1、12.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函 数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明 知识点 同角三角函数的基本关系式 1同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：tan sin cos k 2，kZ . 2同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2cos21 的变形公式 sin21cos2；cos21sin2. (2)tan sin cos k 2，kZ 的变形公式 sin cos tan ；cos sin tan
2、 . 1sin2cos21.( ) 提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即 sin2cos21. 2sin2 2cos 2 21.( ) 提示 在 sin2cos21 中，令 2可得 sin 2 2cos 2 21. 3对任意的角 ，都有 tan sin cos 成立( ) 提示 当 2k，kZ 时就不成立 4若 cos 0，则 sin 1.( ) 题型一 利用同角三角函数的关系式求值 命题角度 1 已知角 的某一三角函数值及 所在象限，求角 的其余三角函数值 例 1 (1)若 sin 5 13，且 为第四象限角，则 tan 的值为( ) A.12 5 B12 5 C.
3、5 12 D 5 12 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 D 解析 sin 5 13，且 为第四象限角，cos 12 13， tan sin cos 5 12，故选 D. (2)已知 sin cos 7 13，(0，)，则 tan . 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 12 5 解析 sin cos 7 13， (sin cos )2 49 169， 即 2sin cos 120 1690，cos 0， 2， ， 故 sin cos sin cos 24sin cos 17 13， 可得 sin 12 13，cos
4、 5 13，tan 12 5 . 反思感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是 “知一求二”，即在 sin ，cos ，tan 三个值之间，知道其中一个可以求其余两个解题 时要注意角 的象限，从而判断三角函数值的正负 (2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系 求解， 其关键在于运用方程的思想及(sin cos )21 2sin cos 的等价转化， 找到解决问题 的突破口 跟踪训练 1 已知 tan 4 3，且 是第三象限角，求 sin ，cos 的值 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角
5、函数值 解 由 tan sin cos 4 3，得 sin 4 3cos . 又 sin2cos21， 由得16 9 cos2cos21，即 cos2 9 25. 又 是第三象限角， cos 3 5，sin 4 3cos 4 5. 命题角度 2 已知角 的某一三角函数值，未给出 所在象限，求角 的其余三角函数值 例 2 已知 cos 8 17，求 sin ，tan 的值 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 cos 8 170，且 cos 1， 是第二或第三象限角 (1)当 是第二象限角时，则 sin 1cos21 8 17 215 17， tan sin c
6、os 15 17 8 17 15 8 . (2)当 是第三象限角时，则 sin 1cos215 17，tan 15 8 . 反思感悟 利用同角三角函数关系式求值时， 若没有给出角 是第几象限角， 则应分类讨论， 先由已知三角函数的值推出 的终边可能在的象限，再分类求解 跟踪训练 2 已知 cos 4 5，求 sin 和 tan . 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 sin21cos21 4 5 29 25， 因为 cos 4 50， 所以 是第二或第三象限角， 当 是第二象限角时，sin 3 5， tan sin cos 3 4； 当 是第三象限角时，si
7、n 3 5， tan sin cos 3 4. 题型二 齐次式求值问题 例 3 已知 tan 2，求下列代数式的值 (1)4sin 2cos 5cos 3sin ；(2) 1 4sin 21 3sin cos 1 2cos 2. 考点 运用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式化简、求值 解 (1)原式4tan 2 53tan 6 11. (2)原式 1 4sin 21 3sin cos 1 2cos 2 sin2cos2 1 4tan 21 3tan 1 2 tan21 1 44 1 32 1 2 5 13 30. 反思感悟 (1)关于 sin ，cos 的齐次式，可以通过分子、分母同除
8、以 cos 或 cos2 转化为 关于 tan 的式子后再求值 (2)假如代数式中不含分母，可以视分母为 1，灵活地进行“1”的代换，由 1sin2cos2 代换后，再同除以 cos2，构造出关于 tan 的代数式 跟踪训练 3 已知sin cos sin cos 2，计算下列各式的值 (1) 3sin cos 2sin 3cos ； (2)sin22sin cos 1. 考点 运用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式化简、求三角函数值 解 由sin cos sin cos 2，化简，得 sin 3cos ， 所以 tan 3. (1)原式 33cos cos 23cos 3cos 8c
9、os 9cos 8 9. (2)原式sin 22sin cos sin2cos2 1 tan 22tan tan21 13 223 321 113 10. 三角函数式的化简与证明 典例 (1)化简：sin2tan cos 2 tan 2sin cos . 考点 运用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式化简 解 原式sin2 sin cos cos 2 cos sin 2sin cos sin 4cos42sin2cos2 sin cos sin 2cos22 sin cos 1 sin cos . (2)求证： tan sin tan sin tan sin tan sin . 考点 运
10、用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式证明 证明 右边 tan2sin2 tan sin tan sin tan2tan2cos2 tan sin tan sin tan21cos2 tan sin tan sin tan2sin2 tan sin tan sin tan sin tan sin 左边， 原等式成立 素养评析 (1)三角函数式的化简技巧 化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目 的 对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的 对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin2cos21，以
11、降低函 数次数，达到化简的目的 (2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： 证明一边等于另一边，一般是由繁到简 证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一) 比较法：即证左边右边0 或左边 右边1(右边0) 证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立 (3)掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思 维品质，提升逻辑推理的数学核心素养. 1若 sin 4 5，且 是第二象限角，则 tan 的值为( ) A4 3 B. 3 4 C 3 4 D 4 3 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值
12、答案 A 解析 为第二象限角，sin 4 5， cos 3 5，tan 4 3. 2已知 sin 5 5 ，则 sin4cos4 的值为( ) A3 5 B 1 5 C. 1 5 D. 3 5 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式化简、求三角函数值 答案 A 解析 sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2) sin2(1sin2)2sin21 2 5 5 213 5. 3(2018 江西上高第二中学高二期末)若 为第三象限角，则 cos 1sin2 2sin 1cos2的值为 ( ) A3 B3 C1 D1 考点 运用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式化
13、简 答案 B 解析 为第三象限角，cos 0，sin 0， 原式cos cos 2sin sin 3. 4已知 tan x1 2，则 sin 2x3sin xcos x1 的值为( ) A.1 3 B2 C2 或 2 D2 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 D 5已知： tan tan 11，则 sin 3cos sin cos . 答案 5 3 解析 由已知得：tan 1 2， sin 3cos sin cos tan 3 tan 1 5 3. 1利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三 角函数值 2利用同角三角函
14、数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求： (1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求 值 3在三角函数的变换求值中，已知 sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一个，可以利 用方程思想，求出另外两个的值 4在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一 角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点利用同角三角函数的基本关系主 要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法 5在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角 函数名的个数(化切为弦、 化弦为切等)； (3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、 整体思想等)； (4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解