1、 2.5 平面向量应用举例平面向量应用举例 25.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 学习目标 1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程. 2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力 知识点一 几何性质及几何与向量的关系 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b 的夹角为 . 用向量解决常见平面几何问题的技巧 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、 点共 线等问题 共线向量定理 ababx1y2x2y10， 其中 a(x1， y1)，b(x2，y2)，b0 垂直问题 数量积的运算 性质 aba b0 x1x2
2、y1y20，其中 a (x1，y1)，b(x2，y2)，且 a，b 为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos a b |a|b|( 为向量 a，b 的夹角)，其中 a，b 为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a| a2 x2y2，其中 a(x，y)，a 为 非零向量 知识点二 向量方法解决平面几何问题的步骤 1建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 向量问题 2通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题 3把运算结果“翻译”成几何关系 1若ABC 为直角三角形，则有AB BC0.( ) 2若向量AB CD ，则 ABCD.( ) 3在四
3、边形 ABCD 中，若AB CD 0，AC BD 0，则四边形为菱形( ) 题型一 利用向量证明平面几何问题 例 1 如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AFDE. 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 证明 方法一 设AD a，AB b， 则|a|b|，a b0. 又DE DA AE ab 2， AF ABBFba 2， 所以AF DE ba 2 ab 2 a 2 2 3 4a b b2 2 1 2|a| 21 2|b| 20. 故AF DE ，即 AFDE. 方法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则 A(0,
4、0)，D(0,2)，E(1,0)， F(2,1)，则AF (2,1)，DE (1，2) 因为AF DE (2,1) (1，2)220. 所以AF DE ，即 AFDE. 反思感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 (1)向量的线性运算法的四个步骤 选取基底用基底表示相关向量利用向量的线性运算或数量积找出相应关系把 几何问题向量化 (2)向量的坐标运算法的四个步骤 建立适当的平面直角坐标系 把相关向量坐标化 用向量的坐标运算找出相应关系 把几何问题向量化 跟踪训练 1 如图，在正方形 ABCD 中，P 为对角线 AC 上任一点，PEAB，PFBC，垂足 分别为 E，F，连接 DP，EF
5、，求证：DPEF. 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 证明 方法一 设正方形 ABCD 的边长为 1，AEa(0a1)， 则 EPAEa，PFEB1a，AP 2a， DP EF (DA AP ) (EPPF) DA EP DA PF AP EPAP PF 1acos 180 1(1a)cos 90 2aacos 45 2a(1a)cos 45 aa2a(1a)0. DP EF ，即 DPEF. 方法二 如图，以 A 为原点，AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系 设正方形 ABCD 的边长为 1，AP(0 2)， 则 D(0,1)，P 2 2 ，
6、2 2 ，E 2 2 ，0 ，F 1， 2 2 . DP 2 2 ， 2 2 1 ，EF 1 2 2 ， 2 2 . DP EF 2 2 1 2 21 2 2 2 2 0， DP EF ，即 DPEF. 题型二 利用向量处理平面几何求值问题 例 2 在ABC 中，已知 A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，则 BC 边上的中线 AD 的长是( ) A2 5 B.5 5 2 C3 5 D.7 5 2 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 B 解析 BC 的中点为 D 3 2，6 ，AD 5 2，5 ， |AD |5 5 2 . 反思感悟 (1)用向量法求长度的策略
7、利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式|a|2a2求解 建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若 a(x，y)，则|a|x2y2. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表 示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算 坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等 问题转化为代数运算 跟踪训练 2 如图，已知边长为 2 的正六边形 ABCDEF，连接 BE，CE，点 G 是线段 BE 上 靠近 B 的四等分点，连接 GF，则GF CE 等于( ) A6 B9 C6 D9
8、考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 D 解析 根据题意，BE 2CD ，GB 1 2CD ， 所以GF GB BA AF 1 2CD DE CD 1 2CD DE ， 又CE CD DE ，且CDE120 ， 所以GF CE 1 2CD DE (CD DE ) 1 2CD 23 2CD DE DE 2 23 222 1 249. 几何问题中的向量方法 典例 已知 RtABC 中，C90 ，设 ACm，BCn. (1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD1 2AB； (2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F，求 AF 的长度(用 m，n
9、表示) 解 (1)以 C 为坐标原点，以边 CB，CA 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 如图所示，A(0，m)，B(n,0) 因为 D 为 AB 的中点，所以 D n 2， m 2 ， 所以|CD |1 2 n2m2，|AB | m2n2， 所以|CD |1 2|AB |，即 CD1 2AB. (2)因为 E 为 CD 的中点，所以 E n 4， m 4 ， 设 F(x,0)，则AE n 4， 3 4m ，AF (x，m) 因为 A，F，E 三点共线，所以AF AE， 即(x，m) n 4， 3 4m . 则 xn 4， m3 4m， 故 4 3，即 x n 3，所以 F
10、 n 3，0 ， 所以|AF |1 3 n29m2，即 AF1 3 n29m2. 素养评析 (1)建立直角坐标系，通过向量坐标运算求出相应的模，进而根据模的大小关系 证明出 CD1 2AB. (2)理解运算对象，选择运算方法，探索和表述论证过程，充分体现了数学运算和逻辑推理的 数学核心素养 1在ABC 中，若(CA CB) (CACB)0，则ABC( ) A是正三角形 B是直角三角形 C是等腰三角形 D形状无法确定 考点 平面几何中的向量方法 题点 判断多边形的形状 答案 C 解析 (CA CB) (CACB)CA2CB20，即|CA|CB|，CACB， 则ABC 是等腰三角形 2在直角三角形
11、 ABC 中，斜边 BC 长为 2，O 是平面 ABC 内一点，点 P 满足OP OA 1 2(AB AC )，则|AP|等于( ) A2 B1 C.1 2 D4 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 B 解析 OP OA 1 2(AB AC)， OP OA 1 2(AB AC)，AP1 2(AB AC)， AP 为 RtABC 斜边 BC 的中线|AP |1. 3在ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD 1 3AB 1 2AC ，则SABD SABC等于( ) A.2 3 B. 1 3 C. 1 6 D. 1 2 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面
12、几何中的应用 答案 D 解析 已知在ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD 1 3AB 1 2AC ，点 D 在 AB 边的 中位线上，且为靠近 BC 边的三等分点处，从而有 SABD1 2SABC. 4.如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，CP 3PD ，AP BP2，则AB AD 的 值是_ 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 22 解析 由CP 3PD ， 得DP 1 4DC 1 4AB ， APAD DP AD 1 4AB ， BPAPABAD 1 4AB AB AD 3 4AB .因为AP BP2，所以 AD 1 4AB AD
13、3 4AB 2，即AD 21 2AD AB 3 16AB 2 2.又因为AD 225，AB264，所以AB AD 22. 5如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同 的两点 M，N，若AB mAM ，AC nAN，则 mn 的值为_ 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 2 解析 连接 AO，O 是 BC 的中点， AO 1 2(AB AC) 又AB mAM ，AC nAN， AO m 2AM n 2AN . 又M，O，N 三点共线， m 2 n 21，则 mn2. 利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几 何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思 路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标