1、 1.6 三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用 学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型 知识点 利用三角函数模型解释自然现象 在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人 的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化 1利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 第一步：阅读理解，审清题意 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已 知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题 第二步：收集、整理数据，建立数学模型 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌
2、握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关 系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现 实际问题的数学化 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案 2三角函数模型的建立程序 如图所示： 题型一 三角函数模型在物理中的应用 例 1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位 移 S(单位：cm)与时间 t(单位：s)的函数关系是 S6sin 2t 6 . (1)画出它的图象； (2)回答以下问题： 小球开始摆动(即 t0)，离开平衡位置是多少？ 小球摆动时，离开平衡位置
3、的最大距离是多少？ 小球来回摆动一次需要多少时间？ 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在天文、物理学方面的应用 解 (1)周期 T2 21(s) 列表： 2t 6 6 2 3 2 2 2 6 t 0 1 6 5 12 2 3 11 12 1 6sin 2t 6 3 6 0 6 0 3 描点画图： (2)小球开始摆动(即 t0)，离开平衡位置为 3 cm. 小球摆动时离开平衡位置的最大距离是 6 cm. 小球来回摆动一次需要 1 s(即周期) 反思感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是 数形结合的有效途径 跟踪训练 1 如图是一个简谐运动的图象，则下列
4、判断正确的是( ) A该质点的振动周期为 0.7 s B该质点的振幅为5 cm C该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时的振动速度最大 D该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时的加速度为零 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在天文、物理学方面的应用 答案 D 解析 由图象及简谐运动的有关知识知 T0.8 s， A5 cm， 当 t0.1 s 及 t0.5 s 时， v0， 故排除选项 A，B，C. 题型二 三角函数模型在生活中的应用 例 2 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要 12 分钟，其中心 O 距离地面 40.5 米，半径为 40 米如果你从最低处登上摩天轮，那么
5、你与地面的距离将随时间的变化而 变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离 y(米)与时间 t(分钟)的函数关系式； (2)当你第 4 次距离地面 60.5 米时，用了多长时间？ 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在日常生活中的应用 解 (1)由已知可设 y40.540cos t，t0， 由周期为 12 分钟可知， 当 t6 时， 摩天轮第 1 次到达最高点， 即此函数第 1 次取得最大值， 所以 6，即 6， 所以 y40.540cos 6t(t0) (2)设转第 1 圈时，第 t0分钟时距离地面 60.5 米 由 60.540.540cos 6t0
6、，得 cos 6t0 1 2， 所以 6t0 2 3 或 6t0 4 3 ， 解得 t04 或 t08， 所以 t8(分钟)时，第 2 次距地面 60.5 米， 故第 4 次距离地面 60.5 米时，用了 12820(分钟) 反思感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题， 理清问题中的已知条件与所求结论(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化(3)利用三角 函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解(4)根据实际问题的意义，得 出实际问题的解(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案 跟踪训练 2 如图所示，摩天轮的半径为 40 m，O 点距
7、地面的高度为 50 m，摩天轮做匀速转 动，每 3 min 转一圈，摩天轮上的 P 点的起始位置在最低点处 (1)试确定在时刻 t min 时，P 点距离地面的高度； (2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间 P 点距离地面超过 70 m? 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在日常生活中的应用 解 (1)设 t min 时 P 距地面的高度为 y，依题意得 y40sin 2 3 t 2 50，t0. (2)令 40sin 2 3 t 2 5070， 则 sin 2 3 t 2 1 2， 2k 6 2 3 t 22k 5 6 (kZ)， 2k2 3 2 3 t2k4 3 (kZ)， 3k1t
8、3k2(kZ) 令 k0，得 1ts2 Bs1s2 Cs1s2 D不能确定 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在天文、物理学方面的应用 答案 C 2电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式为 I2sin 100t，t(0，)，则电流 I 变化的周期是 ( ) A. 1 100 B100 C. 1 50 D50 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在天文、物理学方面的应用 答案 C 3如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin 6x k，据此函 数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) A5 B6 C8 D10 考点 三角函数模型的应用 题点
9、三角函数在日常生活中的应用 答案 C 解析 由图象知 ymin2. 因为 ymin3k，所以3k2，解得 k5， 所以这段时间水深的最大值是 ymax3k358，故选 C. 4已知某种交流电电流 I(A)随时间 t(s)的变化规律可以用函数 I5 2sin 100t 2 ，t0， )表示，则这种交流电电流在 0.5 s 内往复运行_次 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在天文、物理方面的应用 答案 25 解析 周期 T 2 100 1 50(s)， 频率为每秒 50 次， 0.5 s 往复运行 25 次 5某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 2sin 12t 3 ，t0,24) (1)求实验室这一天的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于 11，则在哪段时间实验室需要降温？ 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在日常生活中的应用 解 (1)因为 f(t)102sin 12t 3 ， 又 0t24， 所以 3 12t 311 时实验室需要降温 由(1)得 f(t)102sin 12t 3 ， 故有 102sin 12t 3 11， 即 sin 12t 3 1 2. 又 0t24，因此7 6 12t 3 11 6 ， 即 10t18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温 解三角函数应用问题的基本步骤