2020年广东省广州市从化区中考数学一模试卷（含答案解析）

1、2020 年广东省广州市从化区中考数学一模试卷年广东省广州市从化区中考数学一模试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1|的值是（ ） A5 B C D5 2下列几何体的三视图相同的是（ ） A圆柱 B球 C圆锥 D长方 体 3函数中 y自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 4下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 5已知 x1、x2为一元二次方程 x2bx30 的两个实数根，且 x1+x22，则（ ） Ax11，x23 Bx11，x23 Cx11，x23 Dx11，x23 6下列运算错误的是（ ） Aa2+a2a4 Ba4aa

2、3 C D 7疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极 参加献爱心活动，该班 50 名学生的捐款统计情况如下表： 金额/元 5 10 20 50 100 人数 6 17 14 8 5 则他们捐款金额的众数和中位数分别是（ ） A100，10 B10，20 C17，10 D17，20 8 如图， 点 A、 B、 C 在O 上， 若BAC45， OB2， 则图中阴影部分的面积为 （ ） A4 B C2 D 9 九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈 三：人出七，不足四问人数，物价各几何？意思是：现有一些人共同买一个物品，每 人

3、出 8 元，还盈余 3 元；每人出 7 元，则还差 4 元问共有多少人？这个物品的价格是 多少？设共有 x 人，物品的价格为 y 元，可列方程组为（ ） A B C D 10 定义一个新运算， 若 i1i， i21， i3i， i41， i5i， i61， i7i， i81， ， 则 i2020（ ） Ai Bi C1 D1 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11因式分解：b216 12 “嫦娥一号”卫星顺利进入绕月工作轨道，行程约有 1800000 千米，1800000 这个数用 科学记数法可以表示为 13 如图， 有一块含有 60角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上 如果11

4、8， 那么2 的度数是 14已知直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 M，N 是直线 l 上的两点，如果NBA15， MBA45，则MAN 15如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM4 米， AB8 米，MAD45，MBC30，则警示牌的高 CD 为 米（结果精确到 0.1，参考数据：1.41，1.73） 16下列关于函数 yx24x+6 的四个命题： 当 x2 时，y 有最大值 2； 若函数图象过点（a，m0）和（b，m0+1） ，其中 a0，b2，则 ab； m 为任意实数，x2m 时的函数值大于 x2+m 时的函数值； 若 m2，且 m 是整数，当 m

5、xm+1 时，y 的整数值有（2m2）个 上述四个命题中，其中真命题是 （填写所有真命题的序号） 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 17解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 18如图，点 D，E 在ABC 的边 BC 上，ABAC，BDCE求证：ADAE 19随着“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某数学兴趣小组随机调查了我区 50 名 教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整） ： 步数 频数 频率 0x4000 8 0.16 4000x8000 15 0.3 8000x12000 12 a 12000x16000 b 0.2 16000x200

6、00 3 0.06 20000x24000 2 0.04 请根据以上信息，解答下列问题： （1）写出 a，b 的值并补全频数分布直方图； （2） 我市约有 5000 名教师， 用调查的样本数据估计日行走步数超过 12000 步 （包含 12000 步）的教师有多少名？ （3）若在 50 名被调查的教师中，选取日行走步数超过 16000 步（包含 16000 步）的两 名教师与大家分享心得，用树形图或列表法求被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包 含 20000 步）以上的概率 20随着“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行 车商家带来商机 某自行车行经营

7、的 A 型自行车去年销售总额为 80 万元 今年该 A 型自 行车每辆售价预计比去年降低 0.02 万元若 A 型车的销售数量与去年相同，那么今年的 销售总额将比去年减少 10%，求： （1）今年经营的 A 型自行车销售总额是多少万元？ （2）A 型自行车去年每辆售价多少万元； 21如图，在ABCD 中，已知 ADAB且 AB5 （1）作BAD 的平分线交 BC 于点 E，在 AD 上截取 AFAB，连接 EF； （保留作图痕 迹，不写作法） （2）若四边形 ABEF 的周长为 a，求 a 的值 （3）根据（2） ，先化简 W（a+2）2（a2+1） ，再求 W 的值 22如图，AB 为O 的

8、直径，C、D 为O 上的两点，BACDAC，过点 C 作直线 EF AD，交 AD 的延长线于点 E，连接 BC （1）求证：EF 是O 的切线； （2）若 DE1，BC2，求劣弧的长 l 23 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 一次函数 yx+b 的图象与反比例函数（k0） 的图象相交于 A，B 两点，与 x 轴相交于点 C（4，0） ，且点 B（3，n） ，连接 OB （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求BOC 的面积； （3）将直线 AB 向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明 直线 AB 向下平移了几个单位长度？ 24如图（1） ，已知正方形

9、ABCD，E 是线段 BC 上一点，N 是线段 BC 延长线上一点，以 AE 为边在直线 BC 的上方作正方形 AEFG （1）连接 GD，求证：DGBE； （2）连接 FC，求FCN 的度数； （3）如图（2） ，将图（1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，ABm，BCn（m、n 为 常数） ，E 是线段 BC 上一动点（不含端点 B、C） ，以 AE 为边在直线 BC 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G 恰好落在射线 CD 上判断当点 E 由 B 向 C 运动时，FCN 的大小是 否总保持不变？若FCN 的大小不变，请用含 m、n 的代数式表示 tanFCN 的值；若 FCN 的大小

10、发生改变，请画图说明 25如图，在直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA1tanBAO3， 将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90， 得到DOC，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A、B、 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t， 设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求出当CEF 与COD 相似时，点 P 的坐标； 是否存在一点 P，使PCD 得面积最大？若存在，求出PCD 的面积的最大值；若不 存在，请说明理由 2020 年广东省广州市从化区中考数学一模试卷年广东省广州市从化区中考数学

11、一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1|的值是（ ） A5 B C D5 【分析】绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对 值是 0 【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得：|， 故选：C 2下列几何体的三视图相同的是（ ） A圆柱 B球 C圆锥 D长方 体 【分析】找出圆柱，球，圆锥，以及长方体的三视图，即可做出判断 【解答】解：A、圆柱的三视图，如图所示，不合题意； B、球的三视图，如图所示，符合题意； C、圆锥的三视图，如图所示，不合题意； D、长方体的三视图，如图所示，不合题意； 故选：B

12、 3函数中 y自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x20， 解得 x2 故选：A 4下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意 故选：C 5已知 x1、x2为一元二次方程 x2bx30

13、 的两个实数根，且 x1+x22，则（ ） Ax11，x23 Bx11，x23 Cx11，x23 Dx11，x23 【分析】利用根与系数的关系可求出 b 值，将 b 值代入原方程，利用因式分解法解方程 即可得出结论 【解答】解：x1、x2为一元二次方程 x2bx30 的两个实数根， x1+x2b2， 原方程为 x22x30，即（x+1） （x3）0， 解得：x11，x23 故选：D 6下列运算错误的是（ ） Aa2+a2a4 Ba4aa3 C D 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的除法运算法则、分式的加减运算分别 判断得出答案 【解答】解：A、a2+a22a2，原式计算错误，符合题意

14、； B、a4aa3，正确，不合题意； C、1，正确，不合题意； D、+，正确，不合题意； 故选：A 7疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极 参加献爱心活动，该班 50 名学生的捐款统计情况如下表： 金额/元 5 10 20 50 100 人数 6 17 14 8 5 则他们捐款金额的众数和中位数分别是（ ） A100，10 B10，20 C17，10 D17，20 【分析】根据众数，中位数的定义判断即可 【解答】解：捐款金额的众数为 10， 中位数20， 故选：B 8 如图， 点 A、 B、 C 在O 上， 若BAC45， OB2， 则图中阴影部分的面积

15、为 （ ） A4 B C2 D 【分析】先证得三角形 OBC 是等腰直角三角形，通过解直角三角形求得 BC 和 BC 边上 的高，然后根据 S阴影S扇形OBCSOBC即可求得 【解答】解：BAC45， BOC90， OBC 是等腰直角三角形， OB2， OBC 的 BC 边上的高为：OB， BC2 S阴影S扇形OBCSOBC22， 故选：C 9 九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈 三：人出七，不足四问人数，物价各几何？意思是：现有一些人共同买一个物品，每 人出 8 元，还盈余 3 元；每人出 7 元，则还差 4 元问共有多少人？这个物品的价格是 多少？设

16、共有 x 人，物品的价格为 y 元，可列方程组为（ ） A B C D 【分析】根据“每人出 8 元，还盈余 3 元；每人出 7 元，则还差 4 元” ，即可得出关于 x， y 的二元一次方程组，此题得解 【解答】解：依题意，得： 故选：A 10 定义一个新运算， 若 i1i， i21， i3i， i41， i5i， i61， i7i， i81， ， 则 i2020（ ） Ai Bi C1 D1 【分析】直接利用已知数据变化规律进而得出答案 【解答】解：i1i，i21，i3i，i41，i5i，i61，i7i，i81， 每 4 个数据一循环， 20204505， i2020i41 故选：D 二填

17、空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11因式分解：b216 （b+4） （b4） 【分析】直接利用平方差公式进行分解即可 【解答】解：原式（b+4） （b4） ， 故答案为： （b+4） （b4） 12 “嫦娥一号”卫星顺利进入绕月工作轨道，行程约有 1800000 千米，1800000 这个数用 科学记数法可以表示为 1.8106 【分析】 用科学记数法表示较大的数时， 一般形式为 a10n， 其中 1|a|10， n 为整数， 据此判断即可 【解答】解：18000001.8106 故答案是：1.8106 13 如图， 有一块含有 60角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上 如果118

18、， 那么2 的度数是 12 【分析】根据三角形内角和定理可得1+330，则3301812，由于 ABCD，然后根据平行线的性质即可得到2312 【解答】解：如图， 1+3906030， 而118， 3301812， ABCD， 2312 故答案为 12 14已知直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 M，N 是直线 l 上的两点，如果NBA15， MBA45，则MAN 60或 30 【分析】根据题意画出图形，分点 M、N 在线段 AB 的异侧与点 M、N 在线段 AB 的同侧 两种情况进行讨论 【解答】解：如图 1 所示，M、N 是线段 AB 的垂直平分线上的两点， NANB，MAMB， N

19、BANAB15，MBAMAB45， MANNAB+MAB15+4560 如图 2 所示，同理可得MANMABNAB451530 故答案为：60或 30 15如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM4 米， AB8 米，MAD45，MBC30，则警示牌的高 CD 为 2.9 米（结果精确到 0.1，参考数据：1.41，1.73） 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得 DMAM4m，再根据勾股定理可得 MC2+MB2（2MC）2，代入数可得答案 【解答】解：由题意可得：AM4 米，MAD45， DM4m， AM4 米，AB8 米， MB12 米， MBC30， B

20、C2MC， MC2+MB2（2MC）2， MC2+122（2MC）2， MC4， 则 DC442.9（米） ， 故答案为：2.9 16下列关于函数 yx24x+6 的四个命题： 当 x2 时，y 有最大值 2； 若函数图象过点（a，m0）和（b，m0+1） ，其中 a0，b2，则 ab； m 为任意实数，x2m 时的函数值大于 x2+m 时的函数值； 若 m2，且 m 是整数，当 mxm+1 时，y 的整数值有（2m2）个 上述四个命题中，其中真命题是 （填写所有真命题的序号） 【分析】分别根据二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物线的增 减性对各选项进行逐一分析 【解答】解：

21、yx24x+6（x2）2+2， 当 x2 时，y 有最小值 2，故错误； 当 x2+m 时，y（2+m）24（2+m）+6， 当 x2m 时，y（m2）24（m2）+6， （2+m）24（2+m）+6（m2）24（m2）+60， m 为任意实数，x2+m 时的函数值等于 x2m 时的函数值，故错误； 抛物线 yx24x+6 的对称轴为 x20， 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，x2 时，y 随 x 的增大而减小， a0，b2， ab；故正确； 抛物线 yx24x+6 的对称轴为 x2，a10， 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大， 当 xm+1 时，y（m+1）24（m+1）+6，

22、 当 xm 时，ym24m+6， （m+1）24（m+1）+6m24m+62m3， m 是整数， 2m2 是整数， y 的整数值有（2m2）个；故正确 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 17解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可 【解答】解： 解不等式得：x4， 解不等式得：x1， 不等式组的解集为 1x4， 在数轴上表示为： 18如图，点 D，E 在ABC 的边 BC 上，ABAC，BDCE求证：ADAE 【分析】 利用等腰三角形的性质得到BC， 然后证明ABDACE即可证得结论 【解答】证明：ABAC， BC，

23、在ABD 与ACE 中， ， ABDACE（SAS） ， ADAE 19随着“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某数学兴趣小组随机调查了我区 50 名 教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整） ： 步数 频数 频率 0x4000 8 0.16 4000x8000 15 0.3 8000x12000 12 a 12000x16000 b 0.2 16000x20000 3 0.06 20000x24000 2 0.04 请根据以上信息，解答下列问题： （1）写出 a，b 的值并补全频数分布直方图； （2） 我市约有 5000 名教师， 用调查的样本数据估计日

24、行走步数超过 12000 步 （包含 12000 步）的教师有多少名？ （3）若在 50 名被调查的教师中，选取日行走步数超过 16000 步（包含 16000 步）的两 名教师与大家分享心得，用树形图或列表法求被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包 含 20000 步）以上的概率 【分析】 （1）根据频率频数总数可得 a、b 的值； （2）用总人数乘以样本中第 4、5、6 组的频率之和即可得； （3）步数超过 16000 步（包含 16000 步）的三名教师用 A、B、C 表示，步数超过 20000 步（包含 20000 步）的两名教师用 a、b 表示，画树状图列出所有等可能结果，从中

25、找到 符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得 【解答】解： （1）a12500.24，b500.210， 补全频数分布直方图如下： （2）5000（0.2+0.06+0.04）1500， 答：估计日行走步数超过 12000 步（包含 12000 步）的教师有 1500 名； （3）步数超过 16000 步（包含 16000 步）的三名教师用 A、B、C 表示，步数超过 20000 步（包含 20000 步）的两名教师用 a、b 表示， 画树状图为： 共有 20 种等可能的结果数，其中被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000 步） 以上的结果数为 2， 所以被选取的两名教师恰

26、好都在 20000 步（包含 20000 步）以上的概率 20随着“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行 车商家带来商机 某自行车行经营的 A 型自行车去年销售总额为 80 万元 今年该 A 型自 行车每辆售价预计比去年降低 0.02 万元若 A 型车的销售数量与去年相同，那么今年的 销售总额将比去年减少 10%，求： （1）今年经营的 A 型自行车销售总额是多少万元？ （2）A 型自行车去年每辆售价多少万元； 【分析】 （1）由今年的销售总额将比去年减少 10%，可求解 （2）设去年 A 型车每辆售价 x 万元，则今年售价每辆为（x0.02）万元，由卖出的数

27、量 相同建立方程求出其解即可； 【解答】解： （1）今年经营的 A 型自行车销售总额80（110%）72 万元； （2）设去年 A 型车每辆售价 x 万元，则今年售价每辆为（x0.02）万元， 由题意得：， 解得：x0.2， 经检验，x0.2 是原方程的根， 答：去年 A 型车每辆售价 0.2 万元 21如图，在ABCD 中，已知 ADAB且 AB5 （1）作BAD 的平分线交 BC 于点 E，在 AD 上截取 AFAB，连接 EF； （保留作图痕 迹，不写作法） （2）若四边形 ABEF 的周长为 a，求 a 的值 （3）根据（2） ，先化简 W（a+2）2（a2+1） ，再求 W 的值 【

28、分析】 （1）利用尺规，根据要求作出图形即可 （2）证明四边形 ABEF 是菱形即可解决问题 （3）先利用乘法公式化简，再代入求值即可 【解答】解： （1）如图，线段 EF 即为所求 （2）AE 平分BAD， EABEAF， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， EAFAEB， BAEBEA， BABE， AFAB， AFBE， 四边形 ABEF 是平行四边形， ABAF， 四边形 ABEF 是菱形， 四边形 ABEF 的周长为 a4AB20 （3）W（a+2）2（a2+1）a2+4a+4（a2+1）4a+3， a20， W420+383 22如图，AB 为O 的直径，C、D 为O 上

29、的两点，BACDAC，过点 C 作直线 EF AD，交 AD 的延长线于点 E，连接 BC （1）求证：EF 是O 的切线； （2）若 DE1，BC2，求劣弧的长 l 【分析】 （1）连接 OC，根据等腰三角形的性质得到OACDAC，求得DAC OCA，推出 ADOC，得到OCFAEC90，于是得到结论； （2）连接 OD，DC，根据角平分线的定义得到DACOAC，根据三角函数的定义得 到ECD30，得到OCD60，得到BOCCOD60，OC2，于是得到 结论 【解答】 （1）证明：连接 OC， OAOC， OACDAC，DACOCA， ADOC， AEC90，OCFAEC90， EF 是O

30、的切线； （2）连接 OD，DC， DACDOC，OACBOC， DACOAC， DOCBOC， CDCB2，ED1， sinECD， ECD30， OCD60， OCOD， DOC 是等边三角形， BOCCOD60，OC2， l 23 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 一次函数 yx+b 的图象与反比例函数（k0） 的图象相交于 A，B 两点，与 x 轴相交于点 C（4，0） ，且点 B（3，n） ，连接 OB （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求BOC 的面积； （3）将直线 AB 向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明 直线 AB 向下平移了几个

31、单位长度？ 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）BOC 的面积OCBD412； （3）直线 AB 向下平移 m 个单位后和反比例函数只有一个公共点，则x+4m，整 理得：x2+（m4）x+30，b24ac0，即可求解 【解答】解： （1）将点 C 的坐标代入一次函数表达式 yx+b 并解得：b4， 故一次函数的表达式为：yx+4， 将点 B 的坐标代入 yx+4 得：n3+41，故点 B（3，1） ， 将点 B 的坐标代入反比例函数表达式并解得：k3， 故反比例函数表达式为：y； （2）过点 B 作 BDx 轴于点 D， 则BOC 的面积OCBD412； （3）将直线 AB 向下平移

32、 m 个单位（m0）得到直线的表达式为：yx+4+m， 直线 AB 向下平移 m 个单位后和反比例函数只有一个公共点，则x+4m，整理 得：x2+（m4）x+30， b24ac（m4）24130，解得：m42， 故直线 AB 向下平移了 4+2或2个程度单位 24如图（1） ，已知正方形 ABCD，E 是线段 BC 上一点，N 是线段 BC 延长线上一点，以 AE 为边在直线 BC 的上方作正方形 AEFG （1）连接 GD，求证：DGBE； （2）连接 FC，求FCN 的度数； （3）如图（2） ，将图（1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，ABm，BCn（m、n 为 常数） ，E 是

33、线段 BC 上一动点（不含端点 B、C） ，以 AE 为边在直线 BC 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G 恰好落在射线 CD 上判断当点 E 由 B 向 C 运动时，FCN 的大小是 否总保持不变？若FCN 的大小不变，请用含 m、n 的代数式表示 tanFCN 的值；若 FCN 的大小发生改变，请画图说明 【分析】 （1）根据全等三角形判定方法进行证明即可得出BAEDAG，进而得到 DG BE （2）作 FHMN 于 H先证ABEEHF，得到对应边相等，从而推出CHF 是等 腰直角三角形，即可得到FCH 的度数 （3）本题也是通过构建直角三角形来求度数，作 FHMN 于 H，依据全等三角形

34、的性 质以及相似三角形的性质，即可得到 tanFCN 【解答】解： （1）证明：四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形， ABAD，AEAG，BADEAG90， BAE+EADDAG+EAD， BAEDAG， BAEDAG DGBE； （2）如图，作 FHMN 于 H， AEFABE90， BAE+AEB90，FEH+AEB90， FEHBAE， 又AEEF，EHFEBA90， EFHABE， FHBE，EHABBC， CHBEFH， FCNCFH（180FHC） ， FHC90， FCN45 （3）当点 E 由 B 向 C 运动时，FCN 的大小总保持不变，理由如下： 如图，作 FH

35、BN 于 H，由已知可得EAGBADAEF90， 结合（1） （2）得FEHBAEDAG， 又G 在射线 CD 上，GDAEHFEBA90， EFHGAD，EFHABE， EHADBCn， CHBE， ； 在 RtFEH 中，tanFCN， 当点 E 由 B 向 C 运动时，FCN 的大小总保持不变，tanFCN 25如图，在直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA1tanBAO3， 将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90， 得到DOC，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A、B、 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t， 设抛

36、物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求出当CEF 与COD 相似时，点 P 的坐标； 是否存在一点 P，使PCD 得面积最大？若存在，求出PCD 的面积的最大值；若不 存在，请说明理由 【分析】 （1）由三角函数的定义可求得 OB，再结合旋转可得到 A、B、C 的坐标，利用 待定系数法可求得抛物线解析式； （2）COD 为直角三角形，可知当CEF 与COD 相似时有两种情况，即FEC 90或EFC90，当 PECE 时，则可得抛物线的顶点满足条件，当 PECD 时， 过 P 作 PGx 轴于点 G，可证PGECOD，利用相似三角形的性质可得到关于 t 的 方程

37、，可求得 P 点坐标；可求得直线 CD 的解析式，过 P 作 PNx 轴于点 N，交 CD 于点 M，可用 t 表示出 PM 的长，当 PM 取最大值时，则PCD 的面积最大，可求得其 最大值 【解答】解： （1）OA1tanBAO3， 3，解得 OB3， 又由旋转可得 OBOC3， A（1，0） ，B（0，3） ，C（3，0） ， 设抛物线解析式为 yax2+bx+c，把 A、B、C 三点的坐标代入可得 ，解得， 抛物线解析式为 yx22x+3， （2）由（1）可知抛物线对称轴为 x1，顶点坐标为（1，4） ， COD 为直角三角形， 当CEF 与COD 相似时有两种情况，即FEC90或EF

38、C90， 若FEC90，则 PECE， 对称轴与 x 轴垂直， 此时抛物线的顶点即为满足条件的 P 点，此时 P 点坐标为（1，4） ； 若EFC90，则 PECD， 如图，过 P 作 PGx 轴于点 G， 则GPE+PEGDCO+PEG， GPEOCD，且PGECOD90， PGECOD， ， E（1，0） ，G（t，0） ，且 P 点横坐标为 t， GE1t，PGt22t+3， ，解得 t2 或 t3， P 点在第二象限， t0，即 t2， 此时 P 点坐标为（2，3） ， 综上可知满足条件的 P 点坐标为（1，4）或（2，3） ； 设直线 CD 解析式为 ykx+m， 把 C、D 两点坐标代入可得，解得， 直线 CD 解析式为 yx+1， 如图 2，过 P 作 PNx 轴，交 x 轴于点 N，交直线 CD 于点 M， P 点横坐标为 t， PNt22t+3，MNt+1， P 点在第二象限， P 点在 M 点上方， PMPNMNt22t+3（t+1）t2t+2（t+）2+， 当 t时，PM 有最大值，最大值为， SPCDSPCM+SPDMPMCN+PMNOPMOCPM， 当 PM 有最大值时，PCD 的面积有最大值， （SPCD）max， 综上可知存在点 P 使PCD 的面积最大，PCD 的面积有最大值为