1、 【2019 年中考数学几何变形题归类辅导】年中考数学几何变形题归类辅导】 专题专题 2：倍长中线法倍长中线法 【典例引领】【典例引领】 例题：（2014 黑龙江龙东地区）已知 ABC 中，M 为 BC 的中点，直线 m 绕点 A 旋转，过 B、M、C 分别 作 BDm 于 E，CFm 于 F。 （1）当直线 m 经过 B 点时，如图 1，易证 EM= CF。（不需证明） （2）当直线 m 不经过 B 点，旋转到如图 2、图 3 的位置时，线段 BD、ME、CF 之间有怎样的数量关系？ 请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明。 【答案】（2）证明见解析 【分析】图 2，连接 DM 并延长交
2、 FC 的延长线于 K ，可证DBMKCM，再利用三角形中位线即可得 出结论。图 3 同图 2 证明相同。 【解答】（2）图 2 的结论为:ME= (BD+CF) 图 3 的结论为: ME= (CF-BD) 图 2 的结论证明如下：连接 DM 并延长交 FC 的延长线于 K 又BDm,CFm BDCF DBM=KCM 又DMB=CMK BM=MC DBMKCM DB=CK DM=MK 由易证知:EM= FK ME= (CF+CK)= (CF+DB) 图 3 的结论证明如下：连接 DM 并延长交 FC 于 K 又BDm,CFm BDCF MBD=KCM 又DMB=CMK BM=MC DBMKCM
3、 DB=CK DM=MK 由易证知:EM= FK ME= (CF-CK)= (CF-DB) 【强化训练】【强化训练】 1、 （2017 黑龙江龙东地区）已知：AOB 和 COD 均为等腰直角三角形，AOB=COD=90 ，连接 AD， BC，点 H 为 BC 中点，连接 OH。 （1）如图 1 所示，易证 OH= 2 1 AD 且 OHAD（不需证明） （2）将 COD 绕点 O 旋转到图 2，图 3 所示位置是，线段 OH 与 AD 又有怎样的关系，并选择一个图形证 明你的结论。 【答案】（2）证明见解析 【分析】（1）只要证明AODBOC，即可解决问题； 如图 2 中，结论：OH= 2 1
4、 AD，OHAD延长 OH 到 E，使得 HE=OH，连接 BE， 由BEOODA 即可解决问题； 如图 3 中，结论不变延长 OH 到 E，使得 HE=OH，连接 BE，延长 EO 交 AD 于 G由BEOODA 即可解决问题； 【解答】（1）证明：如图 1 中， OAB 与OCD 为等腰直角三角形，AOB=COD=90 ， OC=OD，OA=OB，在AOD 与BOC 中， AODBOC（SAS），ADO=BCO，OAD=OBC， 点 H 为线段 BC 的中点，OH=HB， OBH=HOB=OAD，又因为OAD+ADO=90 ， 所以ADO+BOH=90 所以 OHAD （2）解：结论：OH
5、=AD，OHAD，如图 2 中，延长 OH 到 E，使得 HE=OH，连接 BE， 易证BEOODAOE=ADOH=OE=AD 由BEOODA，知EOB=DAODAO+AOH=EOB+AOH=90 ，OHAD 如图 3 中，结论不变延长 OH 到 E，使得 HE=OH，连接 BE，延长 EO 交 AD 于 G 易证BEOODAOE=ADOH=OE=AD 由BEOODA，知EOB=DAODAO+AOF=EOB+AOG=90 ，AGO=90 OHAD 2在ABC 中，AB=BC，点 O 是 AC 的中点，点 P 是 AC 上的一个动点（点 P 不与点 A，O，C 重合）过 点 A，点 C 作直线
6、BP 的垂线，垂足分别为点 E 和点 F，连接 OE，OF （1）如图 1，请直接写出线段 OE 与 OF 的数量关系； （2）如图 2，当ABC=90 时，请判断线段 OE 与 OF 之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CFAE|=2，EF=2 ，当POF 为等腰三角形时，请直接写出线段 OP 的长 【答案】【答案】（1）OF =OE；（2）OFEK，OF=OE，理由见解析；（3）OP 的长为 或 . 【分析】（1）如图 1 中，延长 EO 交 CF 于 K，证明AOECOK，从而可得 OE=OK，再根据直角三角 形斜边中线等于斜边一半即可得 OF=OE； （2）如图 2 中，延
7、长 EO 交 CF 于 K，由已知证明ABEBCF，AOECOK，继而可证得EFK 是 等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得 OFEK，OF=OE； （3）分点 P 在 AO 上与 CO 上两种情况分别画图进行解答即可得. 【解答】（1）如图 1 中，延长 EO 交 CF 于 K， AEBE，CFBE，AECK，EAO=KCO， OA=OC，AOE=COK，AOECOK，OE=OK， EFK 是直角三角形，OF= EK=OE； （2）如图 2 中，延长 EO 交 CF 于 K， ABC=AEB=CFB=90 ， ABE+BAE=90 ，ABE+CBF=90 ，BAE=CBF， AB=B
8、C，ABEBCF，BE=CF，AE=BF， AOECOK，AE=CK，OE=OK，FK=EF， EFK 是等腰直角三角形，OFEK，OF=OE； （3）如图 3 中，点 P 在线段 AO 上，延长 EO 交 CF 于 K，作 PHOF 于 H， |CFAE|=2，EF=2 ，AE=CK，FK=2， 在 RtEFK 中，tanFEK= ，FEK=30 ，EKF=60 ， EK=2FK=4，OF= EK=2， OPF 是等腰三角形，观察图形可知，只有 OF=FP=2， 在 RtPHF 中，PH= PF=1，HF= ，OH=2 ， OP= ( ) . 如图 4 中，点 P 在线段 OC 上，当 PO
9、=PF 时，POF=PFO=30 ， BOP=90 ， OP= OE= ， 综上所述：OP 的长为 或 . 3.已知：点 P 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 所在直线上的一个动点（点 P 不与点 A、C 重合），分别过点 A、C 向直线 BD 作垂线，垂足分别为点 E、F，点 O 为 AC 的中点。 （1）当点 P 与点 O 重合时，如图 1，易证 OE=OF（不需证明） （2）直线 BP 绕点 B 逆时针方向旋转，当OFE=30 时，如图 2、图 3 的位置，猜想线段 CF、AE、OE 之 间有怎样的数量关系？请写出你对图 2、图 3 的猜想，并选择一种情况给予证明。 【答案】（2）图
10、 2 中的结论为：CF=OE+AE，图 3 中的结论为：CF=OEAE，证明见解析 【分析】（1）由AOECOF 即可得出结论 （2）图 2 中的结论为：CF=OE+AE，延长 EO 交 CF 于点 G，只要证明EOAGOC，OFG 是等边三角 形，即可解决问题 图 3 中的结论为：CF=OEAE，延长 EO 交 FC 的延长线于点 G，证明方法类似 【解答】（1）AEPB，CFBP， AEO=CFO=90 ， 在AEO 和CFO 中， AOECOF，OE=OF （3）图 2 中的结论为：CF=OE+AE 图 3 中的结论为：CF=OEAE 选图 2 中的结论证明如下： 延长 EO 交 CF
11、于点 G， AEBP，CFBP， AECF， EAO=GCO， 在EOA 和GOC 中， EOAGOC， EO=GO，AE=CG， 在 RTEFG 中，EO=OG， OE=OF=GO， OFE=30 ， OFG=90 30 =60 ， OFG 是等边三角形， OF=GF， OE=OF， OE=FG， CF=FG+CG， CF=OE+AE 选图 3 的结论证明如下： 延长 EO 交 FC 的延长线于点 G， AEBP，CFBP， AECF， AEO=G， 在AOE 和COG 中， AOECOG， OE=OG，AE=CG， 在 RTEFG 中，OE=OG， OE=OF=OG， OFE=30 ， O
12、FG=90 30 =60 ， OFG 是等边三角形， OF=FG， OE=OF， OE=FG， CF=FGCG，OE=OF 4如图 1，点 E 是正方形 ABCD 边 CD 上任意一点，以 DE 为边作正方形 DEFG，连接 BF，点 M 是线段 BF 中点，射线 EM 与 BC 交于点 H，连接 CM （1）请直接写出 CM 和 EM 的数量关系和位置关系； （2）把图 1 中的正方形 DEFG 绕点 D 顺时针旋转 45 ，此时点 F 恰好落在线段 CD 上，如图 2，其他条件 不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由； （3）把图 1 中的正方形 DEFG 绕点 D 顺时针旋转 90 ，
13、此时点 E、G 恰好分别落在线段 AD、CD 上，如图 3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由 【答案】【答案】（1）CM=EM，CMEM，理由见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析；（3）（1）中 的结论成立，理由见解析. 【分分析】析】（1）延长 EM 交 AD 于 H，证明FMEAMH，得到 HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可 得结论； （2）根据正方形的性质得到点 A、E、C 在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证 明即可； （3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可 【解答】（1）如图 1，结论：CM=
14、EM，CMEM 理由：ADEF，ADBC， BCEF， EFM=HBM， 在FME 和BMH 中， ， FMEBMH， HM=EM，EF=BH， CD=BC， CE=CH，HCE=90 ，HM=EM， CM=ME，CMEM （2）如图 2，连接 AE， 四边形 ABCD 和四边形 EDGF 是正方形， FDE=45 ，CBD=45 ， 点 B、E、D 在同一条直线上， BCF=90 ，BEF=90 ，M 为 BF 的中点， CM= BF，EM= BF， CM=ME， EFD=45 ， EFC=135 ， CM=FM=ME， MCF=MFC，MFE=MEF， MCF+MEF=135 ， CME=360 -135 -135 =90 ， CMME （3）如图 3，连接 CF，MG，作 MNCD 于 N， 在EDM 和GDM 中， ， EDMGDM， ME=MG，MED=MGD， M 为 BF 的中点，FGMNBC， GN=NC，又 MNCD， MC=MG， MD=ME，MCG=MGC， MGC+MGD=180 ， MCG+MED=180 ， CME+CDE=180 ， CDE=90 ， CME=90 ， （1）中的结论成立