1、14.3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象 学习目标 1.会求正切函数 ytan(x)的周期.2.掌握正切函数 ytan x 的奇偶性， 并会判 断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法 知识点 正切函数的性质 函数 ytan x xR且xk 2，kZ 的图象与性质见下表： 解析式 ytan x 图象 定义域 x xR且xk 2，kZ 值域 R 最小正周期 奇偶性 奇 单调性 在开区间 k 2，k 2 (kZ)内都是增函数 1函数 ytan x 在其定义域上是增函数( ) 提示 ytan x 在开区间 k 2，k 2 (kZ)上是增函数，但在其定义域上不是增
2、函数 2函数 ytan x 的图象的对称中心是(k，0)(kZ)( ) 提示 ytan x 图象的对称中心是 1 2k，0 (kZ) 3正切函数 ytan x 无单调递减区间( ) 4正切函数在区间 2， 2 上单调递增( ) 提示 正切函数在区间 2， 2 上是增函数，不能写成闭区间，当 x 2时，ytan x 无意义. 题型一 正切函数的定义域、值域问题 例 1 (1)函数 y3tan 6 x 4 的定义域为_ 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 答案 x x4 3 4k，kZ 解析 由 6 x 4 2k，kZ，得 x 4 3 4k，kZ， 即函数的定义域为 x x4 3
3、 4k，kZ. (2)求函数 ytan2 3x 3 tan 3x 3 1 的定义域和值域 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域、值域 解 由 3x 3k 2，kZ， 得 xk 3 18，kZ， 所以函数的定义域为 x xk 3 18，kZ . 设 ttan 3x 3 ， 则 tR，yt2t1 t1 2 23 4 3 4， 所以原函数的值域是 3 4， . 反思感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用 三角函数的图象或三角函数线 (2)处理正切函数值域时， 应注意正切函数自身值域为 R， 将问题转化为某种函数的值域求解 跟踪训练 1 求函数
4、 y tan x1lg(1tan x)的定义域 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 解 由题意得 tan x10， 1tan x0， 即1tan x1. 在 2， 2 内，满足上述不等式的 x 的取值范围是 4， 4 . 又 ytan x 的周期为 ， 所以函数的定义域是 k 4，k 4 (kZ) 题型二 求正切函数的单调区间 例 2 求函数 ytan 1 2x 4 的单调区间及最小正周期 考点 正切函数的单调性、周期性与对称性 题点 判断正切函数的单调性 解 ytan 1 2x 4 tan 1 2x 4 ， 由 k 2 1 2x 4k 2(kZ)， 得 2k 2x0)的单调
5、区间的求法是把 x 看成一个整体，解 2kx 2k，kZ 即可当 0 时，先用诱导公式把 化为正值再求单调区间 跟踪训练 2 (2018 四川石室中学高二期中)函数 ytan 2x 4 的单调递增区间是_ 考点 正切函数的单调性 题点 判断正切函数的单调性 答案 k 2 3 8 ，k 2 8 ，kZ 解析 令 k 22x 4k 2，kZ，解得 k 2 3 8 xk 2 8，kZ. 题型三 利用正切函数的单调性比较大小 例 3 比较大小： (1)tan 32 _tan 215 ； (2)tan 18 5 _tan 28 9 . 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 答案 (1)
6、(2) 解析 (1)tan 215 tan(180 35 )tan 35 ， 当 0 x90 时，ytan x 单调递增，32 35 ， tan 32 tan 35 tan 215 . (2)tan 18 5 tan 42 5 tan 2 5 ， tan 28 9 tan 3 9 tan 9 ， ytan x 在 2， 2 上单调递增，且2 5 9， tan 2 5 tan 9 ，即 tan 18 5 tan 28 9 . 反思感悟 运用正切函数的单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内 (2)运用单调性比较大小关系 跟踪训练 3 比较下列正切值的大小 (1
7、)tan 1 320 与 tan 70 ； (2)tan 17 6 与 tan 3 . 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 解 (1)tan 1 320 tan(360 3240 ) tan 240 tan 60 ， 因为函数 ytan x 在 0， 2 上为增函数， 所以 tan 60 tan 70 ， 即 tan 1 320 tan 3 . 即 tan 17 6 tan 3 . 正切函数图象的画法及应用 典例 画出 f(x)tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性 考点 正切函数图象与性质的综合应用 题点 正切函数图象与性质的综合应用 解 f(x)t
8、an|x|化为 f(x) tan x，xk 2，x0kZ， tan x，xk 2，x0kZ， 根据 ytan x 的图象，作出 f(x)tan|x|的图象，如图所示， 由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为 0， 2 ， k 2，k 3 2 (kN)；单 调减区间为 2，0 ， k3 2 ，k 2 (k0，1，2，) 素养评析 根据正切函数图象的画法，先画出函数的图象，建立数与形的联系，借助几何 直观理解问题，认识事物解决问题，提升直观想象的数学核心素养. 1(2018 河北定州中学高二期末)函数 y2tan 1 2x 3 的定义域是( ) A. 2k5 3，2k 3 ，kZ
9、B. 2k 3，2k 5 3 ，kZ C. k5 3，k 3 ，kZ D. k 3，k 5 3 ，kZ 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 答案 A 解析 由 2k 1 2x 3 2k，kZ， 解得5 32kx 32k，kZ. 2函数 ytan x 1 tan x是( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数 考点 正切函数的周期性与对称性 题点 正切函数的奇偶性 答案 A 解析 函数的定义域是 x x1 2k，kZ ，且 tan(x) 1 tanxtan x 1 tan x tan x 1 tan x ，所以函数 ytan x 1 tan
10、x是奇函数 3已知 A 为锐角，且 tan A2 3，那么下列判断正确的是( ) A0 A30 B30 A45 C45 A60 D60 A90 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数单调性的应用 答案 B 解析 3 3 2 31，即 tan 30 tan Atan 45 . 由正切函数随锐角的增大而增大， 得 30 A45 ，故选 B. 4函数 y4tan 3x 6 的最小正周期为_ 考点 正切函数的周期性与对称性 题点 正切函数的周期性 答案 3 解析 T | 3. 5求函数 ytan2x2tan x3，x 3， 3 的值域 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的值域 解 因为 x
11、3， 3 ， 所以 tan x 3， 3， 因为 ytan2x2tan x3(tan x1)22， 所以当 tan x1 时，ymin2， 当 tan x 3时，ymax62 3， 所以函数的值域为2,62 3 1正切函数的图象 正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 xk 2，kZ，相邻两条渐近线之间都有一支 正切曲线，且单调递增 2正切函数的性质 (1)正切函数 ytan x 的定义域是 x xk 2，kZ ，值域是 R. (2)正切函数 ytan x 的最小正周期是 ， 函数 yAtan(x)(A0)的最小正周期为 T |. (3)正切函数在 2k， 2k (kZ)上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区 间