1、 1.2 任意角的三角函数任意角的三角函数 12.1 任意角的三角函数任意角的三角函数(一一) 学习目标 1.理解并掌握任意角的三角函数定义.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终 边相同的角的同一三角函数值相等 知识点一 任意角的三角函数 1单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆 2利用单位圆定义任意角的三角函数 在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么： (1)y 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y. (2)x 叫做
2、 的余弦，记作 cos ，即 cos x. (3)y x叫做 的正切，记作 tan ，即 tan y x (x0) 对于确定的角 ，上述三个值都是唯一确定的故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以 单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin y，cos x，tan y x(x0)当 为第一象限角时，y0, x0，故 sin 0， cos 0，tan 0，同理可得当 在其他象限时三角函数值的符号，如图所示 记忆口诀：“一全正，二
3、正弦，三正切，四余弦” 知识点三 诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等， 即诱导公式一 sink2sin ， cosk2cos ， tank2tan ， 其中 kZ. 1sin ，cos ，tan 的大小与点 P(x，y)在角 的终边上的位置有关( ) 提示 三角函数的大小由角 终边位置确定，而与点 P(x，y)在终边上的位置无关 2终边相同的角的同名三角函数值相等( ) 提示 由三角函数的定义可知，终边相同的角的三角函数值相等 3若 720 ，则 cos cos .( ) 4若 sin sin ，则 .( ) 题型一 三角函数定义的应用 例 1 已知 终边上一点 P(x,3)(x0
4、)，且 cos 10 10 x，求 sin ，tan . 考点 任意角三角函数 题点 任意角三角函数定义求值 解 由题意知 r|OP|x29， 由三角函数定义得 cos x r x x29 . 又cos 10 10 x， x x29 10 10 x. x0，x 1. 当 x1 时，P(1,3)， 此时 sin 3 1232 3 10 10 ，tan 3 13. 当 x1 时，P(1,3)， 此时 sin 3 1232 3 10 10 ，tan 3 13. 反思感悟 (1)已知角 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 在 的终边上任选一点 P(x，y)，设 P 到原点的距离为 r(r0)，则
5、sin y r，cos x r.当已知 的终边上一点求 的三角函数值时，用该方法更方便 (2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时， 要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 跟踪训练 1 已知角 的终边在直线 y3x 上，求 10sin 3 cos 的值 考点 任意角三角函数 题点 任意角三角函数的定义求值 解 由题意知，cos 0. 设角 的终边上任一点为 P(k，3k)(k0)，则 xk，y3k，r k23k2 10|k|. (1)当 k0 时，r 10k， 是第四象限角， sin y r 3k 10k 3 10 10 ， 1 cos r x 10k k 10， 10sin 3 cos 1
6、0 3 10 10 3 10 3 103 100. (2)当 k0. 210 360 150 ，210 是第二象限角， cos (210 )0，sin 145 cos(210 )0. (2) 234 3 2 50，cos 40，tan 50. 反思感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终 边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正 切，四余弦 跟踪训练 2 如果点 P(sin cos ，2cos )位于第三象限，则角 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 考点 三角函数值在各象限的符号 题点
7、三角函数值在各象限的符号 答案 B 解析 因为点 P(sin cos ，2cos )位于第三象限，所以 sin cos 0，且 2cos 0， cos 0， 所以 为第二象限角 题型三 诱导公式一的应用 例 3 求下列各式的值： (1)sin(1 395 )cos 1 110 cos(1 020 )sin 750 ； (2)sin 11 6 cos 12 5 tan 4. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一的应用 解 (1)原式sin(4360 45 )cos(3360 30 )cos(3360 60 )sin(2360 30 ) sin 45 cos 30 cos 60 sin 30 2 2
8、 3 2 1 2 1 2 6 4 1 4 1 6 4 . (2)原式sin 2 6 cos 22 5 tan(40)sin 6cos 2 5 01 2. 反思感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为 0 到 2 间的三角函数，也可把大于 2 的角的三角函数化为 0 到 2 间的三角函数，即实现了“负化正，大化小” 跟踪训练 3 给出下列各三角函数值： sin(1 000 )；cos(2 200 )；tan 5； sin 7 10cos tan 17 9 . 其中符号为负的是( ) A B C D 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一的应用 答案 C 对弧度制与实数的进一步理解 典例 (1)已知
9、 是第二象限角，试判断tansin tancos 的符号； (2)若 sin(cos ) cos(sin )0，则 为第几象限角？ 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 解 (1) 是第二象限角， 0sin 1 2， 21cos 0，tan(cos )0. tansin tancos 0. (2) 21cos 1 2， 21sin 10，故要使 sin(cos ) cos(sin )0，则必有 sin(cos )0. cos 0，即 为第二、三象限角或角 终边在 x 轴的负半轴上 素养评析 由于弧度制表示的角是一个实数，反过来一个实数也可看做是用弧度制表示的 角，因此
10、本例中 sin ，cos 的值看成相应的角也就可以参与计算，这正是数学核心素养数学 运算的具体体现. 1已知角 的终边经过点(4,3)，则 cos 等于( ) A.4 5 B. 3 5 C 3 5 D 4 5 考点 任意角三角函数的定义 题点 任意角三角函数的定义 答案 D 解析 由题意可知 x4，y3，r5， 所以 cos x r 4 5.故选 D. 2已知角 的终边与单位圆交于点 4 5， 3 5 ，则 tan 等于( ) A4 3 B 4 5 C 3 5 D 3 4 考点 任意角三角函数的定义 题点 任意角三角函数的定义 答案 D 解析 根据三角函数的定义，知 tan y x 3 4.
11、3在ABC 中，若 sin Acos Btan C0 时，令 x24k，y7k， 则有 r 24k27k225k， sin y r 7 25，cos x r 24 25，tan y x 7 24. 当 k0 时，令 x24k，y7k，则有 r25k， sin y r 7 25，cos x r 24 25，tan y x 7 24. 1正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数 2角 的三角函数值的符号只与角 的终边所在象限有关，若角 的终边所在象限确定， 则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦” 3终边相同的角的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边 相同，更不一定有两角相等.