1、 1.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式(一一) 学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用 有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题 设角 的终边与单位圆的交点为 P，由三角函数定义知 P 点坐标为(cos ，sin ) 知识点一 诱导公式二 角 的终边与角 的终边关于原点对称，角 的终边与单位圆的交点 P1与 P 也关于 原点对称，因此点 P 的坐标是(cos ，sin )，它们的三角函数关系如下： 诱导公式二 sinsin ， coscos ， tantan . 知识点二 诱导公式三 角 的终边与角 的终边关于 x 轴对称，P
2、2与 P 也关于 x 轴对称，它们的三角函数关系如 下： 诱导公式三 sinsin ， coscos ， tantan . 知识点三 诱导公式四 角 的终边与角 的终边关于 y 轴对称，P3与 P 也关于 y 轴对称，它们的三角函数关系 如下： 诱导公式四 sin()sin ， cos()cos ， tan()tan . 公式一四都叫做诱导公式，它们分别反映了 2k(kZ)， 的三角函数 值与 的三角函数值之间的关系，这四组公式的共同特点是： 2k(kZ)， 的三角函数值等于 的同名函数值，前面加上一个把 看 成锐角时原函数值的符号简记为“函数名不变，符号看象限” 1诱导公式中角 是任意角(
3、) 提示 正弦、余弦函数的诱导公式中， 为任意角，但是正切函数的诱导公式中， 的取值 必须使公式中角的正切值有意义 2sin()sin .( ) 提示 sin()sin()sin()sin . 3cos 4 3 1 2.( ) 提示 cos 4 3 cos 3 cos 3 1 2. 4诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用( ) 提示 在角度制和弧度制下，诱导公式都成立. 题型一 给角求值问题 例 1 求下列各三角函数式的值： (1)cos 210 ；(2)sin 11 4 ；(3)sin 43 6 ；(4)cos(1 920 ) 考点 同名诱导公式 题点 诱导公式二、三、四 解 (1)cos
4、210 cos(180 30 ) cos 30 3 2 . (2)sin 11 4 sin 23 4 sin 3 4 sin 4 sin 4 2 2 . (3)sin 43 6 sin 67 6 sin 7 6 sin 6 sin 6 1 2. (4)cos(1 920 )cos 1 920 cos(5360 120 ) cos 120 cos(180 60 )cos 60 1 2. 反思感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化 (2)“大化小”：用公式一将角化为 0 到 360 间的角 (3)“角化锐”：用公式二或四将大于 90 的角转化为锐角 (4)
5、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值 跟踪训练 1 求下列三角函数式的值： (1)sin(330 ) cos 210 ； (2) 3sin(1 200 ) tan(30 )cos 585 tan(1 665 )； (3)sin 4 3cos 5 6tan 4 3 . 考点 同名诱导公式 题点 诱导公式二、三、四 解 (1)sin(330 ) cos 210 sin(30 360 )cos(180 30 ) sin 30 (cos 30 )1 2 3 2 3 4 . (2) 3sin(1 200 ) tan(30 )cos 585 tan(1 665 ) 3sin(1 080 120 ) 3 3
6、 cos(720 135 ) tan(9 180 45 ) sin(1 080 120 )cos 135 tan(45 ) 3 2 2 2 (1) 3 2 2 . (3)sin 4 3cos 5 6tan 4 3 sin 3 cos 6 tan 22 3 sin 3 cos 6 tan 3 3 2 3 2 ( 3)3 3 4 . 题型二 条件求值或给值求角问题 例 2 (1)已知 sin() 3cos(2)，| 2，则 等于( ) A 6 B 3 C. 6 D. 3 考点 同名诱导公式 题点 诱导公式一、二、三 答案 D 解析 由 sin() 3cos(2)，| 2， 可得sin 3cos ，
7、| 2， 即 tan 3，| 2， 3. (2)已知 cos 6 3 3 ，求 cos 5 6 sin2 6 的值 考点 同名诱导公式 题点 诱导公式三、四 解 因为 cos 5 6 cos 6 cos 6 3 3 ， sin2 6 sin2 6 1cos 2 6 1 3 3 22 3， 所以 cos 5 6 sin2 6 3 3 2 3 2 3 3 . 反思感悟 (1)解决条件求值问题的策略 解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的 差异及联系 可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化 (2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子
8、得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角 的三角函数值逆向求角 跟踪训练 2 如果 A 为锐角，sin(A)1 2，那么 cos(A)等于( ) A. 2 2 B 2 2 C. 3 2 D 3 2 考点 同名诱导公式 题点 诱导公式二、四 答案 D 解析 因为 sin(A)sin A1 2， 所以 sin A1 2， 又 A 为锐角，所以 A 6； 所以 cos(A)cos Acos 6 3 2 . 利用诱导公式化简 典例 化简下列各式： (1)tan2sin2cos6 cossin5 ； (2) 12sin 290 cos 430 sin 250 cos 790 . 考点 同名诱导公式 题点
9、 诱导公式一、二、三、四综合应用 解 (1)原式 sin2 cos2 sincos cossin sin sin cos cos cos sin sin cos tan . (2)原式 12sin360 70 cos360 70 sin180 70 cos720 70 12sin 70 cos 70 sin 70 cos 70 |cos 70 sin 70 | cos 70 sin 70 sin 70 cos 70 cos 70 sin 70 1. 引申探究 若本例(1)改为：tannsinncosn cosn1 sinn1(nZ)，请化简 解 当 n2k(kZ)时， 原式tan sin co
10、s cos sin tan ； 当 n2k1(kZ)时， 原式tan sin cos cos sin tan . 素养评析 (1)三角函数式的化简方法 利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数 常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数 注意“1”的变式应用：如 1sin2cos2tan 4. (2)理解运算对象、掌握运算法则、求得运算结果，通过运算促进数学思维发展，提升数学运 算的数学核心素养 1sin 7 6 的值是( ) A1 2 B2 C2 D. 1 2 考点 同名诱导公式 题点 诱导公式二 答案 A 解析 sin 7 6 sin 6 sin 6 1 2. 2已知角
11、 和 的终边关于 x 轴对称，则下列各式中正确的是( ) Asin sin Bsin(2)sin Ccos cos Dcos(2)cos 考点 同名诱导公式 题点 诱导公式三 答案 C 解析 由角 和 的终边关于 x 轴对称，可知 2k(kZ)，故 cos cos . 3已知 cos 3 5，则 sin(3) cos(2) tan()等于( ) A 3 5 B 4 5 C. 9 25 D. 16 25 考点 同名诱导公式 题点 诱导公式二、三、四 答案 D 解析 原式sin() cos() tan() (sin ) cos (tan )sin2， 由 cos 3 5，得 sin 21cos21
12、6 25. 4已知 sin 1 3，cos()1，则 sin(2)的值为( ) A1 B1 C.1 3 D 1 3 考点 同名诱导公式 题点 诱导公式一、二 答案 D 解析 由 cos()1，得 2k(kZ)， 则 2()2k(kZ)， sin(2)sin(2k)sin() sin 1 3. 5若 f()2cos 3sin22cos1 22cos27cos ，求 f 3 的值 考点 同名诱导公式 题点 诱导公式二、三、四 解 由已知得 f()2cos 3sin22cos 1 22cos2cos 2cos 31cos22cos 1 22cos2cos 2cos 3cos22cos 22cos2c
13、os cos 2cos 2cos 2 2cos2cos 2 cos ， 所以 f 3 cos 3 1 2. 1明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为 02 之间的角 公式二 将 02 内的角转化为 0 之间的角 公式三 将负角转化为正角 公式四 将 0 内的角转化为 0 2之间的角 2.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”其含义是诱导公式两边的函数 名称一致，符号则是将 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号， 看成锐角，只是 公式记忆的方便，实际上 可以是任意角 3已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为 02 之间的角， 然后利用特殊角的三角函数求解 必须对一些特殊角的三角函数值熟记， 做到“见 角知值，见值知角”