1、 【方法综述】【方法综述】 本类型主要研究二次函数背景下的图形变换。因为图形的平移、折叠和旋转是许多数学本类型主要研究二次函数背景下的图形变换。因为图形的平移、折叠和旋转是许多数学 问题进行命题的基础，因此这类问题大量存在，并且和其它问题相交织。问题进行命题的基础，因此这类问题大量存在，并且和其它问题相交织。 二次函数背景下的图形变换主要分成两类：二次函数背景下的图形变换主要分成两类： 一个是二次函数图象的图形变换，此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式一个是二次函数图象的图形变换，此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式 表示抛物线顶点的变化，从而降低因图形变换函数关系式的表示
2、难度。表示抛物线顶点的变化，从而降低因图形变换函数关系式的表示难度。 另一类，是以二次函数为背景的几何图形变换。对于此类问题首先要掌握每一种图形变另一类，是以二次函数为背景的几何图形变换。对于此类问题首先要掌握每一种图形变 换的性质，并应用这些性质结合已知条件构成换的性质，并应用这些性质结合已知条件构成方程解决问题。方程解决问题。 【典例示范】【典例示范】 类型一、二次函数为背景的平移变换类型一、二次函数为背景的平移变换 例 1： （2018 年中考专题训练）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为 . （1）求抛物线的解析式； （2）将绕点 顺时针旋转后，点 落在点 的位置，将抛物线沿 轴平移后经
3、过点 ，求平移后所得 图象的函数关系式；来源:学 作 A 点关于 x 轴的对称点 A（0，2） ，连接 AB, 设直线 AB 解析式 y=kx+b, 根据题意得：, 解得：k=5，b=2 直线 AB 的解析式 y=5x+2； 当 y=0 时，x=， P（ ，0） ； C（1+m，3， ） ，O（0，0） ， 直线 CO 解析式 y=x， O，C，D 三点共线， =， 解得：m1=0（不合题意舍去） ，m2=3，m3=2； 向右平移 2 个单位长度，或向左平移 3 个单位长度，O，C，D 三点共线 平移距离为 2 或 3. 9 （吉林长春二模）已知抛物线 C：y=x22x+1 的顶点为 P，与
4、y 轴的交点为 Q，点 F（1， ） （1）求 tanOPQ 的值； （2）将抛物线 C 向上平移得到抛物线 C，点 Q 平移后的对应点为 Q，且 FQ=OQ 求抛物线 C的解析式； 若点 P 关于直线 QF 的对称点为 K，射线 FK 与抛物线 C相交于点 A，求点 A 的坐标 【答案】（1）1； （2）y=x22x+ ， ；A（ ，） 方法一：设点 A（x0，y0） ，则 y0=x022x0+ ， 过点 A 作 x 轴的垂线，与直线 QF 相交于点 N，则可设 N（x0，n） ， AN=y0n，其中 y0n， 连接 FP， FP=FK，有PFN=AFN， ANF=AFN，则 AF=AN，
5、A（x0，y0），F（1， ）， AF2=（x01）2+（y0）2=x022x0+1+y02y0+ =x022x0+ +y02y0=（x022x0+）+y02 y0， y0=x022x0+ ，学科*网 将右边整体代换得，AF2=（x022x0+ ）+y02y0=y0+y02y0=y02， y00， AF=y0， y0=y0n，来源:学+科+网Z+X+X+K n=0， N（x0，0）， 将 x0= 代入 y0=x22x0+ ， y0=， A（ ，） 学科(2) 顶点坐标为（1，-4）, x 轴相交于点（-1，0）和点（3，0）;(3) m=1 或 m= (2)k1，且 k 取最小的整数， k=0
6、. (3)翻折后所得新图象如图所示， 平移直线 y=x+m 知：直线位于 和 时，它与新图象有三个不同的公共点， 当直线位于 时,此时 过点 A(1,0)， 0=1+m，即 m=1. 当直线位于 时,此时 与函数的图象有一个公共点 方程即有两个相等实根， =14(m3)=0,即 学科(2) y= （x+1） （x4）= x2+ x+2;(3)见解析. 【解析】解： （1） SACD：SABD=3：5且ACD 和ABD 是等高的. . AB=5. 直线 y= x+m 与 x 轴交于 A 点， A（2m，0）. 点 A，点 B 关于对称轴 x= 对称. 2 （2m）=5. m= . A（1，0）
7、，且 AB=5. B（4，0）. （3）点 A 在直线 l 上，旋转后 A点落在直线 l 上， 点 A 与点 A重合，或者点 A 绕着点 P 旋转 180 . 当点 A 与点 A重合时，A（1，0）. 当点 A 绕着点 P 旋转 180 得到 A，点 C 绕着点 P 旋转 180 得到 C AP=AP，CP=CP. 如图 2: 设 C（a， a2+ a+2）. C（ 0，2） ，CP=CP. P（ a， a2+ a+2）. 点 P 在直线 l 上， a2+ a+2=a+ . P（，）. AP=AP. A（2，）.学科*网 综上所述 A（2，） ， （2+，） ， （1，0）. 针对训练针对训练
8、 1.（208 宁波市江北中学）已知直线，抛物线 当，时，求直线 与抛物线 的交点坐标； 当，时，将直线 绕原点逆时针旋转后与抛物线 交于 ， 两点（ 点在 点的左侧） ，求 ， 两点的坐标； 若将中的条件“”去掉，其他条件不变，且，求 的取值范围 【答案】(1) 直线 与抛物线 的交点坐标是或；(2) ， ；(3) 旋转后的直线的解析式为， 解得或， ，； 2 （广西玉林市 2018 届九年级中考三模）如图，抛物线 y=+bx+c 交 x 轴于点 A（2，0）和点 B， 交 y 轴于点 C（0，3） ，点 D 是 x 轴上一动点，连接 CD，将线段 CD 绕点 D 旋转得到 DE，过点 E
9、作直线 l x 轴，垂足为 H，过点 C 作 CFl 于 F，连接 DF （1）求抛物线解析式； （2）若线段 DE 是 CD 绕点 D 顺时针旋转 90 得到，求线段 DF 的长； （3）若线段 DE 是 CD 绕点 D 旋转 90 得到，且点 E 恰好在抛物线上，请求出点 E 的坐标 【答案】(1) 抛物线解析式为 y=；(2) DF=3；(3) 点 E 的坐标为 E1（4，1）或 E2（ ， ）或 E3（ ，）或 E4（，） （3）如图 2，设点 D 的坐标为（t，0） 学科&网 点 E 恰好在抛物线上，且 EH=OD，DHE=90 ，由（2）知，CODDHE，DH=OC，EH=OD，
10、分两种情况讨论： 综上所述：点 E 的坐标为 E1（4，1）或 E2（ ，）或 E3（，）或 E4（， ） 3 （华东师大版九年级数学下册第 26 章二次函数单元检测试卷）如图，在平面直角坐标系中，CDE 的顶 点 C 点坐标为 C（1，2） ，点 D 的横坐标为，将CDE 绕点 C 旋转到CBO，点 D 的对应点 B 在 x 轴 的另一个交点为点 A （1）图中，OCE 等于_； （2）求抛物线的解析式； （3）抛物线上是否存在点 P，使 S PAE = SCDE？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）BCD； （2）y= x2x ； （3）存在； （1+，1
11、）或（1，1）或（1+，1）或（1， 1） CD2=（1）2+（2n）2 ， CB2=（1m）2+22 ， DE2=（2）2+n2 ， （1）2+（2n）2=（1m）2+22 ， （2）2+n2=m2 ， m=3，n=， B（3，0） ， 设抛物线解析式为 y=a（x1）22， 把 B（3，0）代入得 4a2=0，解得 a= ， 抛物线解析式为 y= （x1）22，即 y= x2x ； 解方程 t2t =1 得 t1=1+，t2=1，此时 P 点坐标为（1+，1）或（1，1） ； 解方程 t2t =1 得 t1=1+，t2=1，此时 P 点坐标为（1+，1）或（1，1） ； 综上所述，满足条件
12、的 P 点坐标为（1+，1）或（1，1）或（1+，1）或（1，1） 4 （2018 年浙江省温州市苍南县中考一模）如图，ABCD 位于直角坐标系中，AB=2，点 D（0，1） ，以点 C 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 经过 x 轴正半轴上的点 A，B，CEx 轴于点 E （1）求点 A，B，C 的坐标 （2）将该抛物线向上平移 m 个单位恰好经过点 D，且这时新抛物线交 x 轴于点 M，N 求 MN 的长 点 P 是新抛物线对称轴上一动点， 将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60 得 AQ， 则 OQ 的最小值为 （直 接写出答案即可） 【答案】 （1）A（1，0） ，B（3，0）
13、，C（2，1） ； （2）MN； （2）由（1）知，抛物线的顶点 C（2，1） ， 设抛物线的解析式为 y=a（x2）2+1， A（1，0）在抛物线上， a（12）2+1=0， a=1，学科*网 抛物线解析式为 y=（x2）2+1， 该抛物线向上平移 m 个单位恰好经过点 D，设平移后的抛物线解析式为 y=（x2）2+1+m， D（0，1） ， （2）2+1+m=1， m=4， 平移后的抛物线解析式为 y=（x2）2+5， 令 y=0， 0=（x2）2+5， x=2， M（2+，0） ，N（2，0） ， MN=2； Q3（0，） ， 点 Q3在直线 Q1Q2上， 点 Q 的运动轨迹是直线 Q1
14、Q2， 当 OQQ1Q2时，OD 最短， Q1Q3=2 OD最小=， 故答案为 5 （北师大版九年级数学下册_第二章_二次函数_单元检测）在平面直角坐标系中（如图） ，已知抛物线 经过，顶点为 求该抛物线的表达方式及点 的坐标； 将中求得的抛物线沿 轴向上平移个单位，所得新抛物线与 轴的交点记为点 当时 等腰三角形时，求点 的坐标； 若点 在中求得的抛物线的对称轴上，联结，将线段绕点 逆时针转得到线段，若点恰 好落在中求得的抛物线上，求点 的坐标 【答案】（1）； 顶点 坐标为；（2）坐标为；（3）的坐标为， 【解析】 将 ， 坐标分别代入抛物线解析式得：， 解得：， 抛物线解析式为， 顶点
15、坐标为； 设，如图所示，过作轴，交 轴于点 ，过 作，垂足为 ， 易得， ， ， 四边形为矩形， ， 当时，代入抛物线解析式得：， 解得：或（舍去） ； 当时，代入抛物线解析式得：， 解得：（舍去）或， 综上得到或，学科*网 则 的坐标为， 6 （河南省 2018 届九年级中考数学二模）如图，直线 AB 的解析式为，抛物线 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点，点 P 是抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m 求抛物线的解析式； 如图，当点 P 在第一象限内的抛物线上时，求面积的最大值，并求此时点 P 的坐标； 过点 A 作直线轴，过点 P 作于点 H，将绕点 A 顺时针旋转，使点 H 的
16、对应点恰好落 在直线 AB 上，同时恰好落在坐标轴上，请直接写出点 P 的坐标 【答案】 （1）抛物线解析式为； （2）当时，面积有最大值，最大值为 8，此时 P 点坐标为； （3）P 点坐标为或； 抛物线解析式为； 在中， 当点 落在 x 轴上，如图 2，学&科网 绕点 A 顺时针旋转，使点 H 的对应点恰好落在直线 AB 上，同时恰好落在 x 轴上 ， ， ， ：OB，即：3， ， ， ，解得，舍去 ，此时 P 点坐标为； 当点 落在 y 轴上，如图 3， 7 （成都市郫都区 2017-2018 学年九年级下第二次诊断性检测数学）如图，顶点为 C 的抛物线 y=ax2+bx（a 0）经过点
17、 A 和 x 轴正半轴上的点 B，连接 OC、OA、AB，已知 OA=OB=2，AOB=120 （1）求这条抛物线的表达式； （2）过点 C 作 CEOB，垂足为 E，点 P 为 y 轴上的动点，若以 O、C、P 为顶点的三角形与AOE 相似， 求点 P 的坐标； （3） 若将 （2） 的线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE， 旋转角为 （0 120 ） ， 连接 EA、 EB， 求 EA+ EB 的最小值 【答案】(1) y=x2x； （2）点 P 坐标为（0，）或（0，） ； （3）. 将两点代入 y=ax2+bx 得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：y=x2-x； （2）如图，
18、（3）如图，取 Q（ ，0） 连接 AQ，QE ，QOE=BOE， OEQOBE， ， EQ= BE，学&科网 AE+ BE=AE+QE， AE+EQAQ， EA+ EB 的最小值就是线段 AQ 的长，最小值为 9 （四川省凉山州 2018 年中考）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为 . （1）求抛物线的解析式； （2）将绕点 顺时针旋转后，点 落在点 的位置，将抛物线沿 轴平移后经过点 ，求平移后所得 图象的函数关系式； （3） 设 （2） 中平移后， 所得抛物线与 轴的交点为， 顶点为， 若点 在平移后的抛物线上， 且满足 的面积是面积的 2 倍，求点 的坐标. 【答案】 （1）抛物线的解
19、析式为.（2）平移后的抛物线解析式为：.（3）点 的 坐标为或. 【解析】分析： （1）利用待定系数法，将点 A，B 的坐标代入解析式即可求得； （2）根据旋转的知识可得：A（1，0） ，B（0，2） ，OA=1，OB=2， 可得旋转后 C 点的坐标为（3，1） ，当 x=3 时，由 y=x2-3x+2 得 y=2，可知抛物线 y=x2-3x+2 过点（3，2） 将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点 C平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1； （2）,， 可得旋转后 点的坐标为. 当时，由得， 可知抛物线过点. 将原抛物线沿 轴向下平移 1 个单位长度后过点 . 平移后的抛物线解析式为：. （3）点 在上，可设 点坐标为， 将配方得，其对称轴为.由题得（0,1） 当时，如图， ， ， ， 此时， 点的坐标为.