1、 【2019 年中考数学几何变形题归类辅导年中考数学几何变形题归类辅导】 专题专题 6：直角三角形性质的应用：直角三角形性质的应用 【典例引领】【典例引领】 例：如图，在 RtABC 中，AC=BC，ACB=90 ，点 D，E 分别在 AC，BC 上，且 CD=CE （1）如图 1，求证：CAE=CBD； （2）如图 2，F 是 BD 的中点，求证：AECF； （3）如图 3，F，G 分别是 BD，AE 的中点，若 AC=2 ，CE=1，求CGF 的面积 【答案】【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S CFG = 【解析】【解析】（1）直接判断出ACEBCD 即可得出结论； （2
2、）先判断出BCF=CBF，进而得出BCF=CAE，即可得出结论； （3）先求出 BD=3，进而求出 CF= ，同理：EG= ，再利用等面积法求出 ME，进而求出 GM，最后用面积 公式即可得出结论 【解答】（1）在ACE 和BCD 中， ， ACEBCD， CAE=CBD； （2）如图 2， 在 RtBCD 中，点 F 是 BD 的中点， CF=BF， BCF=CBF， 由（1）知，CAE=CBD， BCF=CAE， CAE+ACF=BCF+ACF=BAC=90 ， AMC=90 ， AECF； （3）如图 3， AC=2 ， BC=AC=2 ， CE=1， CD=CE=1， 在 RtBCD
3、中，根据勾股定理得，BD= =3， 点 F 是 BD 中点， CF=DF= BD= ， 同理：EG= AE= ， 连接 EF，过点 F 作 FHBC， ACB=90 ，点 F 是 BD 的中点， FH= CD= ， S CEF = CEFH= 1 = ， 由（2）知，AECF， S CEF = CFME= ME= ME， ME= ， ME= ， GM=EG-ME= - = ， S CFG = CFGM= = 【强化训练】【强化训练】 1在正方形 ABCD 中，E 是边 CD 上一点（点 E 不与点 C、D 重合），连结 BE （感知）如图，过点 A 作 AFBE 交 BC 于点 F易证ABFB
4、CE（不需要证明） （探究）如图，取 BE 的中点 M，过点 M 作 FGBE 交 BC 于点 F，交 AD 于点 G （1）求证：BE=FG （2）连结 CM，若 CM=1，则 FG 的长为 （应用） 如图， 取 BE 的中点 M， 连结 CM 过点 C 作 CGBE 交 AD 于点 G， 连结 EG、 MG 若 CM=3， 则四边形 GMCE 的面积为 【答案】【答案】（1）证明见解析；（2）2，9. 【解析】【解析】【分析】感知：利用同角的余角相等判断出BAF=CBE，即可得出结论； 探究：（1）判断出 PG=BC，同感知的方法判断出PGFCBE，即可得出结论； （2）利用直角三角形的斜
5、边的中线是斜边的一半， 应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论 【解答】感知：四边形 ABCD 是正方形， AB=BC，BCE=ABC=90 ， ABE+CBE=90 ， AFBE， ABE+BAF=90 ， BAF=CBE， 在ABF 和BCE 中， ， ABFBCE（ASA）； 探究：（1）如图， 过点 G 作 GPBC 于 P， 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC，A=ABC=90 ， 四边形 ABPG 是矩形， PG=AB，PG=BC， 同感知的方法得，PGF=CBE， 在PGF 和CBE 中， ， PGFCBE（ASA）， BE=FG； （2）由（
6、1）知，FG=BE， 连接 CM， BCE=90 ，点 M 是 BE 的中点， BE=2CM=2， FG=2， 故答案为：2 应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6， ME=3， 同探究（1）得，CG=BE=6， BECG， S四边形CEGM= CG ME= 6 3=9， 故答案为：9 2综合与实践： 如图 1，将一个等腰直角三角尺 的顶点 放置在直线 上， ， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 观察发现： （1）如图 1当 ， 两点均在直线 的上方时， 猜测线段 ， 与 的数量关系，并说明理由； 直接写出线段 ， 与 的数量关系； 操作证明： （2）将等腰直角三角尺 绕着点 逆时针
7、旋转至图 2 位置时，线段 ， 与 又有怎样的数量关系， 请写出你的猜想，并写出证明过程； 拓广探索： （3）将等腰直角三用尺 绕着点 继续旋转至图 3 位置时， 与 交于点 ，若 ， ，请直 接写出 的长度 【答案】【答案】（1） 理由见解析； ；（2） ；证明见解析； （3） 的长度为 【分析】（1）过点 作 ，根据已知条件结合直角三角形性质证明 ，从而得到四边形 为正方形，最后得出 ，直接写出 （2）过点 作 ，先证明 ，证明四边形 为正方形，根据正方形的性质求解（3）过点 作 ，证明 ，四边形 为正方形，再求解. 【解答】解：（1） 理由如下： 如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
8、， ， 又 四边形 为矩形 又 ， 即 在 和 中， ( ) ， 又四边形 为矩形， 四边形 为正方形 （2） 如图，过点 作 ，交 延长线于点 ， ， ， 又 ， 四边形 为矩形 又 ， ， 即 在 和 中， ( ) ， 又四边形 为矩形， 四边形 为正方形 ， （3） 如图，过点 作 ，交 于点 ， 同理可证， ，四边形 为正方形 ， ， ， ， ， ， 3如图，在ABC 中，BAC=90 ，AB=AC，点 E 在 AC 上（且不与点 A，C 重合），在ABC 的外部 作CED，使CED=90 ，DE=CE，连接 AD，分别以 AB，AD 为邻边作平行四边形 ABFD，连接 AF （1）请
9、直接写出线段 AF，AE 的数量关系 ； （2）将CED 绕点 C 逆时针旋转，当点 E 在线段 BC 上时，如图，连接 AE，请判断线段 AF，AE 的数 量关系，并证明你的结论； （3）在图的基础上，将CED 绕点 C 继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变， 结合图写出证明过程；若变化，请说明理由 【答案】【答案】(1)AF= AE；（2）AF= AE，证明详见解析；（3）结论不变，AF= AE，理由详见解析. 【分分析】析】（1）如图中，结论：AF= AE，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可（2）如图中，结 论： AF= AE， 连接 EF， DF 交 BC 于
10、K， 先证明EKFEDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可 （3） 如图中，结论不变，AF= AE，连接 EF，延长 FD 交 AC 于 K，先证明EDFECA，再证明AEF 是等腰直角三角形即可 【解答】（1）如图中，结论：AF= AE 理由：四边形 ABFD 是平行四边形 ， AB=DF， AB=AC， AC=DF， DE=EC， AE=EF， DEC=AEF=90 ， AEF 是等腰直角三角形， AF= AE （2）如图中，结论：AF= AE 理由：连接 EF，DF 交 BC 于 K 四边形 ABFD 是平行四边形， ABDF， DKE=ABC=45 ， EKF=180 DKE=135
11、 ， ADE=180 EDC=180 45 =135 ， EKF=ADE， DKC=C， DK=DC， DF=AB=AC， KF=AD， 在EKF 和EDA 中， ， EKFEDA， EF=EA，KEF=AED， FEA=BED=90 ， AEF 是等腰直角三角形， AF= AE （3）如图中，结论不变，AF= AE 理由：连接 EF，延长 FD 交 AC 于 K EDF=180 KDCEDC=135 KDC， ACE=（90 KDC）+DCE=135 KDC， EDF=ACE， DF=AB，AB=AC， DF=AC 在EDF 和ECA 中， ， EDFECA， EF=EA，FED=AEC，
12、FEA=DEC=90 ， AEF 是等腰直角三角形， 4如图，ABC 与CDE 是等腰直角三角形，直角边 AC、CD 在同一条直线上，点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE、BD （1）猜想 PM 与 PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论； （2）现将图中的CDE 绕着点 C 顺时针旋转 （0 90 ），得到图，AE 与 MP、BD 分别交于点 G、H请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BC=kAC，CD=kCE，如图，写出 PM 与 PN 的数 量关系，并加以证明
13、 【答案】【答案】（1）PM=PN，PMPN，理由见解析；（2）理由见解析；（3）PM=kPN；理由见解析 【分分析】析】（1）由等腰直角三角形的性质易证ACEBCD，由此可得 AE=BD，再根据三角形中位线定理 即可得到 PM=PN，由平行线的性质可得 PMPN；（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路 即可证明；（3）PM=kPN，由已知条件可证明BCDACE，所以可得 BD=kAE，因为点 P、M、N 分别 为 AD、AB、DE 的中点，所以 PM=BD，PN=AE，进而可证明 PM=kPN 【解答】（1）PM=PN，PMPN，理由如下： ACB 和ECD 是等腰直角三角形，
14、AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90 在ACE 和BCD 中， ACEBCD（SAS）， AE=BD，EAC=CBD， 点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点， PM=BD，PN=AE， PM=PM， NPD=EAC，MPN=BDC，EAC+BDC=90 ， MPA+NPC=90 ， MPN=90 ， 即 PMPN； （2）ACB 和ECD 是等腰直角三角形， AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90 ACB+BCE=ECD+BCE ACE=BCD ACEBCD AE=BD， CAE=CBD 又AOC=BOE，CAE=CBD， BHO=ACO=90 点
15、 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点， PM=BD，PMBD； PN=AE，PNAE PM=PN MGE+BHA=180 MGE=90 MPN=90 PMPN （3）PM=kPN ACB 和ECD 是直角三角形， ACB=ECD=90 ACB+BCE=ECD+BCE ACE=BCD BC=kAC，CD=kCE， =k BCDACE BD=kAE 点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点， PM=BD，PN=AE PM=kPN 5如图，在ABC 中，ABC=90 ，AB=BC，点 E 是直线 BC 上一点，连接 AE，过点 C 作 CFAE 于点 F，连接 BF如图，当点 E
16、在 BC 上时，易证 AFCF= BF（不需证明），点 E 在 CB 的延长线上，如 图：点 E 在 BC 的延长线上，如图，线段 AF，CF，BF 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜 想，并选择一种情况给予证明 【答案】【答案】证明 AF=CF+ BF 如图中，结论：CFAF= BF理由见解析；如图中，结论：CF+AF= BF理由见解析. 【分析】 如图中，作 BHBF 交 AF 于 H只要证明BAHBCF，即可解决问题. 如图中，结论：CFAF BF作 BHBF 交 AF 于 H只要证明BAHBCF，即可解決问題. 如图中，结论：CFAF BF，只要证明BAHBCF，即可解決问题.
17、【解答】 证明：如图中，作 BHBF 交 AF 于 H ABC=FBH， FBC=ABH， EFC=EBA=90 ， CEF=AEB， ECF=EAB， 在BAH 和BCF 中， ， BAHBCF， AH=CF，BH=BF， FBH=90 ， BFH 是等腰直角三角形， FH=BF， FH=AFAH=AFCF， AFCF=BF， AF=CF+BF 如图中，结论：CFAF=BF 理由：作 BHBF 交 AF 于 H ABC=FBH， FBC=ABH， AFC=ABC=90 ， CEF+FCB=90 ，AEB+BAH=90 ECF=EAB， 在BAH 和BCF 中， ， BAHBCF， AH=CF，BH=BF， FBH=90 ， BFH 是等腰直角三角形， FH=BF， FH=AHAF=CFAF， CFAF=BF 如图中，结论：CF+AF=BF 理由：作 BHBF 交 AF 于 H ABC=FBH， FBC=ABH， AFC=ABC=90 ， BCF+BAF=180 ，BAF+BAH=180 BCF=BAH， 在BAH 和BCF 中， ， BAHBCF， AH=CF，BH=BF， FBH=90 ， BFH 是等腰直角三角形， FH=BF， FH=AH+AF=CF+AF， CF+AF=BF