1、24.2 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示、模模、夹角夹角 学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量 数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据 向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直 知识点一 平面向量数量积的坐标表示 设非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 . 数量积 a bx1x2y1y2 向量垂直 abx1x2y1y20 知识点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式 向量 模长 a(x，y) |a| x2y2 以 A(x1，y1)，B(x2，y2)
2、为端点的向量AB |AB | x 2x1 2y 2y1 2 知识点三 平面向量夹角的坐标表示 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21 x22y22. 思考 若两个非零向量的夹角满足 cos 0，则两向量的夹角 一定是钝角吗？ 答案 不一定，当 cos 0，则两向量的夹角 一定是锐角( ) 提示 当两向量同向共线时，cos 10，但夹角 0，不是锐角 3 两个非零向量 a(x1， y1)， b(x2， y2)， 满足 x1y2x2y10， 则向量 a 与 b 的夹角为 0 .( ) 题型一 数量积的坐标运算 例 1 (1)已知 a(2，1)，b(1，1)，则(a2b) (a3
3、b)等于( ) A10 B10 C3 D3 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 B 解析 a2b(4，3)，a3b(1,2)，所以(a2b) (a3b)4(1)(3)210. (2)如图所示，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC2，点 E 在边 CD 上，且DE 2EC ，则AE BE 的值是_ 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 32 9 解析 以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴、 AD 所在直线为 y 轴建立如图所示平面直角坐标系 AB 2，BC2， A(0,0)，B( 2，0)，C( 2，2)，D(0,2
4、)， 点 E 在边 CD 上，且DE 2EC ， E 2 2 3 ，2 .AE 2 2 3 ，2 ，BE 2 3 ，2 ， AE BE4 94 32 9 . 反思感悟 数量积坐标运算的技巧 (1)进行数量积运算时，要正确使用公式 a bx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系： |a|2a a. (ab) (ab)|a|2|b|2. (ab)2|a|22a b|b|2. (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的 坐标，再求数量积 跟踪训练 1 向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2ab) a 等于( ) A1 B0 C1 D2 考点 平面向量数量
5、积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 C 解析 因为 a(1，1)，b(1,2)，所以 2ab2(1，1)(1,2)(1,0)，则(2ab) a (1,0) (1，1)1，故选 C. 题型二 平面向量的模 例 2 已知平面向量 a(3,5)，b(2,1) (1)求 a2b 及其模的大小； (2)若 ca(a b)b，求|c|. 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 解 (1)a(3,5)，b(2,1)， a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)， |a2b|7232 58. (2)a b651， cab(1,6)， |c|1262 37. 反
6、思感悟 求向量 a(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式 a2|a|2x2y2，求 模时，勿忘记开方 (2)a aa2|a|2或|a| a2 x2y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量 运算的相互转化 跟踪训练 2 已知向量 a(2,1)，a b10，|ab|5 2，则|b|等于( ) A. 5 B. 10 C5 D25 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 C 解析 a(2,1)，a25， 又|ab|5 2，(ab)250， 即 a22a bb250， 5210b250，b225，|b|5.
7、 题型三 平面向量的夹角与垂直问题 命题角度 1 向量的夹角 例 3 已知点 A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，O(0,0)，若|OA OC | 13，(0，)，则OB ， OC 的夹角为( ) A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 D 解析 因为|OA OC |2(OA OC )2OA 22OA OC OC 296cos 113， 所以 cos 1 2， 因为 (0，)，所以 3，所以 C 1 2， 3 2 ， 所以 cosOB ，OC OB OC |OB |OC | 3 3 2 31 3 2 ，
8、 因为 0OB ，OC ，所以OB ，OC 6， 所以OB ，OC 的夹角为 6，故选 D. 反思感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积 (2)利用|a| x2y2求两向量的模 (3)代入夹角公式求 cos ，并根据 的范围确定 的值 跟踪训练 3 已知 a(1，1)，b(，1)，若 a 与 b 的夹角 为钝角，求 的取值范围 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 解 a(1，1)，b(，1)， |a| 2，|b|12，a b1. 又a，b 的夹角 为钝角， 10， 2 121， 即 1， 2210. 0)，
9、 AB2， 点 B 的坐标是(2,0)， AB (2,0)，BC(x2，y) AB BC1， 2(x2)1，解得 x5 2. 又 SABC3 2， 1 2 |AB| y 3 2，y 3 2， C 点坐标为 5 2， 3 2 ，则AC 5 2， 3 2 ， |AC | 5 2 2 3 2 2 34 2 ， 故边 AC 的长为 34 2 . 素养评析 本题通过建立直角坐标系，从而建立形与数的联系利用平面向量的坐标解决 线段的长度问题，提升了学生数形结合的能力，培养了学生数学运算及直观想象的数学核心 素养 1已知 a(3,4)，b(5,12)，则 a 与 b 夹角的余弦值为( ) A.63 65 B
10、. 65 C. 13 5 D. 13 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 A 解析 |a|32425，|b|5212213. a b3541263. 设 a，b 夹角为 ，所以 cos 63 513 63 65. 2若向量 a(x,2)，b(1,3)，a b3，则 x 等于( ) A3 B3 C.5 3 D 5 3 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 已知数量积求参数 答案 A 解析 a bx63，故 x3. 3已知向量 m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则 等于( ) A4 B3 C2 D1 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用
11、 题点 已知向量垂直求参数 答案 B 解析 因为 mn(23,3)，mn(1，1)， 由(mn)(mn)，可得(mn) (mn)(23,3) (1，1)260，解得 3. 4若平面向量 a(1，2)与 b 的夹角是 180 ，且|b|3 5，则 b 等于( ) A(3,6) B(3，6) C(6，3) D(6,3) 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用 答案 A 解析 由题意设 ba(，2)(0)， 则|b|222 5|3 5， 又 0，3，故 b(3,6) 5已知三个点 A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)求证：ABAD. 证明 A(2,1)，
12、B(3,2)，D(1,4)， AB (1,1)，AD (3,3) 又AB AD 1(3)130， AB AD ，即 ABAD. 6已知 a(4,3)，b(1,2) (1)求 a 与 b 的夹角的余弦值； (2)若(ab)(2ab)，求实数 的值 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 解 (1)a b4(1)322， |a| 42325，|b| 1222 5， cosa，b a b |a|b| 2 5 5 2 5 25 . (2)ab(4，32)，2ab(7,8)， (ab)(2ab)， (ab) (2ab)7(4)8(32)0， 52 9 . 1平面向量数量积的定
13、义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径准确地把握 这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程同时，平面向量数量积 的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有 力工具 2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不 断地提高利用向量工具解决数学问题的能力 3注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆若两非零 向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10，abx1x2y1y20. 4 事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时， 向量夹角问题却隐藏了许多 陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”而忽视“两向量夹角”的范围，稍 不注意就会带来失误与错误.