1、 【方法综述】【方法综述】 此类问题以营销问题为背景，通过各种数学知识的结合，考察和二次函数最值和自变量此类问题以营销问题为背景，通过各种数学知识的结合，考察和二次函数最值和自变量 取值范围有关的问题。首先，考察有关利润的函数模型的构造，解答方法是通过利润公式根取值范围有关的问题。首先，考察有关利润的函数模型的构造，解答方法是通过利润公式根 据题意找出等量关系；其次考察函数的最值计算、判断，解答方法是通过二次函数特性找到据题意找出等量关系；其次考察函数的最值计算、判断，解答方法是通过二次函数特性找到 函数的最值或在一定自变量范围内函数值的最值；再次通常考察利润在一定范围内时对应的函数的最值或在
2、一定自变量范围内函数值的最值；再次通常考察利润在一定范围内时对应的 自变量取值范围，解答方法通常采用通过数形结合思想，画出函数图象根据题意找到答案。自变量取值范围，解答方法通常采用通过数形结合思想，画出函数图象根据题意找到答案。 【典例示范】【典例示范】 类型一常规盈利问题类型一常规盈利问题 例例 1：（2019 湖北宜昌）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过 程下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 （万元）与销售时间 （月）之间的关系 （即前 个月的利润总和 和 之间的关系） 根据图象提供的信息，解答下列问题： 由已知图象上的三点坐标，求
3、累积利润 （万元）与时间 （月）之间的函数关系式； 求截止到几月末公司累积利润可达到万元； 求第 个月公司所获利润是多少万元？ 【答案】 （1）； （2）截止到月末公司累积利润可达万元； （3）万元 2）22，即 S= t22t 答：累积利润 S 与时间 t 之间的函数关系式为：S= t22t； （2）把 S=30 代入 S= （t2）22，得： （t2）22=30 解得：t1=10，t2=6（舍去） 学科*网 答：截止到 10 月末公司累积利润可达 30 万元 针对训练针对训练 1(2018 宁波)根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润 y1（千元）与进货量 x （吨
4、） 近似满足函数关系 y1=0.25x， 乙种水果的销售利润 y2（千元） 与进货量 x （吨） 之间的函数 y2=ax2+bx+c 的图象如图所示 （1）求出 y2与 x 之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共 8 吨，设乙水果的进货量为 t 吨，写出这两种水果所获得的销售 利润之和 W（千元）与 t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最 大，最大利润是多少？ 【答案】 （1）y2= x2+ x； （2）w= （t4）2+6，t=4 时，w 的值最大，最大值为 6， 两种水果各进 4 吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是 6 千元 【解
5、析】解： （1）函数 y2=ax2+bx+c 的图象经过（0，0） ， （1，2） ， （4，5） ，解得： ，y2= x2+ x （2）w = y1+y2= （8t） t2+ t= （t4）2+6，t=4 时，w 的值最大，最大值为 6， 两种水果各进 4 吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是 6 千元学科&网 2 （2019 泰州姜堰区期末）某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是 40 元，若每箱售价 60 元，每 星期可卖 180 箱为了促销，该水果店决定降价销售市场调查反映:若售价每降价 1 元，每星期可多卖 10 箱设该苹果每箱售价 x 元（40x60） ，每星期的销售量为 y
6、 箱 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到 3570 元？ （3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元? 【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为 59 元时，利润最大，为 3610 元 （3）设每星期的利润为 w， W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610, -100,二次函数向下,函数有最大值, 当 x=59 时, 利润最大，为 3610 元. 3 （2019 安徽阜阳期末）某企业生产了一款健身器材，可通过实体店和网上商店两种途径进行销售，销售 了一段时间后，该企
7、业对这种健身器材的销售情况进行了为期 30 天的跟踪调查，其中实体店的日销售量 y1(套)与时间 x(x 为整数，单位:天)的部分对应值如下表所示: 时间 x(天) 0 5 10 15 20 25来源:学&科&网 30 日销售量 y(套) 0 25 40 45 40 25 0 (1)求出 y1与 x 的二次函数关系式及自变量 x 的取值范围 (2) 若 网 上 商 店 的 日 销 售 量y2( 套 ) 与 时 间x(x为 整 数 ， 单 位 : 天 ) 的 函 数 关 系 为 ，则在跟踪调查的 30 天中，设实体店和网上商店的日销售总量为 y(套), 求 y 与 x 的函数关系式；当 x 为何
8、值时，日销售总量 y 达到最大，并写出此时的最大值. 【答案】 （1）， （0x30，且为整数） ； （2）当 x=30 时，y 取得最大值 360. （2）依题意有 y=y1+y2， 当 0x10 时， , 当 x=10 时，y 取得最大值 80； 当 100，学科*网 当 x9 时，W 随 x 的增大而增大， 11x15， 当 x=15 时，W最大=10650； 解法二：根据题意可得 B 产品的采购单价可表示为： y2=-10（20-x）+1300=10x+1100， 则 A、B 两种产品的每件利润可分别表示为： 1760-y1=20x+260， 1700-y2=-10x+600， 则当
9、20x+260-10x+600 时，A 产品的利润高于 B 产品的利润， 即时，A 产品越多，总利润越高， 11x15， 当 x=15 时，总利润最高， 此时的总利润为（20 15+260） 15+（-10 15+600） 5=10650 答：采购 A 种产品 15 件时总利润最大，最大利润为 10650 元 7.某公司销售一种新型节能产品， 现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售 若只在国内销售， 销售价格 （元/件）与月销量 （件）的函数关系式为，成本为元/件，无论销售多少，每 月还需支出广告费元，设月利润为（元） 若只在国外销售，销售价格为元/件，受各种不确定因素影响，成本为
10、元/件为常数，当 月销量为 （件）时，每月还需缴纳元的附加费，设月利润为（元） 当时，_元/件； 分别求出，与 之间的函数关系式； 如果某月要求将件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售，才能 使所获月利润较大？ 【答案】140 8.企业的污水处理有两种方式：一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处 理某企业去年每月的污水量均为 12000 吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资 自建设备处理污水， 两种处理方式同时进行 1至6 月， 该企业向污水厂输送的污水量 y1（吨） 与月份x （1x6， 且 x 取整数）之间满足的函数
11、关系如下表： 月份 x（月） 1 2 3 4 5 6来源:学科网 ZXXK 输送的污水量 y1（吨） 12000来源:学科网 6000 4000 3000 2400 2000 7 至 12 月，该企业自身处理的污水量 y2（吨）与月份 x（7x12，且 x 取整数）之间满足二次函数关系式 为 y2=ax2+c（a0） 其图象如图所示1 至 6 月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份 x 之间满足 函数关系式： z1= x， 该企业自身处理每吨污水的费用： z2（元） 与月份 x 之间满足函数关系式： z2= xx2； 7 至 12 月，污水厂处理每吨污水的费用均为 2 元，该企业自身处
12、理每吨污水的费用均为 1.5 元 （1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出 y1，y2与 x 之间的函数关系式； （2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用 W（元）最多，并求出这个最多费用 【答案】 （1）y1=（1x6，且 x 取整数） ；y2=x2+10000（7x12，且 x 取整数） ； （2）去年 5 月用于 污水处理的费用最多，最多费用是 22000 元； 故 y2=x2+10000（7x12，且 x 取整数） ； （2）当 1x6，且 x 取整数时： W=y1z1+（12000y1）z2= x+（12000）（ xx2） ， =1000x2+10000x3000， a=10000，x=5，1x6，