1、22.2 向量减法运算及其几何意义向量减法运算及其几何意义 学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意 义.3.能熟练地进行向量的加、减运算 知识点一 相反向量 1定义：与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记作a. 2性质 (1)对于相反向量有：a(a)(a)a0. (2)若 a，b 互为相反向量，则 ab，ba，ab0. (3)零向量的相反向量仍是零向量 知识点二 向量的减法 1定义：aba(b)，即减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量 差的运算，叫做向量的减法 2.几何意义：在平面内任取一点 O，作OA a，O
2、B b，则向量 abBA ，如图所示 3文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起 点，被减向量的终点为终点的向量 思考 若 a，b 是不共线向量，|ab|与|ab|的几何意义分别是什么？ 答案 如图所示， 设OA a，OB b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有OC ab， BA ab.因为四边形 OACB 是平行四边形，所以|ab|OC |，|ab|BA |，分别是以 OA， OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长 1相反向量就是方向相反的向量( ) 提示 相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系 2向
3、量AB 与BA是相反向量( ) 提示 AB 与BA大小相等、方向相反 3AB BA，(a)a.( ) 提示 根据相反向量的定义可知其正确 4两个相等向量之差等于 0.( ) 提示 两个相等向量之差等于 0. 题型一 向量减法的几何作图 例 1 如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量 abc. 考点 向量减法的定义及其几何意义 题点 求作差向量 解 方法一 如图，在平面内任取一点 O，作OA a，AB b，则OB ab，再作OC c， 则CB abc. 方法二 如图，在平面内任取一点 O，作OA a，AB b，则OB ab，再作CB c，连 接 OC，则OC abc. 引申探究 若本例条件
4、不变，则 abc 如何作？ 解 如图， 在平面内任取一点 O，作OA a，OB b，则BA ab.再作CAc，则BCabc. 反思感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点， 并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们 的始点重合，再作出差向量 跟踪训练 1 如图所示，O 为ABC 内一点，OA a，OB b，OC c.求作：bca. 考点 向量减法的定义及其几何意义 题点 求作差向量 解 方法一 以OB ，OC 为邻边作OBDC，连接 OD，AD， 则OD OB OC bc， AD OD OA bca. 方法二 作CD O
5、B b， 连接 AD，则AC OC OA ca， AD AC CD cabbca. 题型二 向量减法法则的应用 例 2 化简下列式子： (1)NQ PQ NM MP ； (2)(AB CD )(AC BD ) 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加减法化简向量 解 (1)原式NP MN MP NP PNNPNP0. (2)原式AB CD AC BD (AB AC)(DC DB )CB BC0. 反思感悟 向量减法的三角形法则的内容是： 两向量相减， 表示两向量起点的字母必须相同， 这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点 跟踪训练 2 化简：(1)(
6、BA BC)(ED EC )； (2)(AC BO OA )(DC DO OB ) 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 解 (1)(BA BC)(ED EC ) CA CD DA . (2)(AC BO OA )(DC DO OB ) AC BADC (DO OB ) AC BADC DB BC DC DB BC CD DB BC CB0. 利用已知向量表示未知向量 典例 如图， 已知O为平行四边形ABCD内一点， OA a， OB b， OC c， 则OD _.(用 a，b，c 表示) 答案 abc 解析 因为BA CD ， BA OA OB ，CD OD O
7、C ， 所以OD OC OA OB ，OD OA OB OC ， 所以OD abc. 素养评析 (1)本题主要考查平面向量的加法、减法运算，利用已知向量表示未知向量，这 正体现了数学运算的核心素养 (2)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则. 1.如图所示，在ABCD 中，AB a，AD b，则用 a，b 表示向量AC 和BD 分别是( ) Aab 和 ab Bab 和 ba Cab 和 ba Dba 和 ba 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 B 解析 由向量的加法、减法法则，得 AC ABAD ab， BD AD AB
8、ba. 故选 B. 2.OP QP PS SP等于( ) A.QP B.OQ C.SP D.SQ 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 B 3下列等式成立的个数是( ) abba；abba；0aa；(a)a；a(a)0. A5 B4 C3 D2 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 B 解析 由向量加、减法的定义可知，正确 4若向量 a，b 满足|ab|ab|2 2，|a| 3，则|b|_. 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案 5 解析 如图， 在平面内任取一点 A，
9、作AD a，AB b，以 AB，AD 为邻边作平行四边形，则ACab， BD ab. 又因为|ab|ab|， 所以四边形 ABCD 为矩形， 即ABD 是直角三角形， 在 RtABD 中，|BD |ab|2 2，|AD |a| 3， 所以|b|AB | 2 22 32 5. 5.如图，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且AB a，ACb，AEc， 试用 a，b，c 表示向量BD ，BC ，BE，CD 及CE . 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 四边形 ACDE 是平行四边形， CD AE c， BC ACABba， BE AEABca， CE AEACcb， BD BC CD bac. 1向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义，AB BA就可以把减法转 化为加法即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量如 aba(b) 2在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向 量”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆 3以平行四边形 ABCD 的两邻边 AB，AD 分别表示向量AB a，AD b，则两条对角线表示 的向量为AC ab，BD ba，DB ab，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解 并掌握