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2019年中考数学几何变形题归类辅导 专题05 角平分线性质的应用(解析版)

1、 【2019 年中考数学几何变形题归类辅导年中考数学几何变形题归类辅导】 专题专题 5:角平分线性质的应用:角平分线性质的应用 【典例引领】【典例引领】 例: 在等腰ABC 中,B=90 ,AM 是ABC 的角平分线,过点 M 作 MNAC 于点 N,EMF=135 将 EMF 绕点 M 旋转,使EMF 的 两边交直线 AB 于点 E,交直线 AC 于点 F,请解答下列问题: (1)当EMF 绕点 M 旋转到如图的位置时,求证:BE+CF=BM; (2)当EMF 绕点 M 旋转到如图,图的位置时,请分别写出线段 BE,CF,BM 之间的数量关系,不 需要证明; (3)在(1)和(2)的条件下,

2、tanBEM=3,AN=2+1,则 BM= ,CF= 【答案】【答案】 (1)证明见解析(2)见解析(3)1,1+ 3 3 或 1 3 3 【分析】 (1)由等腰ABC中, B=90 , AM是ABC的角平分线, 过点M作MNAC于点N, 可得BM=MN, BMN=135 ,又EMF=135 ,可证明的BMENMF,可得 BE=NF,NC=NM=BM 进而得出结论; (2)如图时,同(1)可证BMENMF,可得 BECF=BM, 如图时,同(1)可证BMENMF,可得 CFBE=BM; (3) 在 RtABM 和 RtANM 中, 可得 RtABMRtANM,后分别求出 AB、 AC、 CN

3、、BM、 BE 的长,结合(1) (2)的结论对图 进行讨论可得 CF 的长. 【解答】 (1)证明:ABC 是等腰直角三角形, BAC=C=45 , AM 是BAC 的平分线,MNAC, BM=MN, 在四边形 ABMN 中,BMN=360 90 90 45 =135 , ENF=135 , , BME=NMF, BMENMF, BE=NF, MNAC,C=45 , CMN=C=45 , NC=NM=BM, CN=CF+NF, BE+CF=BM; (2)针对图 2,同(1)的方法得,BMENMF, BE=NF, MNAC,C=45 , CMN=C=45, NC=NM=BM, NC=NFCF,

4、 BECF=BM; 针对图 3,同(1)的方法得,BMENMF, BE=NF, MNAC,C=45 , CMN=C=45 , NC=NM=BM, NC=CFNF, CFBE=BM; (3)在 RtABM 和 RtANM 中, RtABMRtANM(HL) , AB=AN=+1, 在 RtABC 中,AC=AB=+1, AC=AB=2+ , CN=ACAN=2+(+1)=1, 在 RtCMN 中,CM=CN=, BM=BCCM=+1=1, 在 RtBME 中,tanBEM=, BE=, 由(1)知,如图 1,BE+CF=BM, CF=BMBE =1 由(2)知,如图 2,由 tanBEM=, 此

5、种情况不成立; 由(2)知,如图 3,CFBE=BM, CF=BM+BE=1+, 故答案为 1,1+或 1 【强化训练】【强化训练】 1(2017 辽宁省葫芦岛市)如图,MAN=60 ,AP 平分MAN,点 B 是射线 AP 上一定点,点 C 在直线 AN 上运动,连接 BC,将ABC(0 ABC120 )的两边射线 BC 和 BA 分别绕点 B 顺时针旋转 120 , 旋转后角的两边分别与射线 AM 交于点 D 和点 E (1)如图 1,当点 C 在射线 AN 上时,请判断线段 BC 与 BD 的数量关系,直接写出结论; 请探究线段 AC,AD 和 BE 之间的数量关系,写出结论并证明; (

6、2)如图 2,当点 C 在射线 AN 的反向延长线上时,BC 交射线 AM 于点 F,若 AB=4,AC=3,请直接写 出线段 AD 和 DF 的长 【答案】【答案】(1)BC=BD;AD+AC=3BE;(2)AD=53,DF=3 3 【分分析】析】(1)结论:BC=BD只要证明BGDBHC 即可结论:AD+AC=3BE只要证明 AD+AC=2AG=2EG,再证明 EB= 3 BE 即可解决问题; (2)如图 2 中,作 BGAM 于 G,BHAN 于 H,AKCF 于 K由(1)可知,ABGABH,BGD BHC, 易知 BH, AH, BC, CH, AD 的长, 由 sinACH= ,

7、推出 AK 的长, 设 FG=y, 则 AF=23y, BF=4 ,由AFKBFG,可得 ,可得关于 y 的方程,求出 y 即可解决问题 【解答】(1)结论:BC=BD, 理由:如图 1 中,作 BGAM 于 G,BHAN 于 H, MAN=60 ,PA 平分MAN,BGAM 于 G,BHAN 于 H,BG=BH,GBH=CBD=120 , CBH=GBD,BGD=BHC=90 ,BGDBHC,BD=BC; 结论:AD+AC=3BE, ABE=120 , BAE=30 , BEA=BAE=30 , BA=BE, BGAE, AG=GE, EG=BEcos30= 3 BE, BGDBHC, DG

8、=CH, AB=AB, BG=BH, RtABGRtABH, AG=AH, AD+AC=AG+DG+AH CH=2AG=3BE,AD+AC=3BE; (2)如图 2 中,作 BGAM 于 G,BHAN 于 H,AKCF 于 K, 由(1)可知,ABGABH,BGDBHC, 易知 BH=GB=2,AH=AG=EG=23,BC=BD= =3 ,CH=DG=33, AD=53,sinACH= , 3 3 ,AK= 3 3 , 设 FG=y,则 AF=23y,BF=4 , AFK=BFG,AKF=BGF=90 , AFKBFG, , 3 ,解得 y= 3 或3 (舍弃), DF=GF+DG= 3 33

9、,即 DF=3 3 2(2017 辽宁省抚顺市,第 25 题,12 分)如图,OF 是MON 的平分线,点 A 在射线 OM 上,P,Q 是 直线 ON 上的两动点,点 Q 在点 P 的右侧,且 PQ=OA,作线段 OQ 的垂直平分线,分别交直线 OF、ON 交 于点 B、点 C,连接 AB、PB (1)如图 1,当 P、Q 两点都在射线 ON 上时,请直接写出线段 AB 与 PB 的数量关系; (2)如图 2,当 P、Q 两点都在射线 ON 的反向延长线上时,线段 AB,PB 是否还存在(1)中的数量关系? 若存在,请写出证明过程;若不存在,请说明理由; (3) 如图 3, MON=60 ,

10、 连接 AP, 设 AP OQ =k, 当 P 和 Q 两点都在射线 ON 上移动时, k 是否存在最小值? 若存在,请直接写出 k 的最小值;若不存在,请说明理由 【答案】【答案】(1)AB=PB;(2)存在;(3)k=0.5 【分分析】析】试题分析:(1)结论:AB=PB连接 BQ,只要证明AOBPQB 即可解决问题; (2)存在证明方法类似(1); (3)连接 BQ只要证明ABPOBQ,即可推出 AP OQ = AB OB ,由AOB=30 ,推出当 BAOM 时, AB OB 的值最小,最小值为 0.5,由此即可解决问题; 【解答】解:(1)连接:AB=PB理由:如图 1 中,连接 B

11、Q BC 垂直平分 OQ,BO=BQ,BOQ=BQO,OF 平分MON,AOB=BQO,OA=PQ, AOBPQB,AB=PB (2)存在,理由:如图 2 中,连接 BQ BC 垂直平分 OQ, BO=BQ, BOQ=BQO, OF 平分MON, BOQ=FON, AOF=FON= BQC,BQP=AOB,OA=PQ,AOBPQB,AB=PB (3)连接 BQ 易证ABOPBQ,OAB=BPQ, AB=PB,OPB+BPQ=180 ,OAB+OPB=180 ,AOP+ ABP=180 ,MON=60 ,ABP=120 ,BA=BP,BAP=BPA=30 ,BO=BQ,BOQ= BQO=30 ,

12、ABPOBQ, AP OQ = AB OB ,AOB=30 ,当 BAOM 时, AB OB 的值最小,最小 值为 0.5,k=0.5 3如图,已知正方形 ABCD 的边长为2,连接 AC、BD 交于点 O,CE 平分ACD 交 BD 于点 E, (1)求 DE 的长; (2)过点 EF 作 EFCE,交 AB 于点 F,求 BF 的长; (3)过点 E 作 EGCE,交 CD 于点 G,求 DG 的长 【答案】【答案】(1)2-2;(2)2-2;(3)32-4. 【分析】 (1)求出 ,根据勾股定理求出 ,即可求出 ; (2)求出 ,根据全等三角形的性质得出 即可; (3)延长 交 于 ,证

13、 ,得出比例式,代入即可求出答案. 【解答】 解:(1)四边形 ABCD 是正方形, ABC=ADC=90 , DBC=BCA=ACD=45 , CE 平分DCA, ACE=DCE=ACD=22.5 , BCE=BCA+ACE=45 +22.5 =67.5 , DBC=45 , BEC=180 67.5 45 =67.5 =BCE, BE=BC=, 在 RtACD 中,由勾股定理得:BD=2, DE=BDBE=2; (2)FECE, CEF=90 , FEB=CEFCEB=90 67.5 =22.5 =DCE, FBE=CDE=45 ,BE=BC=CD, FEBECD, BF=DE=2; (3

14、)延长 GE 交 AB 于 F, 由(2)知:DE=BF=2, 由(1)知:BE=BC=, 四边形 ABCD 是正方形, ABDC, DGEBFE, =, =, 解得:DG=34 4已知AOB90 ,在AOB 的平分线 OM 上有一点 C,将一个三角板的直角顶点与 C 重合,它的两条 直角边分别与 OA,OB(或它们的反向延长线)相交于点 D,E. 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时(如图),易证:ODOE2OC; 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时,即在图,图这两种情况下,上述结论是否仍然成立?若 成立, 请给予证明: 若不成立, 线段 OD, OE, OC 之

15、间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想, 不需证明 【答案】【答案】图中 ODOE2OC 成立证明见解析;图不成立,有数量关系:OEOD2OC 【分分析】析】 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时, 易得CKDCHE, 进而可得出证明; 判断出结果 解 此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系, 进而得出 OC 与 OD、 OE 的关系; 最后转化得到结论 【解答】图中 ODOE2OC 成立 证明:过点 C 分别作 OA,OB 的垂线,垂足分别为 P,Q . 有CPDCQE, DPEQ, OPODDP,OQOEEQ, 又OPOQ2OC, 即 ODDPOEEQ2OC, ODOE2OC. 图不成立, 有数量关系:OEOD2OC 过点 C 分别作 CKOA, CHOB, OC 为AOB 的角平分线,且 CKOA,CHOB, CK=CH,CKD=CHE=90 , 又KCD 与HCE 都为旋转角, KCD=HCE, CKDCHE, DK=EH, OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK, 由(1)知:OH+OK=2OC, OD,OE,OC 满足 OE-OD=2OC