1、 【方法综述】【方法综述】 特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一种种特殊三角形的基础上，特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一种种特殊三角形的基础上，此类问题此类问题 分为固定边的三角形计算与判定和三角形的分类讨论。分为固定边的三角形计算与判定和三角形的分类讨论。 直角三角形的分类讨论要对三边分别为斜边的情况分类讨论，主要应用直角的存在，并直角三角形的分类讨论要对三边分别为斜边的情况分类讨论，主要应用直角的存在，并 以此为条件利用勾股定理和三角形相似构造等式，同时还有可能应用隐形的圆中直径所对圆以此为条件利用勾股定理和三角形相似构造等式，同时还有可能应用隐形的圆中直径所对圆 周角
2、是直角的性质或其逆定理。周角是直角的性质或其逆定理。 等腰三角形的分类讨论主要在是当三角形的边为等腰三角形的腰和底边。对于定长线段等腰三角形的分类讨论主要在是当三角形的边为等腰三角形的腰和底边。对于定长线段 为腰时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为腰时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为圆心，定长线段为半径作圆，分为圆心，定长线段为半径作圆，分 别找到满足条件的点，再由勾股定理或相似三角形进行计算或构造方程解决问题。当讨论某别找到满足条件的点，再由勾股定理或相似三角形进行计算或构造方程解决问题。当讨论某 一条边为等腰三角形的底边是，往往所求第三个顶点在该边的垂直平分线上，
3、通过做线段垂一条边为等腰三角形的底边是，往往所求第三个顶点在该边的垂直平分线上，通过做线段垂 直平分线，利用线段垂直平分线的性质以构造方程，以解决问题。直平分线，利用线段垂直平分线的性质以构造方程，以解决问题。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 固定边的直角三角形判定固定边的直角三角形判定 例例 1：如图所示，已知抛物线的图像经过点 A(1,0),B(0,5), （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 C,求出点 C 的坐标；并确定在抛物线上是否存在一点 E,使 BCE 是以 BC 为斜边的直角三角形？若存在，在图中做出所有的点 E（不写画法，保留
4、作图痕迹） ；若不 存在，说明理由； （3）点 P 是直线 BC 上的一个动点（P 点不与 B 点和 C 点重合） ，过点 P 做 x 轴的垂线，交抛物线于点 M, 点 Q 在直线 BC上，距离点 P 为个单位长度，设点 P 的横坐标为 t，PMQ的面积为 S，求出 S 与 t之间 的函数关系式。 【答案】 （1）； （2）点 C 的坐标是（5，0） ，存在，图形详见解析； （3） （3）由点 B的坐标为（0，5） ，点 C的坐标为（-5，0） ，可得直线 BC 的解析式为 y=x+5 点 P的横坐标为 t，PMx轴，点 M 的横坐标为 t学科(2)见解析. 设点 P 的坐标为（m，m+4）
5、，则 D（m， m2+m+4） ， PD m2+m+4（m+4） m2+2m， PDMN学(2) ;(3);(4) 解得： 故解析式 y=； （3）设符合条件的点 P 存在，令 P（t，0） ： 当 P 为直角顶点时，如图：过 C作 CFx 轴于 F； RtBOPRtPCF， ，即 ， 整理得 t2-4t+3=0，学科*网 解得 a=1 或 a=3； 故可得 t=1 或 3 （4）存在符合条件的 a值，使APQ与ABD 相似， 当APQABD时， ， 解得：a=； 当APQADB时， 解得：a=， 存在符合条件的 a 值，使APQ 与ABD相似，a=或 7抛物线 yx2bxc与 x轴交于 A、
6、B(3，0)两点，与 y轴交于点 C(0，3)，点 D为顶点，连结 BC、 BD、CD. (1)求抛物线的表达式； (2)试判断BCD的形状，并说明理由 【答案】 （1）yx22x3； （2）BCD是直角三角形. 由 yx22x3(x1)24，得顶点 D的坐标为(1，4) DE4，OE1. BE2.在 RtDEB 中，DEB90 ， BD2DE2BE220. 过点 C作 CFDE于点 F，则 CFOE1，DFDEOC1. DC2CF2DF22.学科*网 BD2BC2DC2. BCD 是直角三角形来源:Zxxk.Com 9如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+x3与 x 轴交于 A、B两
7、点（点 A 在点 B左边） ， 与 y轴交于点 C，连接 AC、BC，点 D(0，2)在 y轴上，连接 BD （1）请求出直线 AC、BD的解析式； （2）如图 1，点 P 为第三象限内抛物线上一动点，过点 P 作 PEy 轴交直线 AC 于点 E，连接 OE当 AOE=BDO时，点 M为直线 x轴上一点，点 N为 y轴上一点，连接 EM、NP，当四边形 MNPE 周长最 小时，请求出点 N 的坐标并直接写出此时四边形 MNEP 的周长； （3）如图 2，在（2）的结论下，连接 OP，将OEP 绕点 O旋转，点 E旋转后对应点为 E1，点 P 旋转后对 应点为 P1，直线 E1P1与 y轴交于
8、点 F，与直线 BD交于点 Q在旋转过程中，DQF能否为直角三角形，若 能，请求出 DF的长度；若不能，请说明理由 【答案】 （1） （2）9 （3） （2）如图 1中，作点 E 关于 x 轴的对称点 E，点 P关于 y轴的对称点 P，连接 PE交 x轴于 M，交 y轴于 N，EE交 OA于 H EM+MN+NP=EM+MN+NP，PE 的值为定值， 此时四边形 PEMN的周长最小， 设 P（m，m2+m-3） ，则 E（m，-m-3） ， EOH=BDO， tanEOH=tanBDO， ， （3）如图 2中，当DQF=90 ，H 的对称点为 H1 OFH1DBO， ， ， OF=3， DF=
9、OF-OD=学科(2) y x2x+4；(3)BC=4 ，P（0，0）或（4+4，0）或（4 4，0）或（4，0）. （2）由（1）得 B（4，0） ，C（0，4） ， BC4； 设 P（m，0） ， B（4，0） ，C（0，4） ， BP2（m+4）2，CP2m2+16， PBC是等腰三角形， 当 BPCP 时， （m+4）2m2+16， m0，学科&网 P（0，0） 3如图，在中，点 为边上一点，且 AD=3cm，动点 从点 出发沿 线段向终点 运动作，与边相交于点 找出图中的一对相似三角形，并说明理由； 当为等腰三角形时，求的长； 求动点 从点 出发沿线段向终点 运动的过程中点 的运动路
10、线长 【答案】 （1）； （2）的长为或或 ； （3）cm. 分三种情况 如图 ，若，则， 又， ， ， ； 如图 ，若，则 又， ， ， ； 设，长为 在中， ， 由得：， ， ， ， ， 当时， 有最大值， 从运动的过程中可以得出点 运动的路程正好是， 点 运动路程为 4如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx-8 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 l 经过坐标原点 O，与抛物线的一个交点为 D，与抛物线的对称轴交于点 E，连接 CE，已知点 A，D的坐标 分别为（-2，0） ， （6，-8） （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 B和点 E的坐标
11、； （2）若点 P 是 y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m） ，直线 PB与直线 l交于点 Q，试探究：当 m 为何值时，OPQ是等腰三角形 【答案】(1)y x23x8；B(8，0),E(3，4)；(2)m的值为 或. （2）需分两种情况进行讨论： 当 OPOQ 时，OPQ是等腰三角形，如解图， 图 1 直线 ME 的函数表达式为 y x5， 令 y0，解得 x15， 点 H的坐标为(15，0) 又MHPB， ，即， m ； 当 QOQP 时，OPQ是等腰三角形，如图， 当 x0 时，y x23x88， 点 C的坐标为(0，8)， CE5， OECE， 12， 又QOQP， 13，
12、23， CEPB. 令 y0，得 x80， x6， 点 N的坐标为(6，0) CNPB. ， ，解得 m. 综上所述，当 m的值为 或时，OPQ是等腰三角形 5已知抛物线的图象如图所示： （1）将该抛物线向上平移 2 个单位，分别交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，则平移后的解析式为 （2）判断ABC 的形状，并说明理由 （3）在抛物线对称轴上是否存在一点 P，使得以 A、C、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 【答案】（1）；（2） ABC是直角三角形；（3） 存在，、 AB=1（4）=5，AB2=25，AC2=（10）2+（02）2=
13、5， BC2=（40）2+（02）2=20 AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形； 当 AC=CP 时，AC2=CP2，（2n）2=5， 解得：n1=2，n2=2，P2（，2） ，P3（，2） 综上所述： 在抛物线对称轴上存在一点 P， 使得以 A、 C、 P 为顶点的三角形是等腰三角形， 点 P 的坐标 （， 0） ， （，2） ， （，2） 6如图，已知：二次函数 yx2+bx+c的图象与 x轴交于 A，B两点，其中 A点坐标为（3，0） ，与 y轴 交于点 C，点 D（2，3）在抛物线上 （1）求抛物线的表达式；来源:学|科|网Z|X|X|K （2）抛物线的对称轴上有一动点 P，求
14、出 PA+PD 的最小值； （3）若抛物线上有一动点 M，使ABM的面积等于ABC的面积，求 M 点坐标 （4） 抛物线的对称轴上是否存在动点 Q， 使得BCQ为等腰三角形？若存在， 求出点 Q 的坐标； 若不存在， 说明理由 【答案】 （1）yx2+2x3； （2）； （3）点 M的坐标为（1，3） ， （1+，3） ， （2，3） ； （4） 存在；点 Q的坐标为（1，） ， （1，） ， （1，0） ， （1，6） ， （1，1） PAPB， 此时 PA+PD取最小值，最小值为线段 BD 的长度 点 B的坐标为（1，0） ，点 D 的坐标为（2，3） ， BD3， PA+PD 的最小值为
15、 3 解得：x11，x21+，x32，x40（舍去） ， 点 M 的坐标为（1，3） ， （1+，3） ， （2，3） （4）设点 Q的坐标为（1，m） 点 B的坐标为（1，0） ，点 C 的坐标为（0，3） ， CQ2（10）2+m（3）2m2+6m+10，BQ2（11）2+（m0）2m2+4，BC2（01） 2+（30）210 分三种情况考虑（如图 2所示） ： 当 BQBC 时，m2+410， 解得：m1，m2， 点 Q1的坐标为（1，） ，点 Q2的坐标为（1，） ； 当 CQCB 时，m2+6m+1010， 解得：m30，m46， 点 Q3的坐标为（1，0） ，点 Q4的坐标为（1，
16、6） ； 当 QBQC 时，m2+4m2+6m+10， 解得：m51， 点 Q5的坐标为（1，1） 综上所述：抛物线的对称轴上存在动点 Q，使得BCQ 为等腰三角形，点 Q 的坐标为（1，） ， （1， ） ， （1，0） ， （1，6） ， （1，1） 7在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，直线 经过点 ，与抛物线交于另一点 .已知，. （1）求抛物线与直线的解析式； （2）如图 1，若点 是 轴下方抛物线上一点，过点 作于点 ，过点 作轴交抛物线于点 ， 过点 作轴于点， 为直线上一点，且.点 为第四象限内一点，且在直线上方，连 接、.记，.当 取得最大
17、值时，求出点 的坐标，并求出此时 的最 小值. （3）如图 2，将点 沿直线方向平移 13 个长度单位到点 ，过点 作轴，交抛物线于点 .动点 为 轴上一点，连接、，再将沿直线翻折为（点 、 、 、 在同一平面内） ，连接、 、，当为等腰三角形时，请直接写出点 的坐标. 【 答 案 】（ 1 ） 抛 物 线 ： 直 线 ： （ 2 ） （ 3 ） 抛物线的解析式为：， 直线的解析式为： （2）设点，对称轴为：，由题意，当点 在对称轴左侧时的值一定小于点 在对称 轴右侧时的值，所以. 令 作轴交直线与点 ,则与相似。 所以 当时，.此时，点. 此时点，. 8如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c
18、（a0）经过 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点点 D 从 C 出发，沿 线段 CO以 1 个单位/秒的速度向终点 O 运动，过点 D 作 OC 的垂线交 BC 于点 E，作 EFOC，交抛物线于点 F （1）求此抛物线的解析式； （2）小明在探究点 D 运动时发现，当点 D 与点 C 重合时，EF 长度可看作 O；当点 D 与点 O 重合时， EF 长度也可以看作 O，于是他猜想：设点 D 运动到 OC 中点位置时，当线段 EF 最长，你认为他猜想是否正 确，为什么？ （3）连接 CF、DF，请直接写出CDF 为等腰三角形时所有 t 的值 【答案】 （1）y=x 2+2x+3（
19、2）点 D 为 OC 的中点时，线段 EF 最长（3）当 t=2 或 或 3 时，CDF 为等腰三 角形 此时 D 点坐标为（0， ） ， 所以点 D 为 OC 的中点时，线段 EF 最长； （3）C（0，3） ，D（0，t+3） ，F（t，t 2+2t+3） ， CD 2=（t+33）2=t2 ， CF2=t2+（t2+2t+33）2=t2+（t2+2t）2 ， DF2=t2+（t2+2t+3+t3）2=t2+ （t 2+3t）2 ， 当 CD=CF 时，即 t 2=t2+（t2+2t）2 ， 解得 t 1=0，t2=2； 当 FC=FD，即 t 2+（t2+2t）2=t2+（t2+3t）2
20、 ， 解得 t 1=0，t2= ； 当 DC=DF 时，即 t 2=t2+（t2+3t）2 ， 解得 t 1=0，t2=3； 综上所述，当 t=2 或 或 3 时，CDF 为等腰三角形 来源:学,科,网 Z,X,X,K 9如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴相交于点 C （0，3） （1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标； （2）若 P 是第一象限内这个二次函数的图象上任意一 点，PHx 轴于点 H，与 BC 交于点 M，连接 PC设点 P 的横坐标为 t 求线段 PM 的最大值； S PBM ：SMHB1：2 时
21、，求 t 值； 当PCM 是等腰三角形时，直接写点 P 的坐标 【答案】 （1） （1，4） （2） 当PCM 是等腰三角形时，点 P 的坐标为（2，3）或（3，2+4） 或（1，4） （2）设直线 BC的表达式为 ymx+n（m0） ， 将 B（3，0） ，C（0，3）代入 ymx+n，得： ，解得：， 直线 BC的表达式为 yx+3 点 P 的横坐标为 t（0t3） ， 点 P 的坐标为（t，t2+2t+3） ，点 M 的坐标为（t，t+3） ， PMt2+2t+3（t+3）t2+3t（t ）2+ ， 线段 PM 的最大值为 点 P 的坐标为（t，t2+2t+3） ，点 M的坐标为（t，t
22、+3） ，点 C 的坐标为（0，3） ， PM t2+2t+3 （ t+3 ） t2+3t ， CM ， PC 当 PMPC时，有t2+3t， 0t3， 原方程可整理为：2t40， 解得：t2， 点 P 的坐标为（2，3） ； 当 PMCM 时，有t2+3tt， 10如图，抛物线 yax2+3x+c 经过 A（1，0） ，B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 在第一象限的抛物线上，且点 P 的横坐标为 t，过点P 向 x 轴作垂线交直线 BC 于点 Q，设线段 PQ 的长为 m，求 m 与 t 之间的函数关系式，并求出 m 的最大值； （3）在 x
23、轴上是否存在点 E，使以点 B，C，E 为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出 E 点坐 标；如果不存在，请说明理由 【答案】(1)yx2+3x+4；(2)mt2+4t（0t4） ，m 的最大值为 4；(3)存在，E（4，0）或（0，0） 或（44，0） 【解析】(1)抛物线 yax2+3x+c经过 A（1，0） ，B（4，0） ， 把 A、B两点坐标代入上式，解得：a1，c4， 故：抛物线 yx2+3x+4； (2)将 x0 代入抛物线的解析式得：y4，C（0，4） ， 把将 B（4，0） ，C（0，4）代入抛物线方程， 解得：直线 BC的解析式为：yx+4 过点 P 作 x的垂线 PQ，如图所示： 点 P 的横坐标为 t，P（t，t2+3t+4） ，Q（t，t+4） PQt2+3t+4（t+4）t2+4t mt2+4t（t2）2+4（0t4） 当 t2 时，m的最大值为 4； (3)存在如图所示：