1、 专题专题 05 动点折叠类问题中函数及其综合题型动点折叠类问题中函数及其综合题型 一、基础知识点综述一、基础知识点综述 动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、 弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题， 更能体现其解题核心动中求 静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答. 实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的 压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力. 要求学生具备：运动观点；方程思想；数
2、形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. （1）函数中的折叠问题 主要考查对函数性质的把握及综合运用知识的能力. （2）综合题型 此类题目困难重重，以 2019 年安徽省中考第 10 题而言，充分体现了数学思想的表达，解题中用到的 有最短路径、三角函数、所求变量的变化规律等等，充分体现了新课标对考查学生数学素养的要求. 通过研究历年中考真题并结合 2019 年各省（市）的中考真题，特总结出此专题. 期望能给各位老师及 同学以学习教学一些启发，一些指引，培养出学生的解题素养. 二、精品例题解析二、精品例题解析 题型一：题型一：折叠综合题型折叠综合题型 例例 1.（2019安徽）安徽）如图，在正方
3、形 ABCD 中，点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC=12，点 P 在正方 形的边上，则满足 PE+PF=9 的点 P 的个数是（ ） A.0 B.4 C.6 D.8 题型题型二二：折叠与相似折叠与相似 例例 2.（2019济宁）济宁） 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB8，AD10，E 是 CD 边上一点，连接 AE，将矩 形 ABCD 沿 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，延长 AE 交 BC 的延长线于点 G （1）求线段 CE 的长； （2）如图 2，M，N 分别是线段 AG，DG 上的动点（与端点不重合） ，且DMNDAM，设 AMx， DNy 写出
4、y 关于 x 的函数解析式，并求出 y 的最小值； 是否存在这样的点 M，使DMN 是等腰三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由 题型题型三三：折叠与全等折叠与全等 例例 3.（2019临沂）临沂）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 DC 边上一点， （与 D、C 不重合） ，连接 AE，将 ADE 沿 AE 所在的直线折叠得到AFE，延长 EF 交 BC 于 G,连接 AG，作 GHAG，与 AE 的延长线交于 点 H，连接 CH，显然 AE 是DAF 的平分线，EA 是DEF 的平分线，仔细观察，请逐一找出图中其他的 角平分线（仅限于小于 180的角平分线） ，并说明理由
5、. 题型题型四四：折叠与反比例函数折叠与反比例函数 例例 4 4.（2019衢州）衢州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴 上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点 B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F.若(0) k yk x 图象经过点C，且=1 BEF S，则k的值 为 . 题型五：几何图形中动点折叠问题题型五：几何图形中动点折叠问题 例例 5.（2019衡阳）衡阳）如图，在等边ABC 中，AB6cm，动点 P 从点 A 出发以 lcm/s 的速度沿 AB 匀速 运动动点 Q 同时从点 C 出发以同
6、样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动，当点 P 到达点 B 时，点 P、Q 同时停止运动设运动时间为以 t（s） 过点 P 作 PEAC 于 E，连接 PQ 交 AC 边于 D以 CQ、CE 为边 作平行四边形 CQFE （1）当 t 为何值时，BPQ 为直角三角形； （2）是否存在某一时刻 t，使点 F 在ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理 由； （3）求 DE 的长； （4）取线段 BC 的中点 M，连接 PM，将BPM 沿直线 PM 翻折，得BPM，连接 AB，当 t 为何 值时，AB的值最小？并求出最小值 题型六：函数图象中动点折叠问题题型六：函数图象中动
7、点折叠问题 例例 6.（2019湖州）湖州）如图 1，已知在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，连接 AC，OA=3，tanOAC= 3 3 ，D 是 BC 的中点. （1）求 OC 的长和点 D 的坐标； （2）如图 2，M 是线段 OC 上的点，OM= 2 3 OC，点 P 是线段 OM 上的一个动点，经过 P、D、B 三点 的抛物线交 x 轴的正半轴于点 E，连接 DE 交 AB 于点 F. 将DBF 沿 DE 所在的直线翻折，若点 B 恰好落在 AC 上，求此时 BF 的长和点 E 的坐标； 以线段 DF 为边，在 DF 所在直线的右上方作等边DFG，当动点 P 从点 O 运动到点 M 时，点 G 也 随之运动，请直接写出点 G 运动路径的长.