1、 1.4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 14.1 正弦函数正弦函数、余弦函数的图象余弦函数的图象 学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线 和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余 弦曲线之间的联系 知识点一 正弦函数、余弦函数的概念 实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系， 而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或 余弦)值这样，任意给定一个实数 x，有唯一确定的值 sin x(或 cos x)与之对应由这个对应 法则所确定的函数 ysin x(或 ycos x)叫做正弦函数(或余弦函数)，
2、其定义域是 R. 知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下： 作出单位圆：作平面直角坐标系，并在直角坐标系中 y 轴左侧的 x 轴上取一点 O1，作出以 O1为圆心的单位圆； 等分单位圆，作正弦线：从O1与 x 轴的交点 A 起，把O1分成 12 等份过O1上各分 点作 x 轴的垂线，得到对应于 0， 6， 3， 2，2 等角的正弦线； 找横坐标：把 x 轴上从 0 到 2 这一段分成 12 等份； 找纵坐标：把角 x 的正弦线向右平移，使它的起点与 x 轴上对应的点 x 重合，从而得到 12 条正弦线的 12 个终点； 连线：用光滑的
3、曲线将 12 个终点依次从左至右连接起来，即得到函数 ysin x，x0,2 的图象，如图 因为终边相同的角有相同的三角函数值， 所以函数 ysin x， x2k， 2(k1)， kZ 且 k0 的图象与函数 ysin x， x0,2)的图象的形状完全一致 于是只要将函数 ysin x， x0,2) 的图象向左、向右平行移动(每次 2 个单位长度)，就可以得到正弦函数 ysin x，xR 的图 象，如图 把 ysin x，xR 的图象向左平移 2个单位长度，即可得到 ycos x，xR 的图象 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线 知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的
4、图象 “五点法”作正弦函数 ysin x(x0,2)、余弦函数 ycos x，x0,2图象的步骤 1列表 x 0 2 3 2 2 sin x 0 1 0 1 0 cos x 1 0 1 0 1 2.描点 画正弦函数 ysin x，x0,2的图象，五个关键点是 (0,0)， 2，1 ，(，0)， 3 2 ，1 ，(2，0)； 画余弦函数 ycos x，x0,2的图象，五个关键点是 (0,1)， 2，0 ，(，1)， 3 2 ，0 ，(2，1) 3用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数 ysin x(x0,2)、余弦函数 ycos x (x0,2)的简图 1正弦函数 ysin x 的图象向左、右
5、和上、下无限伸展( ) 提示 正弦函数 ysin x 的图象向左、右无限伸展，但上、下限定在直线 y1 和 y1 之 间 2函数 ysin x 与 ysin(x)的图象完全相同( ) 提示 二者图象不同，而是关于 x 轴对称 3余弦函数 ycos x 的图象与 x 轴有无数个交点( ) 4余弦函数 ycos x 的图象与 ysin x 的图象形状和位置都不一样( ) 提示 函数 ycos x 的图象与 ysin x 的图象形状一样，只是位置不同 题型一 “五点法”作图的应用 例 1 利用“五点法”作出函数 y1sin x(0 x2)的简图 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象 解 (1)取值
6、列表： x 0 2 3 2 2 sin x 0 1 0 1 0 1sin x 1 0 1 2 1 (2)描点连线，如图所示 反思感悟 作正弦曲线要理解几何法作图， 掌握五点法作图 “五点”即 ysin x 或 ycos x 的图象在0,2内的最高点、最低点和与 x 轴的交点“五点法”是作简图的常用方法 跟踪训练 1 利用“五点法”作出函数 y1cos x(0 x2)的简图 解 (1)取值列表如下： 0 2 3 2 2 cos x 1 0 1 0 1 1cos x 2 1 0 1 2 (2)描点连线，如图所示 题型二 利用正弦、余弦函数图象求定义域 例 2 求函数 f(x)lg sin x 16
7、x2的定义域 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 解 由题意，得 x 满足不等式组 sin x0， 16x20， 即 sin x0， 4x4， 作出 ysin x 的图象，如图所示 结合图象可得 x4，)(0，) 反思感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点 的取舍 跟踪训练 2 求函数 y log2 1 sin x1的定义域 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 解 为使函数有意义，需满足 log2 1 sin x10， sin x0， 即 0sin x1 2. 由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为 x 2kx2k 6
8、或2k 5 6 x2k，kZ. 正弦、余弦函数图象的应用 典例 利用正弦曲线，求满足1 2sin x 3 2 的 x 的集合 考点 正弦函数的图象 题点 正弦函数图象的应用 解 首先作出 ysin x 在0,2上的图象，如图所示，作直线 y1 2，根据特殊角的正弦值，可 知该直线与 ysin x，x0,2的交点横坐标为 6和 5 6 . 作直线 y 3 2 ，该直线与 ysin x，x0,2的交点横坐标为 3和 2 3 . 观察图象可知，在0,2上，当 6x 3或 2 3 x5 6 时，不等式1 2sin x 3 2 成立 所以1 2sin x 3 2 的解集为 x 62kx 32k， 或2
9、3 2kx5 6 2k，kZ. 素养评析 作出相应正弦、余弦函数的图象，借助三角函数图象使问题得解，这正是数学 核心素养直观想象的具体体现. 1用“五点法”作 y2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A0， 2， 3 2 ，2 B0， 4， 2， 3 4 ， C0，2，3，4 D0， 6， 3， 2， 2 3 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象 答案 B 解析 “五点法”作图是当 2x0， 2， 3 2 ，2 时的 x 的值，此时 x0， 4， 2， 3 4 ， 故选 B. 2函数 ysin x，x 2， 3 2 的简图是( ) 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象
10、 答案 D 解析 方法一 由 ysin x，x 2， 3 2 的图象，作关于 x 轴的对称图象，就可以得到函数 ysin x，x 2， 3 2 的简图 方法二 可以用特殊点来验证 x0 时，ysin 00，排除 A，C. 当 x3 2 时，ysin 3 2 1，排除 B. 3在0,2内，不等式 sin x 3 2 的解集是( ) A(0，) B. 3， 4 3 C. 4 3 ，5 3 D. 5 3 ，2 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 C 解析 画出 ysin x，x0,2的草图如下： 因为 sin 3 3 2 ， 所以 sin 3 3 2 ，sin 2 3 3 2 . 即
11、在0,2内，满足 sin x 3 2 的是 x4 3 或 x5 3 . 可知不等式 sin x 3 2 的解集是 4 3 ，5 3 . 4点 M 2，m 在函数 ysin x 的图象上，则 m_. 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 1 解析 点 M 在 ysin x 的图象上， 代入坐标得msin 21， 所以 m1. 5函数 ycos x，x0,2的图象与直线 y1 2的交点有_个 答案 2 解析 画图可知(图略) 1对“五点法”画正弦函数图象的理解 (1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不 高， 只要描出函数图象的“关键点”， 就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图 (2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与 x 轴的交点 2作函数 yasin xb 的图象的步骤 3用“五点法”画的正弦型函数在一个周期0,2内的图象，如果要画出在其他区间上的图 象，可依据图象的变化趋势和周期性画出