 1 与 tan tan 的差或和 (2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反” 2应用公式 T( )时要注意的问题 (1)公式的适用范围 由正切函数的定义可知，(或 )的终边不能落在 y 轴上，即不为 k 2(kZ) (2)公式的逆用 一方面要熟记公式的结构， 另一方面要注意常值代换如 tan 41， tan 6 3 3 ， tan 3 3等 特别要注意 tan 4 1tan 1tan ，tan 4 1tan 1tan . (3)公式的变形应用 只要用到 tan tan ，tan tan 时，有灵活应用公式 T( )的意识，就不难想到解题思路 特别提醒：tan tan ，tan tan 容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型