1、2020 年河北省石家庄桥西区中考数学模拟试卷（年河北省石家庄桥西区中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 一选择题（共一选择题（共 16 小题）小题） 1下列数中最小的是（ ） A2 B0 C3 D1 2规定： （30）表示零上 30 摄氏度，记作+30， （8）表示零下 8 摄氏度，记作（ ） A+8 B8 C+ D 3下列方程的解为 x1 的是（ ） A2x12 Bx+1 C65x D3x+22x+3 4如图ABC 绕点 A 旋转至ADE，则旋转角是（ ） ABAD BBAC CBAE DCAD 5下列计算正确的是（ ） A3 B2 C D （）00 6如图，由 4 个完全相同的正方体组成的
2、几何体的左视图是（ ） A B C D 7下列说法中正确的是（ ） A射击运动员射击一次，命中靶心是必然事件 B袋中有 10 个蓝球，1 个绿球，随机摸出一个球是蓝球是必然事件 C画一个三角形，其内角和是 180是必然事件 D经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件 8在学习“三角形的内角和外角”时，老师在学案上设计了以下内容： 如图，已知ABC，对A+B+ACB180的说理过程如下： 延长 BC 到点 D，过点 C 作 CEAB CEAB A（两直线平行，内错角相等） B（两直线平行，同位角相等） ACB+180（平角定义） A+B+ACB180（等量代换） 下列选项正确的是（ ） A处填
3、ECD B处填ECD C处填A D处填B 9能说明命题“关于 x 的方程 x24x+m0 一定有实数根”是假命题的反例为（ ） Am1 Bm0 Cm4 Dm5 10如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AC4，BD16，将ABO 沿点 A 到 点 C 的方向平移， 得到ABO 当点 A与点 C 重合时， 点 A 与点 B之间的距离为 （ ） A6 B8 C10 D12 11数学课上，老师让学生尺规作图画 RtABC，使其斜边 ABc，一条直角边 BCa小 明的作法如图所示，你认为这种作法中判断ACB 是直角的依据是（ ） A勾股定理 B直径所对的圆周角是直角 C勾股定理的逆定
4、理 D90的圆周角所对的弦是直径 12若 x 为负整数，则分式（1）的值的取值范围是（ ） A10.5 B0.50 C00.5 D0.51 13如图，在O 中，ABC20，DAC24，则ADO 的度数为（ ） A43 B44 C45 D46 14如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上， ABC90，CAx 轴，点 C 在函数 y（x0）的图象上，若 AB1，则 k 的值为 （ ） A1 B1 C D2 15如图，一艘快艇从 O 港出发，向西北方向行驶到 M 处，然后向正东行驶到 N 处，再向 西南方向行驶，共经过 1.5 小时回到 O 港，已
5、知快艇的速度是每小时 50 海里，则 M，N 之间的距离是（ ）海里 A7575 B C75 D50 16如图所示，ABAD 于点 A，CDAD 于点 D，C120若线段 BC 与 CD 的和为 12，则四边形 ABCD 的面积可能是（ ） A24 B30 C45 D 二填空题（共二填空题（共 3 小题）小题） 17计算：a2a3 18如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中 的度数是 19如图，在ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转 （0180）得到 AB，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC， 连接 BC， 当 +180时， 我们称ABC 是ABC 的旋补三角形，ABC边
6、 BC上的中线 AD 叫做ABC 的旋补中线 如图，当ABC 为等边三角形时，ABC是ABC 的旋补三角形，AD 是旋补中 线，AD 与 BC 的数量关系为：AD BC；当 BC8 时，则 BC长为 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 20 按如图程序进行运算 如果结果不大于 10， 就把结果作为输入的数再进行第二次运算， 直到符合要求（结果大于 10）为止 （1）当输入的数是 10 时，请求出输出的结果； （2）当输入的数是 x 时，经过第一次运算，结果即符合要求，请求出 x 的最小整数值 21如图，数轴上的点 A，B，C 表示三个连续的整数，对应的数分别为 a，b，c （1）若 a
7、 与 c 互为相反数，则 a 的值为 ； （2）若 a+b9，先化简，再求值：+ 22我市要开展“不忘初心，牢记使命”主题演讲比，某中学将参加本校选拔赛的 50 名选 手的成绩（满分为 100 分，得分为正整数）分成五组，并绘制了不完整的统计图表 分数段 频数 频率 69.575.5 9 0.18 75.581.5 m 0.16 81.587.5 14 0.28 87.593.5 16 n 93.599.5 3 0.06 （1）表中 n ，并在图中补全频数直方图 （2） 甲同学的比赛成绩是50位参赛选手成绩的中位数， 据此推测他的成绩落在 分 数段内； （3）选拔赛时，成绩在 93.599.5
8、 的三位选手中，男生 2 人，女生 1 人，学校从中随机 确定 2 名选手参加全市决赛，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概 率 23如图，BCD90，BCDC，直线 PQ 经过点 D设PDC（45135） ， BAPQ 于点 A，将射线 CA 绕点 C 按逆时针方向旋转 90，与直线 PQ 交于点 E （1）判断：ABC PDC（填“”或“”或“” ） ； （2）猜想ACE 的形状，并说明理由； （3）若ABC 的外心在其内部（不含边界） ，直接写出 的取值范围 24甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发步行前往乙地，同时小亮从乙地出 发骑自行车前往甲地，小亮到达甲地没
9、有停留，按原路原速返回，追上小明后两人一起 步行到乙地如图，线段 OA 表示小明与甲地的距离 y1（米）与行走的时间 x（分钟）之 间的函数关系：折线 BCDA 表示小亮与甲地的距离 y2（米）与行走的时间 x（分钟）之 间的函数关系请根据图象解答下列问题： （1）小明步行的速度是 米/分钟，小亮骑自行车的速度是 米/分钟； （2）线段 OA 与 BC 相交于点 E，求点 E 坐标； （3）请直接写出小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距 100 米时 x 的值 25已知在矩形 ABCD 中，AB4，AD3，C 与对角线 BD 相切 （1）如图 1，求C 的半径； （2）如图 2，点 P
10、 是C 上一个动点，连接 AP，AC，AP 交C 于点 Q，若 sinPAC ，求CPA 的度数和弧 PQ 的长； （3）如图，对角线 AC 与C 交于点 E，点 P 是C 上一个动点，设点 P 到直线 AC 的 距离为 d，当 0d时，请直接写出PCE 度数的取值范围 26已知抛物线 C：yax22ax+3 开口向下 （1）当抛物线 C 过点（1，4）时，求 a 的值和抛物线与 y 轴的交点坐标； （2）求二次函数 yax22ax+3 的对称轴和最大值（用含 a 的式子表示） ； （3）将抛物线 C 向左平移 a 个单位得到抛物线 C1，随着 a 的变化，抛物线 C1顶点的纵 坐标 y 与横
11、坐标 x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量 x 的取值 范围； （4）记（3）所求的函数为 D，抛物线 C 与函数 D 的图象交于点 M，结合图象，请直接 写出点 M 的纵坐标的取值范围 2020 年河北省石家庄桥西区中考数学模拟试卷（年河北省石家庄桥西区中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 16 小题）小题） 1下列数中最小的是（ ） A2 B0 C3 D1 【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可 【解答】解：3201， 最小的数是3， 故选：C 2规定： （30）表示零上 30 摄氏度，记作+30， （8）
12、表示零下 8 摄氏度，记作（ ） A+8 B8 C+ D 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答 【解答】解：规定： （30）表示零上 30 摄氏度，记作+30， （8）表示零下 8 摄氏度， 记作8 故选：B 3下列方程的解为 x1 的是（ ） A2x12 Bx+1 C65x D3x+22x+3 【分析】把 x1 分别代入四个方程，通过判断方程左右两边是否相等来确定解为 x1 的方程 【解答】解：A、当 x1 时，2x12112，所以 x1 不是方程 2x10 的解； B、当 x1 时，x+11+12，所以 x1 不是方程 x+1的解； C、当 x1 时，5x5
13、146，所以 x1 不是方程 65x 的解； D、当 x1 时，3x+23+25，2x+32+35，所以 x1 是方程 3x+22x+3 的解 故选：D 4如图ABC 绕点 A 旋转至ADE，则旋转角是（ ） ABAD BBAC CBAE DCAD 【分析】由对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角，可求解 【解答】解：ABC 绕点 A 旋转至ADE， 旋转角为BAD 或CAE， 故选：A 5下列计算正确的是（ ） A3 B2 C D （）00 【分析】分别根据算术平方根、立方根的概念、同类二次根式的概念及非零数的零指数 幂的规定逐一判断即可得 【解答】解：A3，此选项错误； B2，此选项正确；
14、 C与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； D （）01，此选项错误； 故选：B 6如图，由 4 个完全相同的正方体组成的几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可 【解答】解：从左边看去，左边是两个正方形，右边是一个正方形， 故选：D 7下列说法中正确的是（ ） A射击运动员射击一次，命中靶心是必然事件 B袋中有 10 个蓝球，1 个绿球，随机摸出一个球是蓝球是必然事件 C画一个三角形，其内角和是 180是必然事件 D经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可 【解答】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心
15、，是随机事件，本选项说法错误； B、袋中有 10 个蓝球，1 个绿球，随机摸出一个球是蓝球，是随机事件，本选项说法错 误； C、画一个三角形，其内角和是 180，是必然事件，本选项说法正确； D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，本选项说法错误； 故选：C 8在学习“三角形的内角和外角”时，老师在学案上设计了以下内容： 如图，已知ABC，对A+B+ACB180的说理过程如下： 延长 BC 到点 D，过点 C 作 CEAB CEAB A（两直线平行，内错角相等） B（两直线平行，同位角相等） ACB+180（平角定义） A+B+ACB180（等量代换） 下列选项正确的是（ ） A处填
16、ECD B处填ECD C处填A D处填B 【分析】延长 BC 到点 D，过点 C 作 CEAB依据平行线的性质以及平角的定义，即可 得到A+B+ACB180 【解答】解：延长 BC 到点 D，过点 C 作 CEAB CEAB AACE（两直线平行，内错角相等） BECD（两直线平行，同位角相等） ACB+ACE+ECD180（平角定义） A+B+ACB180（等量代换） 故选：B 9能说明命题“关于 x 的方程 x24x+m0 一定有实数根”是假命题的反例为（ ） Am1 Bm0 Cm4 Dm5 【分析】利用 m5 使方程 x24x+m0 没有实数解，从而可把 m5 作为说明命题“关 于 x
17、的方程 x24x+m0 一定有实数根”是假命题的反例 【解答】解：当 m5 时，方程变形为 x24x+50， 因为（4）2450， 所以方程没有实数解， 所以m5可作为说明命题 “关于x的方程x24x+m0一定有实数根” 是假命题的反例 故选：D 10如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AC4，BD16，将ABO 沿点 A 到 点 C 的方向平移， 得到ABO 当点 A与点 C 重合时， 点 A 与点 B之间的距离为 （ ） A6 B8 C10 D12 【分析】由菱形的性质得出 ACBD，AOOCAC2，OBODBD8，由平 移的性质得出 OCOA2，OBOB8，COB90
18、，得出 AOAC+OC6，由 勾股定理即可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AOOCAC2，OBODBD8， ABO 沿点 A 到点 C 的方向平移，得到ABO，点 A与点 C 重合， OCOA2，OBOB8，COB90， AOAC+OC6， AB10； 故选：C 11数学课上，老师让学生尺规作图画 RtABC，使其斜边 ABc，一条直角边 BCa小 明的作法如图所示，你认为这种作法中判断ACB 是直角的依据是（ ） A勾股定理 B直径所对的圆周角是直角 C勾股定理的逆定理 D90的圆周角所对的弦是直径 【分析】 由作图痕迹可以看出 AB 是直径， ACB 是直径所对
19、的圆周角， 即可作出判断 【解答】解：由作图痕迹可以看出 O 为 AB 的中点，以 O 为圆心，AB 为直径作圆，然后 以 B 为圆心 BCa 为半径画弧与圆 O 交于一点 C， 故ACB 是直径所对的圆周角， 所以 这种作法中判断ACB 是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角 故选：B 12若 x 为负整数，则分式（1）的值的取值范围是（ ） A10.5 B0.50 C00.5 D0.51 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由 x 为负整数，且 x1 可得答案 【解答】解：原式（） ， x 为负整数，且 x1， 1x 是大于 1 的正整数， 则 0， 故选：C 13如图，
20、在O 中，ABC20，DAC24，则ADO 的度数为（ ） A43 B44 C45 D46 【分析】连接 OA，OC，根据圆周角定理得到AOC2ABC40，COD2CAD 48，根据等腰三角形的性质即可得到结论 【解答】解：连接 OA，OC， ABC20，DAC24， AOC2ABC40，COD2CAD48， AOD40+4888， OAOD， ADOOAD（18088）46， 故选：D 14如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上， ABC90，CAx 轴，点 C 在函数 y（x0）的图象上，若 AB1，则 k 的值为 （ ） A1 B1 C
21、 D2 【分析】 根据题意可以求得 OA 和 AC 的长， 从而可以求得点 C 的坐标， 进而求得 k 的值 【解答】解：等腰直角三角形 ABC 的顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，ABC 90，CAx 轴，AB1， BACBAO45， OAOB，AC， 点 C 的坐标为（，） ， 点 C 在函数 y（x0）的图象上， k1， 故选：A 15如图，一艘快艇从 O 港出发，向西北方向行驶到 M 处，然后向正东行驶到 N 处，再向 西南方向行驶，共经过 1.5 小时回到 O 港，已知快艇的速度是每小时 50 海里，则 M，N 之间的距离是（ ）海里 A7575 B C75 D50 【
22、分析】证出MON 为等腰直角三角形，OMONMN，由题意得出 OM+OM+MN 75，即可得出答案 【解答】解：如图所示： 由题意得：NOC45，MOD45， MON90， MNx 轴， MNONOC45，NMOMOD45， MON 为等腰直角三角形， OMONMN， OM+OM+MN501.575（海里） ， MN+MN+MN75， 解得：MN7575（海里） ， 即 M，N 之间的距离是（7575）海里； 故选：A 16如图所示，ABAD 于点 A，CDAD 于点 D，C120若线段 BC 与 CD 的和为 12，则四边形 ABCD 的面积可能是（ ） A24 B30 C45 D 【分析】
23、过 C 作 CHAB 于 H，推出四边形 ADCH 是矩形，四边形 ABCD 是直角梯形， 求得BCH30， 设 BCx， 则 CD12x， 得到 AH12x， BHx， CHx， 根据梯形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论 【解答】解：过 C 作 CHAB 于 H， ABAD，CDAD， AADCAHC90，CDAB， 四边形 ADCH 是矩形，四边形 ABCD 是直角梯形， DCH90，CDAH， BCD120， BCH30， 设 BCx，则 CD12x， AH12x，BHx，CHx， 四边形 ABCD 的面积（CD+AB） CH（12x+12x+x）x， 四边形 ABCD 的面积（x
24、8）2+24， 当 x8 时，四边形 ABCD 的面积有最大值 24， 即四边形 ABCD 的面积可能是 24， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 3 小题）小题） 17计算：a2a3 a5 【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可 【解答】解：a2a3a2+3a5 故答案为：a5 18如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中 的度数是 48 【分析】利用正多边形的性质求出1，2，再根据三角形内角和为 180，求出 即 可解决问题 【解答】解：如图， 由题意得：1360660，2360572， 则180607248 故答案为：48 19如图，在ABC 中，把 AB 绕
25、点 A 顺时针旋转 （0180）得到 AB，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC， 连接 BC， 当 +180时， 我们称ABC 是ABC 的旋补三角形，ABC边 BC上的中线 AD 叫做ABC 的旋补中线 如图，当ABC 为等边三角形时，ABC是ABC 的旋补三角形，AD 是旋补中 线，AD 与 BC 的数量关系为：AD BC；当 BC8 时，则 BC长为 8 【分析】首先证明ADB是含有 30是直角三角形，可得 ADAB，然后解直角 三角形即可得到结论 【解答】解：如图中， ABC 是等边三角形， ABBCACABAC， DBDC， ADBC， BAC60，BAC+BAC180， B
26、AC120， BC30， ADABBC， BC8， AD4， BDAD4， BC2BD8， 故答案为：，8 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 20 按如图程序进行运算 如果结果不大于 10， 就把结果作为输入的数再进行第二次运算， 直到符合要求（结果大于 10）为止 （1）当输入的数是 10 时，请求出输出的结果； （2）当输入的数是 x 时，经过第一次运算，结果即符合要求，请求出 x 的最小整数值 【分析】 （1）当输入的数是 10 时，依据程序进行计算即可； （2）当输入的数是 x 时，经过第一次运算，结果即符合要求，说明 2x410，解不等 式即可得到 x 的最小整数值 【解答
27、】解： （1）当输入的数是 10 时，10241610， 输出的结果为 16； （2）由题可得，2x410， 解得 x7， x 的最小整数值为 8 21如图，数轴上的点 A，B，C 表示三个连续的整数，对应的数分别为 a，b，c （1）若 a 与 c 互为相反数，则 a 的值为 1 ； （2）若 a+b9，先化简，再求值：+ 【分析】 （1）根据相反数的性质，以及题意确定出 a 的值即可； （2）把 a+b1 与 a+b9 联立求出 a 的值，原式化简后代入计算即可求出值 【解答】解： （1）根据题意得：a+c0， 由 a，b，c 为三个连续的整数，得到 a1，b0，c1， 则 a 的值为1；
28、 故答案为：1； （2）由 a+b1，得到 ba+1， 代入 a+b9 得：2a+19， 解得：a4， 则原式 22我市要开展“不忘初心，牢记使命”主题演讲比，某中学将参加本校选拔赛的 50 名选 手的成绩（满分为 100 分，得分为正整数）分成五组，并绘制了不完整的统计图表 分数段 频数 频率 69.575.5 9 0.18 75.581.5 m 0.16 81.587.5 14 0.28 87.593.5 16 n 93.599.5 3 0.06 （1）表中 n 0.32 ，并在图中补全频数直方图 （2） 甲同学的比赛成绩是 50 位参赛选手成绩的中位数， 据此推测他的成绩落在 81.5
29、87.5 分数段内； （3）选拔赛时，成绩在 93.599.5 的三位选手中，男生 2 人，女生 1 人，学校从中随机 确定 2 名选手参加全市决赛，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概 率 【分析】 （1）根据频率频数总数求出 m、n 的值，从而补全图形； （2）根据中位数的概念求解可得； （3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解 【解答】解： （1）n16500.32，m500.168， 补全图形如下： （2）由于共有 40 个数据，其中位数是第 20、21 个数据的平均数， 而第 20、21 个数据都落在 81.587.5 内， 推测他的成绩落在
30、 81.587.5 分数段内， 故答案为：81.587.5 （3）画树状图： 共有 6 种结果，其中一男一女的结果有 4 种， 恰好是一名男生和一名女生的概率为 23如图，BCD90，BCDC，直线 PQ 经过点 D设PDC（45135） ， BAPQ 于点 A，将射线 CA 绕点 C 按逆时针方向旋转 90，与直线 PQ 交于点 E （1）判断：ABC PDC（填“”或“”或“” ） ； （2）猜想ACE 的形状，并说明理由； （3）若ABC 的外心在其内部（不含边界） ，直接写出 的取值范围 【分析】 （1）利用四边形内角和等于 360 度得：B+ADC180，而ADC+EDC 180，即
31、可求解； （2）证明ABCEDC（AAS）即可推知ACE 是等腰直角三角形； （3）当ABC90时，ABC 的外心在其直角边上，ABC90时，ABC 的外心在其外部，即可求解 【解答】解： （1）在四边形 BADC 中，B+ADC360BADDCB180， 而ADC+EDC180， ABCPDC 故答案是：； （2）ACE 是等腰直角三角形，理由如下： ECD+DCA90，DCA+ACB90， ACBECD 由（1）知：ABCPDC， 又BCDC， ABCEDC（AAS） ， ACCE 又ACE90， ACE 是等腰直角三角形； （3）当ABC90时，ABC 的外心在其直角边上， ABC90时
32、，ABC 的外心在其外部， 而 45135， 故：4590 24甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发步行前往乙地，同时小亮从乙地出 发骑自行车前往甲地，小亮到达甲地没有停留，按原路原速返回，追上小明后两人一起 步行到乙地如图，线段 OA 表示小明与甲地的距离 y1（米）与行走的时间 x（分钟）之 间的函数关系：折线 BCDA 表示小亮与甲地的距离 y2（米）与行走的时间 x（分钟）之 间的函数关系请根据图象解答下列问题： （1）小明步行的速度是 50 米/分钟，小亮骑自行车的速度是 150 米/分钟； （2）线段 OA 与 BC 相交于点 E，求点 E 坐标； （3）请直接写出小亮从
33、乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距 100 米时 x 的值 【分析】 （1）根据题意和图象中的数据，可以得到小明步行的速度和小亮骑车的速度； （2）根据（1）中的结果，可以计算出点 E 坐标； （3）根据题意，可知有三种情况，两人相距 100 米，然后分别计算出 x 的值即可 【解答】解： （1）由图可知， 小明步行的速度为 15003050（米/分钟） ， 小亮骑车的速度为 150010150（米/分钟） ， 故答案为：50，150； （2）点 E 的横坐标为：1500（50+150）7.5，纵坐标为：507.5375， 即点 E 的坐标为（7.5，375） ； （3）小亮从乙地出发到追
34、上小明的过程中，与小明相距 100 米时 x 的值是 7，8 或 14 理由：两人相遇前， （50+150）x+1001500，得 x7， 两人相遇后， （50+150）x1001500，得 x8， 小亮从甲地到追上小明时，50 x100150（x10） ，得 x14， 即小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距 100 米时 x 的值是 7，8 或 14 25已知在矩形 ABCD 中，AB4，AD3，C 与对角线 BD 相切 （1）如图 1，求C 的半径； （2）如图 2，点 P 是C 上一个动点，连接 AP，AC，AP 交C 于点 Q，若 sinPAC ，求CPA 的度数和弧 PQ 的
35、长； （3）如图，对角线 AC 与C 交于点 E，点 P 是C 上一个动点，设点 P 到直线 AC 的 距离为 d，当 0d时，请直接写出PCE 度数的取值范围 【分析】 （1）先利用勾股定理求出 BD，再用三角形的面积公式求解即可得出结论； （2）先根据三角函数求出 CM 和CPM，进而求出PCQ，最后用弧长公式计算即可得 出结论； （3）先判断出 0CN，再利用三角函数求出分界点 CN时的PCE 的度 数，即可得出结论 【解答】解： （1）如图 1，在矩形 ABCD 中，CDAB4，BCAD3，BCD90， 设切点为 H连接 CH， BD 与C 相切于 H， CHBD， 根据勾股定理得，B
36、D5， SBCDBCCDBDCH， CH， 即C 的半径为； （2）如图 2，连接 CP，CQ，过点 C 作 CMAP 于 M， 四边形 ABCD 是矩形， ACBD5， 在 RtACM 中，sinPAC， CM， 在 RtCMP 中，sinCPM， CPM60， 即CPA60， CPCQ， CPQ 是等边三角形， PCQ60， ； （3）如图备用图，过点 P 作 PPAC，过点 C 作 CNPP于 N， 则PCNPCN，ECNCNP90， 点 P 到 AC 的距离 dCN， 0d， 0CN， 当 CN0 时，点 P 在直线 AC 上，PCE0， 当 CN时，连接 CP，CP， 在 RtPCN
37、 中，cosPCN， PCN30， PCNPCN30 PCEECNPCN60，PCEECN+PCN120， PCE 度数的取值范围为 0PCE60或 120PCE180 26已知抛物线 C：yax22ax+3 开口向下 （1）当抛物线 C 过点（1，4）时，求 a 的值和抛物线与 y 轴的交点坐标； （2）求二次函数 yax22ax+3 的对称轴和最大值（用含 a 的式子表示） ； （3）将抛物线 C 向左平移 a 个单位得到抛物线 C1，随着 a 的变化，抛物线 C1顶点的纵 坐标 y 与横坐标 x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量 x 的取值 范围； （4）记（3）所求
38、的函数为 D，抛物线 C 与函数 D 的图象交于点 M，结合图象，请直接 写出点 M 的纵坐标的取值范围 【分析】 （1）将（1，4）代入解析式求出 a 的值，将 x0 代入解析式求出 y 的值可得其 与 y 轴的交点坐标； （2）将函数解析式配方成顶点式即可得出答案； （3）由题意得出平移后的抛物线 C1解析式为 ya（x1+a）2a+3，据此得出抛物线 C1顶点坐标为（1a，a+3） ，即 x1a，ya+3，求出 xy 即可得出答案； （4）由抛物线 C 和函数 D 的解析式得出分别过定点（2，4） 、 （2，3） ，结合函数图象可 得答案 【解答】解： （1）抛物线 C：yax22ax+
39、3 过点（1，4） ， a2a+34， 解得 a1， 当 x0 时，y3，即抛物线与 y 轴的交点为（0，3） ； （2）yax22ax+3a（x1）2a+3，抛物线有最高点， 二次函数 yax22ax+3 的对称轴为 x1，最大值为a+3； （3）抛物线 C：ya（x1）2a+3， 平移后的抛物线 C1：ya（x1+a）2a+3， 抛物线 C1顶点坐标为（1a，a+3） ， x1a，ya+3， xy1a+a32， 即 xy2， yx+2， a0，a1x， 1x0， x1， y 与 x 的函数关系式为 yx+2（x1） ； （4）如图， 在 yx+2 中，当 x2 时，y4，即直线 yx+2 横过点（2，4） ， 在 yax22ax+3 中， 当 x2 时， y4a4a+33， 即抛物线 yax22ax+3 横过点 （2， 3） ， 所以由图象知，抛物线 C 与函数 D 的图象交点 M 纵坐标的取值范围为 3yM4